Просто подключенное пространство

Пространство, в котором нет дыр

В топологии топологическое пространство называется односвязным (или 1-связным , или 1-односвязным ^[1] ), если оно линейно связно и каждый путь между двумя точками можно непрерывно преобразовать в любой другой такой путь с сохранением двух рассматриваемые конечные точки. Интуитивно это соответствует пространству, не имеющему непересекающихся частей и дыр, полностью проходящих через него, поскольку два пути, огибающие разные стороны такой дыры, не могут непрерывно трансформироваться друг в друга. Фундаментальная группа топологического пространства является индикатором невозможности односвязности пространства: топологическое пространство с линейной связностью является односвязным тогда и только тогда, когда его фундаментальная группа тривиальна.

Определение и эквивалентные формулировки

Эта фигура представляет собой не просто связное множество, поскольку любой цикл, охватывающий одну или несколько дырок, не может быть сжат до точки, не выходя из области.

Топологическое пространство называется односвязным, если оно линейно связно и любая петля, определяемая оператором, может быть стянута в точку: существует такое непрерывное отображение, которое ограничивается здесь и обозначает единичную окружность и замкнутый единичный круг в евклидовом пространстве . самолет соответственно. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:S^{1}\to X}$ ${\displaystyle F:D^{2}\to X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle D^{2}}$

Эквивалентная формулировка такова: является просто связным тогда и только тогда, когда он связен по путям, и всякий раз, когда и являются двумя путями (то есть непрерывными отображениями) с одинаковыми начальной и конечной точкой ( и ), то их можно непрерывно деформировать, сохраняя при этом обе конечные точки фиксированы. Явно существует гомотопия такая, что и ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle q:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle p(0)=q(0)}$ ${\displaystyle p(1)=q(1)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle F:[0,1]\times [0,1]\to X}$ ${\displaystyle F(x,0)=p(x)}$ ${\displaystyle F(x,1)=q(x).}$

Топологическое пространство односвязно тогда и только тогда, когда оно линейно связно и фундаментальная группа в каждой точке тривиальна, т. е. состоит только из единичного элемента . Аналогично, односвязно тогда и только тогда, когда для всех точек множество морфизмов в фундаментальном группоиде имеет только один элемент. ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\Pi (X)}(x,y)}$ ${\displaystyle X}$

В комплексном анализе : открытое подмножество просто связно тогда и только тогда, когда оба и его дополнение в сфере Римана связаны. Набор комплексных чисел с мнимой частью строго больше нуля и меньше единицы представляет собой пример неограниченного связного открытого подмножества плоскости, дополнение которого несвязно. Тем не менее, это просто связано. Ослабление требования о связности приводит к исследованию открытых подмножеств плоскости со связным расширенным дополнением. Например, открытое множество (не обязательно связное) имеет связное расширенное дополнение именно тогда, когда каждый из его связных компонентов односвязен. ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Неформальное обсуждение

Неформально, объект в нашем пространстве просто связен, если он состоит из одного куска и не имеет никаких «дырок», проходящих через него. Например, просто не соединяется ни пончик, ни кофейная чашка (с ручкой), а просто соединяется полый резиновый шарик. В двух измерениях не просто соединен круг, а диск и линия. Пространства, которые связны , но не односвязны, называются неодносвязными или многосвязными .

Сфера просто связна , потому что каждую петлю можно стянуть (на поверхности) в точку.

Определение исключает только отверстия в форме ручки . Сфера (или, что то же самое, резиновый шарик с полым центром) является просто связной, поскольку любая петля на поверхности сферы может сжаться в точку, даже если в полом центре у нее есть «дырка». Более сильное условие, согласно которому объект не имеет дырок любого размера, называется сжимаемостью .

Примеры

Тор не является односвязной поверхностью. Ни одну из двух цветных петель, показанных здесь, нельзя сжать в точку, не отрываясь от поверхности. Полноторный тор также не является просто связанным, потому что фиолетовая петля не может сжаться в точку, не покинув твердого тела.

• Евклидова плоскость просто связна, а минус начало координат — нет. Если то оба и минус начало просто связаны. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle n>2,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Аналогично: n -мерная сфера односвязна тогда и только тогда, когда ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2.}$
• Каждое выпуклое подмножество одно связно. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Тор , (эллиптический) цилиндр , лента Мёбиуса , проективная плоскость и бутылка Клейна не просто связаны между собой .
• Каждое топологическое векторное пространство односвязно; сюда входят банаховы пространства и гильбертовы пространства .
• Ибо специальная ортогональная группа не односвязна, а специальная унитарная группа односвязна. ${\displaystyle n\geq 2,}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$
• Одноточечная компактификация не является односвязной (хотя и односвязной). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Длинная линия просто связна, а ее компактификация, расширенная длинная линия — нет (поскольку она даже не связна по путям). ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L^{*}}$

Характеристики

Поверхность (двумерное топологическое многообразие ) односвязна тогда и только тогда, когда она связна и ее род (количество ручек поверхности) равен 0.

Универсальное покрытие любого (подходящего) пространства — это односвязное пространство, которое отображается через отображение покрытия . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Если и гомотопически эквивалентны и односвязны , то также ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Образ односвязного множества при непрерывной функции не обязательно должен быть односвязным. Возьмем, к примеру, комплексную плоскость под экспоненциальной картой: изображение не является односвязным. ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\},}$

Понятие простой связности важно в комплексном анализе из-за следующих фактов:

• Интегральная теорема Коши утверждает , что если является односвязным открытым подмножеством комплексной плоскости и является голоморфной функцией , то имеет первообразную и значение каждого интеграла прямой с подынтегральным выражением зависит только от конечных точек и пути, и можно вычислить как Интеграл, таким образом, не зависит от конкретного пути, соединяющего и ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle F(v)-F(u).}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v,}$
• Теорема Римана об отображении утверждает, что любое непустое открытое односвязное подмножество (кроме самого себя) конформно эквивалентно единичному кругу . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Понятие простой связности также является решающим условием гипотезы Пуанкаре .

Смотрите также

• Фундаментальная группа  - Математическая группа гомотопических классов петель в топологическом пространстве.
• Ретракт деформации  - непрерывное, сохраняющее положение отображение топологического пространства в подпространство.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• n-связное пространство
• Связное по путям  - связное топологическое пространство.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Однокогерентное пространство

Рекомендации

1. «n-связное пространство в nLab». ncatlab.org . Проверено 17 сентября 2017 г.
2. Рональд, Браун (июнь 2006 г.). Топология и группоиды . Академический поиск завершен. Северный Чарльстон: CreateSpace. ISBN 1419627228. OCLC  712629429.

• Спаниер, Эдвин (декабрь 1994 г.). Алгебраическая топология . Спрингер. ISBN 0-387-94426-5.
• Конвей, Джон (1986). Функции одной комплексной переменной I . Спрингер. ISBN 0-387-90328-3.
• Бурбаки, Николя (2005). Группы Ли и алгебры Ли . Спрингер. ISBN 3-540-43405-4.
• Гамелен, Теодор (январь 2001 г.). Комплексный анализ . Спрингер. ISBN 0-387-95069-9.
• Джоши, Капли (август 1983 г.). Введение в общую топологию . Издатели Нью Эйдж. ISBN 0-85226-444-5.