В векторном исчислении комплексное ламеллярное векторное поле — это векторное поле , ортогональное семейству поверхностей. В более широком контексте дифференциальной геометрии сложные пластинчатые векторные поля чаще называют гиперповерхностно-ортогональными векторными полями. Их можно охарактеризовать по-разному, многие из которых связаны с завитком . Пластинчатое векторное поле — это частный случай векторных полей с нулевым ротором.
Прилагательное «ламеллярный» происходит от существительного «ламелла», что означает тонкий слой. Ламели , к которым относится «ламеллярное векторное поле», представляют собой поверхности постоянного потенциала или, в сложном случае, поверхности, ортогональные векторному полю. [1]
В векторном исчислении комплексное ламеллярное векторное поле представляет собой трехмерное векторное поле , ортогональное собственному ротору . [2] То есть
Термин ламеллярное векторное поле иногда используется как синоним специального случая безвихревого векторного поля , что означает, что [3]
Комплексные ламеллярные векторные поля — это именно те поля, которые нормальны к семейству поверхностей. Безвихревое векторное поле локально является градиентом функции и, следовательно, ортогонально семейству поверхностей уровня ( эквипотенциальных поверхностей ). [4] Любое векторное поле можно разложить как сумму безвихревого векторного поля и комплексного пластинчатого поля. [5]
В большей общности векторное поле F на псевдоримановом многообразии называется ортогональным гиперповерхности, если через произвольную точку проходит гладко вложенная гиперповерхность , которая во всех своих точках ортогональна векторному полю. По теореме Фробениуса это эквивалентно требованию, чтобы скобка Ли любых гладких векторных полей, ортогональных F , по-прежнему была ортогональна F . [6]
Условие ортогональности гиперповерхностей можно перефразировать в терминах дифференциальной 1-формы ω , двойственной к F . Ранее заданное условие скобки Ли можно переработать, чтобы потребовать, чтобы внешняя производная dω при вычислении любых двух касательных векторов, ортогональных F , была равна нулю. [6] Это также можно сформулировать как требование существования гладкой 1-формы, произведение клина которой с ω равно dω . [7]
Альтернативно это можно записать как условие того, что дифференциальная 3-форма ω ∧ dω равна нулю. В терминах связи Леви-Чивита , определяемой метрикой, это также можно сформулировать как требование, чтобы полностью антисимметричная часть 3-тензорного поля ω i ∇ j ω k была равна нулю. [8] Используя другую формулировку теоремы Фробениуса, это также эквивалентно требованию, чтобы ω локально выражалось как λ d u для некоторых функций λ и u . [9]
В частном случае векторных полей в трехмерном евклидовом пространстве условие ортогональности гиперповерхности эквивалентно комплексному ламеллярному условию, как видно из переписывания ω ∧ dω в терминах оператора звезды Ходжа как ∗⟨ω, ∗dω⟩ , где ∗dω является 1-формой, двойственной векторному полю ротора. [10]
Векторные поля, ортогональные гиперповерхности, особенно важны в общей теории относительности , где (помимо других причин) существование векторного поля Киллинга , которое является ортогональным гиперповерхности, является одним из требований статического пространства-времени . [11] В этом контексте ортогональность гиперповерхности иногда называют безвихревостью , хотя это противоречит стандартному использованию в трех измерениях. [12] Другое название — свобода от вращения . [13]
Еще более общее понятие, на языке систем Пфаффа , — это понятие вполне интегрируемой 1-формы ω , которое сводится к условию ω ∧ dω = 0, как указано выше. [14] В этом контексте не существует метрики, а значит, нет и понятия «ортогональности».
