Дельта-потенциал

Модель энергетического потенциала в квантовой механике

В квантовой механике дельта -потенциал — это потенциальная яма, математически описываемая дельта-функцией Дирака — обобщенной функцией . Качественно он соответствует потенциалу, который равен нулю везде, за исключением одной точки, где он принимает бесконечное значение. Это можно использовать для моделирования ситуаций, когда частица может свободно перемещаться в двух областях пространства с барьером между двумя областями. Например, электрон может перемещаться почти свободно в проводящем материале, но если две проводящие поверхности расположены близко друг к другу, интерфейс между ними действует как барьер для электрона, который можно аппроксимировать дельта-потенциалом.

Дельта-потенциальная яма является предельным случаем конечной потенциальной ямы , которая получается, если сохранить произведение ширины ямы и потенциала постоянным, одновременно уменьшая ширину ямы и увеличивая потенциал.

В данной статье для простоты рассматривается только одномерная потенциальная яма, но анализ можно расширить и на большее количество измерений.

Одиночный дельта-потенциал

Не зависящее от времени уравнение Шредингера для волновой функции ψ ( x ) частицы в одном измерении в потенциале V ( x ) имеет вид , где ħ — приведенная постоянная Планка , а E — энергия частицы. $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x),}$$

Дельта-потенциал — это потенциал , где δ ( x ) — дельта-функция Дирака . $${\displaystyle V(x)=\lambda \delta (x),}$$

Это называется дельта-потенциальной ямой, если λ отрицательно, и дельта-потенциальным барьером, если λ положительно. Для простоты дельта определена как находящаяся в начале координат; сдвиг аргумента дельта-функции не изменяет ни один из следующих результатов.

Решение уравнения Шредингера

Источник: ^[1]

Потенциал разделяет пространство на две части ( x < 0 и x > 0 ). В каждой из этих частей потенциал равен нулю, и уравнение Шредингера сводится к следующему — линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами , решениями которого являются линейные комбинации e ikx ^и e − ^{ikx ,} где волновое число k связано с энергией соотношением $${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=-{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi ;}$$ $${\displaystyle k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}.}$$

В общем случае, из-за наличия дельта-потенциала в начале координат, коэффициенты решения не обязательно должны быть одинаковыми в обоих полупространствах: где, в случае положительных энергий (действительное k ), e ^ikx представляет волну, бегущую вправо, а e ^{− ikx —} волну, бегущую влево. $${\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}\psi _{\text{L}}(x)=A_{\text{r}}e^{ikx}+A_{\text{l}}e^{-ikx},&{\text{ if }}x<0,\\\psi _{\text{R}}(x)=B_{\text{r}}e^{ikx}+B_{\text{l}}e^{-ikx},&{\text{ if }}x>0,\end{cases}}}$$

Можно получить соотношение между коэффициентами, предположив, что волновая функция непрерывна в начале координат: $${\displaystyle \psi (0)=\psi _{L}(0)=\psi _{R}(0)=A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l},}$$

Второе соотношение можно найти, изучая производную волновой функции. Обычно мы также могли бы наложить дифференцируемость в начале координат, но это невозможно из-за дельта-потенциала. Однако, если мы проинтегрируем уравнение Шредингера вокруг x = 0 на интервале [− ε , + ε ] : $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\psi ''(x)\,dx+\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }V(x)\psi (x)\,dx=E\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\psi (x)\,dx.}$$

В пределе при ε → 0 правая часть этого уравнения обращается в нуль; левая часть становится равной, поскольку Подстановка определения ψ в это выражение дает $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}[\psi _{R}'(0)-\psi _{L}'(0)]+\lambda \psi (0),}$$ $${\displaystyle \int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\psi ''(x)\,dx=[\psi '(+\varepsilon )-\psi '(-\varepsilon )].}$$ $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}ik(-A_{r}+A_{l}+B_{r}-B_{l})+\lambda (A_{r}+A_{l})=0.}$$

Таким образом, граничные условия дают следующие ограничения на коэффициенты: $${\displaystyle {\begin{cases}A_{r}+A_{l}-B_{r}-B_{l}&=0,\\-A_{r}+A_{l}+B_{r}-B_{l}&={\frac {2m\lambda }{ik\hbar ^{2}}}(A_{r}+A_{l}).\end{cases}}}$$

Связанное состояние (Э< 0)

График решения волновой функции связанного состояния для потенциала дельта-функции непрерывен всюду, но его производная не определена при x = 0 .

В любом одномерном притягивающем потенциале будет связанное состояние . Чтобы найти его энергию, обратите внимание, что при E < 0 , k = i √ 2 m | E | / ħ = iκ является мнимым, и волновые функции, которые колебались для положительных энергий в расчете выше, теперь являются экспоненциально возрастающими или убывающими функциями x (см. выше). Требование, чтобы волновые функции не расходились на бесконечности, устраняет половину членов: A _r = B _l = 0 . Тогда волновая функция равна $${\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}\psi _{\text{L}}(x)=A_{\text{l}}e^{\kappa x},&{\text{ if }}x\leq 0,\\\psi _{\text{R}}(x)=B_{\text{r}}e^{-\kappa x},&{\text{ if }}x\geq 0.\end{cases}}}$$

Из граничных условий и условий нормировки следует, что откуда следует, что λ должно быть отрицательным, то есть связанное состояние существует только для ямы, а не для барьера. Преобразование Фурье этой волновой функции является функцией Лоренца . $${\displaystyle {\begin{cases}A_{\text{l}}=B_{\text{r}}={\sqrt {\kappa }},\\\kappa =-{\frac {m\lambda }{\hbar ^{2}}},\end{cases}}}$$

Тогда энергия связанного состояния равна $${\displaystyle E=-{\frac {\hbar ^{2}\kappa ^{2}}{2m}}=-{\frac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}}}.}$$

Рассеивание (Э> 0)

Вероятность пропускания ( T ) и отражения ( R ) дельта-потенциальной ямы. Энергия E > 0 выражена в единицах . Пунктир: классический результат. Сплошная линия: квантовая механика. ${\displaystyle {\frac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}}}}$

При положительных энергиях частица может свободно перемещаться в любом полупространстве: x < 0 или x > 0. Она может рассеиваться на дельта-функциональном потенциале.

Квантовый случай можно изучить в следующей ситуации: частица падает на барьер с левой стороны ( A _r ) . Она может быть отражена ( A _l ) или пропущена ( B _r ) . Чтобы найти амплитуды отражения и пропускания для падения слева, мы подставляем в приведенные выше уравнения A _r = 1 (входящая частица), A _l = r (отражение), B _l = 0 (нет входящей частицы справа) и B _r = t (пропускание), и решаем относительно r и t, даже если у нас нет никаких уравнений относительно t . Результатом является $${\displaystyle t={\cfrac {1}{1-{\cfrac {m\lambda }{i\hbar ^{2}k}}}},\quad r={\cfrac {1}{{\cfrac {i\hbar ^{2}k}{m\lambda }}-1}}.}$$

Из-за зеркальной симметрии модели амплитуды падения справа такие же, как и слева. В результате возникает ненулевая вероятность отражения частицы. Это не зависит от знака λ , то есть барьер имеет ту же вероятность отразить частицу, что и колодец. Это существенное отличие от классической механики, где вероятность отражения будет равна 1 для барьера (частица просто отскакивает назад) и 0 для колодца (частица проходит через колодец нетронутым). $${\displaystyle R=|r|^{2}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {\hbar ^{4}k^{2}}{m^{2}\lambda ^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {2\hbar ^{2}E}{m\lambda ^{2}}}}}}$$

Вероятность передачи составляет $${\displaystyle T=|t|^{2}=1-R={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m^{2}\lambda ^{2}}{\hbar ^{4}k^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}E}}}}.}$$

Замечания и применение

Представленный выше расчет может на первый взгляд показаться нереалистичным и вряд ли полезным. Однако он оказался подходящей моделью для множества реальных систем.

Один из таких примеров касается интерфейсов между двумя проводящими материалами. В основной массе материалов движение электронов является квазисвободным и может быть описано кинетическим членом в приведенном выше гамильтониане с эффективной массой m . Часто поверхности таких материалов покрыты оксидными слоями или не являются идеальными по другим причинам. Этот тонкий непроводящий слой затем может быть смоделирован локальным дельта-функциональным потенциалом, как указано выше. Затем электроны могут туннелировать из одного материала в другой, вызывая ток.

Работа сканирующего туннельного микроскопа (СТМ) основана на этом туннельном эффекте. В этом случае барьер обусловлен воздухом между кончиком СТМ и лежащим под ним объектом. Сила барьера связана с разделением, которое тем сильнее, чем дальше они находятся друг от друга. Более общую модель этой ситуации см. в разделе Конечный потенциальный барьер (КМ) . Потенциальный барьер дельта-функции является предельным случаем рассматриваемой там модели для очень высоких и узких барьеров.

Вышеуказанная модель является одномерной, тогда как пространство вокруг нас трехмерно. Таким образом, фактически, следует решать уравнение Шредингера в трех измерениях. С другой стороны, многие системы изменяются только вдоль одного направления координат и являются трансляционно инвариантными вдоль других. Уравнение Шредингера затем может быть сведено к случаю, рассмотренному здесь, с помощью анзаца для волновой функции типа . ${\displaystyle \Psi (x,y,z)=\psi (x)\phi (y,z)\,\!}$

В качестве альтернативы можно обобщить дельта-функцию так, чтобы она существовала на поверхности некоторой области D (см. Лапласиан индикатора ). ^[2]

Модель дельта-функции на самом деле является одномерной версией атома водорода согласно методу размерного масштабирования , разработанному группой Дадли Р. Хершбаха ^[3]. Модель дельта-функции становится особенно полезной с двухъямной моделью дельта-функции Дирака, которая представляет собой одномерную версию иона молекулы водорода , как показано в следующем разделе.

Двойной дельта-потенциал

Симметричные и антисимметричные волновые функции для двухъямной модели дельта-функции Дирака с «межъядерным» расстоянием R = 2

Дельта-функция Дирака с двумя ямами моделирует двухатомную молекулу водорода с помощью соответствующего уравнения Шредингера: где потенциал теперь равен где - «межъядерное» расстояние с пиками дельта-функции Дирака (отрицательными), расположенными при x = ± R /2 (показаны коричневым цветом на диаграмме). Имея в виду связь этой модели с ее трехмерным молекулярным аналогом, мы используем атомные единицы и устанавливаем . Здесь - формально настраиваемый параметр. Из случая с одной ямой мы можем вывести « анзац » для решения, который будет: Сопоставление волновой функции на пиках дельта-функции Дирака дает определитель Таким образом, обнаруживается, что управляется псевдоквадратичным уравнением , которое имеет два решения . Для случая равных зарядов (симметричный гомоядерный случай) λ = 1 , и псевдоквадратичное уравнение сводится к Случай "+" соответствует волновой функции, симметричной относительно средней точки (показано красным на диаграмме), где A = B , и называется gerade . Соответственно, случай "−" — это волновая функция, которая антисимметрична относительно средней точки, где A = − B , и называется ungerade (показано зеленым на диаграмме). Они представляют собой приближение двух нижних дискретных энергетических состояний трехмерного пространства и полезны при его анализе. Аналитические решения для собственных значений энергии для случая симметричных зарядов даются выражением ^[4], где W — стандартная функция Ламберта W. Обратите внимание, что самая низкая энергия соответствует симметричному решению . В случае неравных зарядов, а также в случае трехмерной молекулярной задачи, решения даются обобщением функции Ламберта W (см. Функция Ламберта W § Обобщения ). $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x),}$$ $${\displaystyle V(x)=-q\left[\delta \left(x+{\frac {R}{2}}\right)+\lambda \delta \left(x-{\frac {R}{2}}\right)\right],}$$ ${\displaystyle 0<R<\infty }$ ${\displaystyle \hbar =m=1}$ ${\displaystyle 0<\lambda <1}$ $${\displaystyle \psi (x)=Ae^{-d\left|x+{\frac {R}{2}}\right|}+Be^{-d\left|x-{\frac {R}{2}}\right|}.}$$ $${\displaystyle {\begin{vmatrix}q-d&qe^{-dR}\\q\lambda e^{-dR}&q\lambda -d\end{vmatrix}}=0,\quad {\text{where }}E=-{\frac {d^{2}}{2}}.}$$ ${\displaystyle d}$ $${\displaystyle d_{\pm }(\lambda )={\frac {1}{2}}q(\lambda +1)\pm {\frac {1}{2}}\left\{q^{2}(1+\lambda )^{2}-4\lambda q^{2}\left[1-e^{-2d_{\pm }(\lambda )R}\right]\right\}^{1/2},}$$ ${\displaystyle d=d_{\pm }}$ $${\displaystyle d_{\pm }=q\left[1\pm e^{-d_{\pm }R}\right].}$$ ${\displaystyle {\ce {H2^+}}}$ $${\displaystyle d_{\pm }=q+W(\pm qRe^{-qR})/R,}$$ ${\displaystyle d_{+}}$

Один из самых интересных случаев — когда qR  ≤ 1, что приводит к . Таким образом, мы имеем нетривиальное решение связанного состояния с E = 0 . Для этих конкретных параметров возникает много интересных свойств, одним из которых является необычный эффект, заключающийся в том, что коэффициент пропускания равен единице при нулевой энергии. ^[5] ${\displaystyle d_{-}=0}$

Смотрите также

• Свободная частица
• Частица в коробке
• Конечная потенциальная яма
• Частица в кольце
• Частица в сферически-симметричном потенциале
• Квантовый гармонический осциллятор
• Атом водорода или водородоподобный атом
• Кольцевой волновод
• Частица в одномерной решетке (периодический потенциал)
• Молекулярный ион водорода
• Метод Гольштейна-Херринга
• Лапласиан индикатора
• Список квантово-механических систем с аналитическими решениями

Ссылки

1. "квантовая механика - Волновая функция с дельта-потенциалом". Physics Stack Exchange . Получено 29.03.2021 .
2. Ланге, Рутгер-Ян (2012), «Теория потенциала, интегралы по траекториям и Лапласиан индикатора», Журнал физики высоких энергий , 2012 (11): 1–49, arXiv : 1302.0864 , ​​Bibcode : 2012JHEP...11..032L, doi : 10.1007/JHEP11(2012)032, S2CID  56188533
3. DR Herschbach , JS Avery и O. Goscinski (ред.), Размерное масштабирование в химической физике , Springer, (1992). [1]
4. Т. К. Скотт, Дж. Ф. Бабб, А. Далгарно и Джон Д. Морган III, «Расчет обменных сил: общие результаты и конкретные модели», J. Chem. Phys. , 99, стр. 2841–2854, (1993).
5. van Dijk, W.; Kiers, KA (1992). «Временная задержка в простых одномерных системах». American Journal of Physics . 60 (6). Американская ассоциация учителей физики (AAPT): 520–527. Bibcode : 1992AmJPh..60..520V. doi : 10.1119/1.16866. ISSN  0002-9505.

• Гриффитс, Дэвид Дж. (2005). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Prentice Hall. стр. 68–78. ISBN 978-0-13-111892-8.
• Для трехмерного случая ищите «потенциал дельта-оболочки»; далее см. К. Готфрид (1966), Квантовая механика, том I: Основы , гл. III, раздел 15.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с потенциалом Дельты на Wikimedia Commons