Волновое число

Пространственная частота волны

Диаграмма, иллюстрирующая связь между волновым числом и другими свойствами гармонических волн.

В физических науках волновое число (или волновое число ), также известное как повторяемость , ^[1] — это пространственная частота волны , измеряемая в циклах на единицу расстояния ( обычное волновое число ) или в радианах на единицу расстояния ( угловое волновое число ). ^{[2] [3] [4]} Это аналог временной частоты , которая определяется как количество волновых циклов в единицу времени ( обычная частота ) или радиан в единицу времени ( угловая частота ).

В многомерных системах волновое число представляет собой величину волнового вектора . Пространство волновых векторов называется обратным пространством . Волновые числа и волновые векторы играют важную роль в оптике и физике рассеяния волн , такой как дифракция рентгеновских лучей , дифракция нейтронов , дифракция электронов и физика элементарных частиц . Для квантово-механических волн волновое число, умноженное на приведенную постоянную Планка, является каноническим импульсом .

Волновое число можно использовать для указания величин, отличных от пространственной частоты. Например, в оптической спектроскопии его часто используют как единицу временной частоты, предполагая определенную скорость света .

Определение

Волновое число, используемое в спектроскопии и большинстве областей химии, определяется как количество длин волн на единицу расстояния, обычно в сантиметрах (см ^-1 ):

${\displaystyle {\tilde {\nu }}\;=\;{\frac {1}{\lambda }},}$

где λ — длина волны. Его иногда называют «спектроскопическим волновым числом». ^[1] Она равна пространственной частоте .

Например, волновое число в обратных сантиметрах можно преобразовать в частоту в гигагерцах, умножив на 29,9792458 см/нс (скорость света в сантиметрах на наносекунду); ^[5] и наоборот, электромагнитная волна на частоте 29,9792458 ГГц имеет длину волны 1 см в свободном пространстве.

В теоретической физике чаще используется волновое число, определяемое как количество радиан на единицу расстояния, иногда называемое «угловым волновым числом»: ^[6]

${\displaystyle k\;=\;{\frac {2\pi }{\lambda }}}$

Когда волновое число представлено символом ν , частота все равно отображается, хотя и косвенно. Как описано в разделе спектроскопии, это делается посредством соотношения , где ν _s — частота в герцах . Это сделано для удобства, поскольку частоты обычно очень велики. ^[7] ${\textstyle {\frac {\nu _{s}}{c}}\;=\;{\frac {1}{\lambda }}\;\equiv \;{\tilde {\nu }}}$

Волновое число имеет размеры , обратные длине , поэтому его единица СИ является обратной величиной метров (м ^-1 ). В спектроскопии волновые числа обычно выражают в единицах СГС (т. е. в обратных сантиметрах; см ^-1 ); в этом контексте волновое число раньше называлось кайзером в честь Генриха Кайзера (в некоторых старых научных работах использовалась эта единица, сокращенно K , где 1  K = 1  см ^-1 ). ^[8] Угловое волновое число может быть выражено в радианах на метр (рад⋅м ^-1 ) или, как указано выше, поскольку радиан безразмерен .

Для электромагнитного излучения в вакууме волновое число прямо пропорционально частоте и энергии фотонов . По этой причине волновые числа используются как удобная единица энергии в спектроскопии.

Сложный

Комплексное волновое число можно определить для среды с комплексной относительной диэлектрической проницаемостью , относительной проницаемостью и показателем преломления n как: ^[9] ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ ${\displaystyle \mu _{r}}$

${\displaystyle k=k_{0}{\sqrt {\varepsilon _{r}\mu _{r}}}=k_{0}n}$

где k ₀ - волновое число в свободном пространстве, как указано выше. Мнимая часть волнового числа выражает затухание на единицу расстояния и полезна при изучении экспоненциально затухающих затухающих полей .

Плоские волны в линейных средах

Коэффициент распространения синусоидальной плоской волны, распространяющейся в направлении x в линейном материале, определяется выражением ^{[10] : 51}

${\displaystyle P=e^{-jkx}}$

где

• ${\displaystyle k=k'-jk''={\sqrt {-\left(\omega \mu ''+j\omega \mu '\right)\left(\sigma +\omega \varepsilon ''+j\omega \varepsilon '\right)}}\;}$
• ${\displaystyle k'=}$ фазовая постоянная в радианах / метрах
• ${\displaystyle k''=}$ константа затухания в единицах неперс /метр
• ${\displaystyle \omega =}$частота в радианах / метрах
• ${\displaystyle x=}$расстояние, пройденное в направлении x
• ${\displaystyle \sigma =}$ проводимость в Сименс /метр
• ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon '-j\varepsilon ''=}$ комплексная диэлектрическая проницаемость
• ${\displaystyle \mu =\mu '-j\mu ''=}$ комплексная проницаемость
• ${\displaystyle j={\sqrt {-1}}}$

Соглашение о знаках выбрано для обеспечения совместимости с распространением в средах с потерями. Если константа затухания положительна, то амплитуда волны уменьшается по мере распространения волны в направлении x.

Длина волны , фазовая скорость и глубина скин-слоя имеют простые отношения к компонентам волнового числа:

${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k'}}\qquad v_{p}={\frac {\omega }{k'}}\qquad \delta ={\frac {1}{k''}}}$

В волновых уравнениях

Здесь мы предполагаем, что волна является регулярной в том смысле, что различные величины, описывающие волну, такие как длина волны, частота и, следовательно, волновое число, являются постоянными. См. волновой пакет для обсуждения случая, когда эти величины не являются постоянными.

В общем, угловое волновое число k (т.е. величина волнового вектора ) определяется выражением

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {2\pi \nu }{v_{\mathrm {p} }}}={\frac {\omega }{v_{\mathrm {p} }}}}$

где ν — частота волны, λ — длина волны, ω = 2 πν — угловая частота волны, а v _p — фазовая скорость волны. Зависимость волнового числа от частоты (или чаще частоты от волнового числа) известна как дисперсионное соотношение .

Для частного случая электромагнитной волны в вакууме, когда волна распространяется со скоростью света, k определяется выражением:

${\displaystyle k={\frac {E}{\hbar c}}={\frac {\omega }{c}}}$

где E — энергия волны, ħ — приведенная постоянная Планка , а c — скорость света в вакууме.

Для частного случая волны материи , например электронной волны, в нерелятивистском приближении (в случае свободной частицы, то есть частица не имеет потенциальной энергии):

${\displaystyle k\equiv {\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {p}{\hbar }}={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}}$

Здесь p — импульс частицы, m — масса частицы, E — кинетическая энергия частицы, а ħ — приведенная постоянная Планка .

Волновое число также используется для определения групповой скорости .

В спектроскопии

В спектроскопии «волновое число» (в обратных сантиметрах , см ^-1 ) относится к временной частоте (в герцах), которая делится на скорость света в вакууме (обычно в сантиметрах в секунду, см⋅с ^-1 ): ${\displaystyle {\tilde {\nu }}}$

${\displaystyle {\tilde {\nu }}={\frac {\nu }{c}}={\frac {\omega }{2\pi c}}.}$

Историческая причина использования этого спектроскопического волнового числа, а не частоты, заключается в том, что это удобная единица измерения при изучении атомных спектров путем подсчета полос на см с помощью интерферометра :  спектроскопическое волновое число является обратной величиной длины волны света в вакууме:

${\displaystyle \lambda _{\rm {vac}}={\frac {1}{\tilde {\nu }}},}$

которое остается практически неизменным в воздухе, поэтому спектроскопическое волновое число напрямую связано с углами света, рассеянного на дифракционных решетках , и расстоянием между полосами в интерферометрах , когда эти инструменты работают в воздухе или вакууме. Такие волновые числа впервые были использованы в расчетах Йоханнеса Ридберга в 1880-х годах. Комбинационный принцип Ридберга-Ритца 1908 года также был сформулирован в терминах волновых чисел. Несколько лет спустя спектральные линии можно было понимать в квантовой теории как разницу между уровнями энергии, причем энергия пропорциональна волновому числу или частоте. Однако спектроскопические данные продолжали табулироваться в терминах спектроскопического волнового числа, а не частоты или энергии.

Например, спектроскопические волновые числа спектра излучения атомарного водорода даются формулой Ридберга :

${\displaystyle {\tilde {\nu }}=R\left({\frac {1}{{n_{\text{f}}}^{2}}}-{\frac {1}{{n_{\text{i}}}^{2}}}\right),}$

где R — постоянная Ридберга , а n _i и n _f — главные квантовые числа начального и конечного уровней соответственно ( ni _больше , чем n _f для излучения).

Спектроскопическое волновое число можно преобразовать в энергию на фотон E по соотношению Планка :

${\displaystyle E=hc{\tilde {\nu }}.}$

Ее также можно преобразовать в длину волны света:

${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{n{\tilde {\nu }}}},}$

где n — показатель преломления среды . Обратите внимание, что длина волны света меняется при прохождении через разные среды, однако спектроскопическое волновое число (т. е. частота) остается постоянным.

Часто пространственные частоты некоторые авторы выражают «в волновых числах», ^[11] неправильно перенося название величины в саму единицу СГС см ^-1 . ^[12]

Смотрите также

• Угловая длина волны
• Пространственная частота
• Показатель преломления
• Зональное волновое число

Рекомендации

1. ISO 80000-3:2019 Величины и единицы. Часть 3: Пространство и время.
2. Родригес, А.; Сардинья, РА; Пита, Г. (2021). Фундаментальные принципы физики окружающей среды. Международное издательство Спрингер. п. 73. ИСБН 978-3-030-69025-0. Проверено 4 декабря 2022 г.
3. Солимини, Д. (2016). Понимание наблюдения Земли: электромагнитная основа дистанционного зондирования. Дистанционное зондирование и цифровая обработка изображений. Международное издательство Спрингер. п. 679. ИСБН 978-3-319-25633-7. Проверено 4 декабря 2022 г.
4. Робинсон, Э.А.; Трейтель, С. (2008). Цифровое изображение и деконволюция: азы сейсмической разведки и обработки. Геофизические справки. Общество геофизиков-разведчиков. п. 9. ISBN 978-1-56080-148-1. Проверено 4 декабря 2022 г.
5. «NIST: Таблицы калибровки волновых чисел - Описание» . физика.nist.gov . Проверено 19 марта 2018 г.
6. В., Вайсштейн, Эрик. «Волновое число — из мира физики Эрика Вайсштейна». scienceworld.wolfram.com . Проверено 19 марта 2018 г.{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
7. «Волновой номер». Британская энциклопедия . Проверено 19 апреля 2015 г.
8. Мурти, VLR; Лакшман, SVJ (1981). «Электронный спектр поглощения комплекса кобальт-антипирин». Твердотельные коммуникации . 38 (7): 651–652. Бибкод : 1981SSCom..38..651M. дои : 10.1016/0038-1098(81)90960-1.
9. [1], уравнение (2.13.3)
10. Харрингтон, Роджер Ф. (1961), Электромагнитные поля, гармонические по времени (1-е изд.), McGraw-Hill, ISBN 0-07-026745-6
11. См., например,
    • Фихтнер, Г. (2001). «Поглощение и безразмерный интеграл перекрытия при двухфотонном возбуждении». Журнал количественной спектроскопии и переноса излучения . 68 (5): 543–557. Бибкод : 2001JQSRT..68..543F. дои : 10.1016/S0022-4073(00)00044-3.
    • US 5046846, Рэй, Джеймс К. и Асари, Логан Р., «Метод и устройство для спектроскопического сравнения составов», опубликовано 10 сентября 1991 г. 
    • «Бозонные пики и образование стекла». Наука . 308 (5726): 1221. 2005. doi :10.1126/science.308.5726.1221a. S2CID  220096687.
12. Холлас, Дж. Майкл (2004). Современная спектроскопия. Джон Уайли и сыновья. п. XXII. ISBN 978-0470844151.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с волновым числом, на Викискладе?