Нечеткий набор

Множества, элементы которых имеют степени принадлежности

В математике нечеткие множества ( также известные как неопределенные множества ) — это множества , элементы которых имеют степени принадлежности. Нечеткие множества были введены независимо Лотфи А. Заде в 1965 году как расширение классического понятия множества. ^{[1] [2]} В то же время Салий (1965) определил более общий вид структуры, называемый «L-отношением», которое он изучал в абстрактном алгебраическом контексте; нечеткие отношения являются особыми случаями L -отношений, когда L — единичный интервал [0, 1]. Теперь они используются в нечеткой математике , имея приложения в таких областях, как лингвистика (De Cock, Bodenhofer & Kerre 2000), принятие решений (Kuzmin 1982) и кластеризация (Bezdek 1978).

В классической теории множеств принадлежность элементов к множеству оценивается в бинарных терминах в соответствии с двухвалентным условием — элемент либо принадлежит, либо не принадлежит множеству. Напротив, теория нечетких множеств допускает постепенную оценку принадлежности элементов к множеству; это описывается с помощью функции принадлежности, значение которой находится в реальном единичном интервале [0, 1]. Нечеткие множества обобщают классические множества, поскольку индикаторные функции (они же характеристические функции) классических множеств являются частными случаями функций принадлежности нечетких множеств, если последние принимают только значения 0 или 1. ^[3] В теории нечетких множеств классические двухвалентные множества обычно называются четкими множествами . Теория нечетких множеств может использоваться в широком диапазоне областей, в которых информация неполна или неточна, таких как биоинформатика . ^[4]

Определение

Нечеткое множество — это пара, где — множество (часто требуется, чтобы оно было непустым ) и функция принадлежности. Справочное множество (иногда обозначаемое как или ) называется универсумом дискурса , а для каждого значение называется степенью принадлежности в . Функция называется функцией принадлежности нечеткого множества . ${\displaystyle (U,m)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle m\colon U\rightarrow [0,1]}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in U,}$ ${\displaystyle m(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (U,m)}$ ${\displaystyle m=\mu _{A}}$ ${\displaystyle A=(U,m)}$

Для конечного множества нечеткое множество часто обозначается как ${\displaystyle U=\{x_{1},\dots ,x_{n}\},}$ ${\displaystyle (U,m)}$ ${\displaystyle \{m(x_{1})/x_{1},\dots ,m(x_{n})/x_{n}\}.}$

Пусть . Тогда называется ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle x}$

• не включен в нечеткое множество, если (нет члена), ${\displaystyle (U,m)}$ ${\displaystyle m(x)=0}$
• полностью включен, если (полный член), ${\displaystyle m(x)=1}$
• частично включен, если (нечеткий член). ^[5] ${\displaystyle 0<m(x)<1}$

(Четкий) набор всех нечетких множеств во вселенной обозначается (или иногда просто ). ^[6] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle SF(U)}$ ${\displaystyle F(U)}$

Четкие множества, связанные с нечеткими множествами

Для любого нечеткого множества определены следующие четкие множества: ${\displaystyle A=(U,m)}$ ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$

• ${\displaystyle A^{\geq \alpha }=A_{\alpha }=\{x\in U\mid m(x)\geq \alpha \}}$называется его α-разрезом (он же α-уровневым набором )
• ${\displaystyle A^{>\alpha }=A'_{\alpha }=\{x\in U\mid m(x)>\alpha \}}$называется его сильным α-разрезом (он же сильный α-уровень )
• ${\displaystyle S(A)=\operatorname {Supp} (A)=A^{>0}=\{x\in U\mid m(x)>0\}}$называется его поддержка
• ${\displaystyle C(A)=\operatorname {Core} (A)=A^{=1}=\{x\in U\mid m(x)=1\}}$называется его ядром (или иногда ядром ). ${\displaystyle \operatorname {Kern} (A)}$

Обратите внимание, что некоторые авторы понимают «ядро» по-разному; см. ниже.

Другие определения

• Нечеткое множество пусто ( ) тогда и только тогда (если) ${\displaystyle A=(U,m)}$ ${\displaystyle A=\varnothing }$

${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle x\in U:\mu _{A}(x)=m(x)=0}$

• Два нечетких множества и равны ( ) тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A=B}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)=\mu _{B}(x)}$

• Нечеткое множество включено в нечеткое множество ( ) тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\subseteq B}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)\leq \mu _{B}(x)}$

• Для любого нечеткого множества любой элемент, удовлетворяющий ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x\in U}$

${\displaystyle \mu _{A}(x)=0.5}$

называется точкой кроссинговера .

• Для данного нечеткого множества любое , для которого не пусто, называется уровнем A. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$ ${\displaystyle A^{=\alpha }=\{x\in U\mid \mu _{A}(x)=\alpha \}}$
• Набор уровней A — это набор всех уровней, представляющих различные разрезы. Это образ : ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$ ${\displaystyle \mu _{A}}$

${\displaystyle \Lambda _{A}=\{\alpha \in [0,1]:A^{=\alpha }\neq \varnothing \}=\{\alpha \in [0,1]:{}}$ ${\displaystyle \exists }$ ${\displaystyle x\in U(\mu _{A}(x)=\alpha )\}=\mu _{A}(U)}$

• Для нечеткого множества его высота определяется как ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \operatorname {Hgt} (A)=\sup\{\mu _{A}(x)\mid x\in U\}=\sup(\mu _{A}(U))}$

где обозначает супремум , который существует, поскольку непуст и ограничен сверху 1. Если U конечно, мы можем просто заменить супремум максимумом. ${\displaystyle \sup }$ ${\displaystyle \mu _{A}(U)}$

• Нечеткое множество называется нормализованным тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \operatorname {Hgt} (A)=1}$

В конечном случае, когда супремум является максимумом, это означает, что по крайней мере один элемент нечеткого множества имеет полное членство. Непустое нечеткое множество может быть нормализовано с результатом деления функции принадлежности нечеткого множества на его высоту: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{\tilde {A}}(x)=\mu _{A}(x)/\operatorname {Hgt} (A)}$

Помимо сходства, это отличается от обычной нормализации тем, что нормирующая константа не является суммой.

• Для нечетких множеств действительных чисел с ограниченной поддержкой ширина определяется как ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (U\subseteq \mathbb {R} )}$

${\displaystyle \operatorname {Width} (A)=\sup(\operatorname {Supp} (A))-\inf(\operatorname {Supp} (A))}$

В случае, когда — конечное множество или, в более общем смысле, замкнутое множество , ширина равна ${\displaystyle \operatorname {Supp} (A)}$

${\displaystyle \operatorname {Width} (A)=\max(\operatorname {Supp} (A))-\min(\operatorname {Supp} (A))}$

В n -мерном случае указанное выше можно заменить n -мерным объемом . ${\displaystyle (U\subseteq \mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} (A)}$

В общем случае это можно определить, если задана любая мера на U , например, путем интегрирования (например, интегрирования Лебега ) . ${\displaystyle \operatorname {Supp} (A)}$

• Реальное нечеткое множество называется выпуклым (в нечетком смысле, не путать с четким выпуклым множеством ), если и только если ${\displaystyle A(U\subseteq \mathbb {R} )}$

${\displaystyle \forall x,y\in U,\forall \lambda \in [0,1]:\mu _{A}(\lambda {x}+(1-\lambda )y)\geq \min(\mu _{A}(x),\mu _{A}(y))}$.

Без потери общности можно взять x ≤ y , что дает эквивалентную формулировку

${\displaystyle \forall z\in [x,y]:\mu _{A}(z)\geq \min(\mu _{A}(x),\mu _{A}(y))}$.

Это определение можно распространить на общее топологическое пространство U : мы говорим, что нечеткое множество является выпуклым , когда для любого подмножества Z из U выполняется условие ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall z\in Z:\mu _{A}(z)\geq \inf(\mu _{A}(\partial Z))}$

имеет место, где обозначает границу Z , а обозначает образ множества X (здесь ) под действием функции f (здесь ). ${\displaystyle \partial Z}$ ${\displaystyle f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}}$ ${\displaystyle \partial Z}$ ${\displaystyle \mu _{A}}$

Операции с нечеткими множествами

Хотя дополнение нечеткого множества имеет единственное наиболее общее определение, другие основные операции, объединение и пересечение, имеют некоторую неоднозначность.

• Для заданного нечеткого множества его дополнение (иногда обозначаемое как или ) определяется следующей функцией принадлежности: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \neg {A}}$ ${\displaystyle A^{c}}$ ${\displaystyle cA}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{\neg {A}}(x)=1-\mu _{A}(x)}$.

• Пусть t будет t-нормой , а s — соответствующей s-нормой (также известной как t-конорма). Для пары нечетких множеств их пересечение определяется как: ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle A\cap {B}}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\cap {B}}(x)=t(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$,

и их союз определяется: ${\displaystyle A\cup {B}}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\cup {B}}(x)=s(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$.

По определению t-нормы мы видим, что объединение и пересечение являются коммутативными , монотонными , ассоциативными и имеют как нулевой , так и единичный элемент . Для пересечения это ∅ и U соответственно, тогда как для объединения они меняются местами. Однако объединение нечеткого множества и его дополнения может не привести к полному универсуму U , а их пересечение может не дать пустого множества ∅. Поскольку пересечение и объединение ассоциативны, естественно определить пересечение и объединение конечного семейства нечетких множеств рекурсивно. Примечательно, что общепринятыми стандартными операторами для объединения и пересечения нечетких множеств являются операторы max и min:

• ${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\cup {B}}(x)=\max(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$и . ^[7] ${\displaystyle \mu _{A\cap {B}}(x)=\min(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$

• Если стандартный отрицатель заменить другим сильным отрицателем , то разность нечетких множеств может быть обобщена следующим образом: ${\displaystyle n(\alpha )=1-\alpha ,\alpha \in [0,1]}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{\neg {A}}(x)=n(\mu _{A}(x)).}$

• Тройка нечеткого пересечения, объединения и дополнения образует триплет Де Моргана . То есть законы Де Моргана распространяются на эту тройку.

Примеры нечетких пар пересечения/объединения со стандартным отрицанием можно получить из примеров, приведенных в статье о t-нормах .

Нечеткое пересечение в общем случае не является идемпотентным , поскольку стандартная t-норма min — единственная, которая обладает этим свойством. Действительно, если в качестве t-нормы используется арифметическое умножение, то результирующая операция нечеткого пересечения не является идемпотентной. То есть, итеративное взятие пересечения нечеткого множества с самим собой не является тривиальным. Вместо этого оно определяет m -ю степень нечеткого множества, которая может быть канонически обобщена для нецелых экспонент следующим образом:

• Для любого нечеткого множества ν -я степень определяется функцией принадлежности: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \nu \in \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A^{\nu }}(x)=\mu _{A}(x)^{\nu }.}$

Случай показателя два достаточно особенный, чтобы дать ему название.

• Для любого нечеткого множества концентрация определяется ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle CON(A)=A^{2}}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{CON(A)}(x)=\mu _{A^{2}}(x)=\mu _{A}(x)^{2}.}$

Принимая , имеем и ${\displaystyle 0^{0}=1}$ ${\displaystyle A^{0}=U}$ ${\displaystyle A^{1}=A.}$

• При наличии нечетких множеств разность нечетких множеств , также обозначаемая , может быть определена непосредственно с помощью функции принадлежности: ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle A\setminus B}$ ${\displaystyle A-B}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\setminus {B}}(x)=t(\mu _{A}(x),n(\mu _{B}(x))),}$

что означает , например: ${\displaystyle A\setminus B=A\cap \neg {B}}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\setminus {B}}(x)=\min(\mu _{A}(x),1-\mu _{B}(x)).}$^[8]

Другое предложение по установлению разницы может быть следующим:

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A-{B}}(x)=\mu _{A}(x)-t(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x)).}$^[8]

• Предложения по симметричным нечетким множествам разностей были сделаны Дюбуа и Праде (1980), либо путем взятия абсолютного значения , давая

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\triangle B}(x)=|\mu _{A}(x)-\mu _{B}(x)|,}$

или используя комбинацию только max , min и стандартного отрицания, что дает

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\triangle B}(x)=\max(\min(\mu _{A}(x),1-\mu _{B}(x)),\min(\mu _{B}(x),1-\mu _{A}(x))).}$^[8]

Аксиомы для определения обобщенных симметричных разностей, аналогичные аксиомам для t-норм, t-конорм и отрицателей, были предложены Вемуром и др. (2014) с предшественниками Альсиной и др. (2005) и Бедрегалом и др. (2009). ^[8]

• В отличие от четких множеств, операции усреднения могут быть определены и для нечетких множеств.

Непересекающиеся нечеткие множества

В отличие от общей неоднозначности операций пересечения и объединения, для непересекающихся нечетких множеств существует ясность: два нечетких множества являются непересекающимися тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)=0\lor \mu _{B}(x)=0}$

что эквивалентно

${\displaystyle \nexists }$ ${\displaystyle x\in U:\mu _{A}(x)>0\land \mu _{B}(x)>0}$

а также эквивалентно

${\displaystyle \forall x\in U:\min(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))=0}$

Мы помним, что min / max — это пара at/s-norm, и любая другая тоже подойдет.

Нечеткие множества являются непересекающимися тогда и только тогда, когда их носители непересекаются в соответствии со стандартным определением четких множеств.

Для непересекающихся нечетких множеств любое пересечение даст ∅, а любое объединение даст тот же результат, который обозначается как ${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle A\,{\dot {\cup }}\,B=A\cup B}$

с его функцией принадлежности, заданной как

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A{\dot {\cup }}B}(x)=\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)}$

Обратите внимание, что только одно из обоих слагаемых больше нуля.

Для непересекающихся нечетких множеств справедливо следующее: ${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle \operatorname {Supp} (A\,{\dot {\cup }}\,B)=\operatorname {Supp} (A)\cup \operatorname {Supp} (B)}$

Это можно обобщить на конечные семейства нечетких множеств следующим образом: дано семейство нечетких множеств с индексным множеством I (например, I = {1,2,3,..., n }). Это семейство (попарно) не пересекается тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A=(A_{i})_{i\in I}}$

${\displaystyle {\text{for all }}x\in U{\text{ there exists at most one }}i\in I{\text{ such that }}\mu _{A_{i}}(x)>0.}$

Семейство нечетких множеств является непересекающимся, если и только если семейство базовых опор является непересекающимся в стандартном смысле для семейств четких множеств. ${\displaystyle A=(A_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} \circ A=(\operatorname {Supp} (A_{i}))_{i\in I}}$

Независимо от пары t/s-нормы пересечение непересекающегося семейства нечетких множеств снова даст ∅, тогда как объединение не имеет неоднозначности:

${\displaystyle {\dot {\bigcup \limits _{i\in I}}}\,A_{i}=\bigcup _{i\in I}A_{i}}$

с его функцией принадлежности, заданной как

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{{\dot {\bigcup \limits _{i\in I}}}A_{i}}(x)=\sum _{i\in I}\mu _{A_{i}}(x)}$

Снова только одно из слагаемых больше нуля.

Для непересекающихся семейств нечетких множеств справедливо следующее: ${\displaystyle A=(A_{i})_{i\in I}}$

${\displaystyle \operatorname {Supp} \left({\dot {\bigcup \limits _{i\in I}}}\,A_{i}\right)=\bigcup \limits _{i\in I}\operatorname {Supp} (A_{i})}$

Скалярная мощность

Для нечеткого множества с конечным носителем (т.е. «конечного нечеткого множества») его мощность (также известная как скалярная мощность или сигма-счетчик ) определяется как ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} (A)}$

${\displaystyle \operatorname {Card} (A)=\operatorname {sc} (A)=|A|=\sum _{x\in U}\mu _{A}(x)}$.

В случае, когда U само по себе является конечным множеством, относительная мощность определяется как

${\displaystyle \operatorname {RelCard} (A)=\|A\|=\operatorname {sc} (A)/|U|=|A|/|U|}$.

Это можно обобщить для делителя, который является непустым нечетким множеством: Для нечетких множеств с G ≠ ∅ мы можем определить относительную мощность следующим образом: ${\displaystyle A,G}$

${\displaystyle \operatorname {RelCard} (A,G)=\operatorname {sc} (A|G)=\operatorname {sc} (A\cap {G})/\operatorname {sc} (G)}$,

что выглядит очень похоже на выражение для условной вероятности . Примечание:

• ${\displaystyle \operatorname {sc} (G)>0}$здесь.
• Результат может зависеть от конкретного выбранного пересечения (t-нормы).
• Поскольку результат однозначен и напоминает предыдущее определение. ${\displaystyle G=U}$

Расстояние и сходство

Для любого нечеткого множества функция принадлежности может рассматриваться как семейство . Последнее представляет собой метрическое пространство с несколькими известными метриками. Метрика может быть получена из нормы (векторной нормы) с помощью ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu _{A}:U\to [0,1]}$ ${\displaystyle \mu _{A}=(\mu _{A}(x))_{x\in U}\in [0,1]^{U}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \|\,\|}$

${\displaystyle d(\alpha ,\beta )=\|\alpha -\beta \|}$.

Например, если конечно, т.е. , то такая метрика может быть определена как: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U=\{x_{1},x_{2},...x_{n}\}}$

${\displaystyle d(\alpha ,\beta ):=\max\{|\alpha (x_{i})-\beta (x_{i})|:i=1,...,n\}}$где и — последовательности действительных чисел от 0 до 1. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Для бесконечности максимум можно заменить супремумом. Поскольку нечеткие множества однозначно определяются своей функцией принадлежности, эта метрика может использоваться для измерения расстояний между нечеткими множествами в одной и той же вселенной: ${\displaystyle U}$

${\displaystyle d(A,B):=d(\mu _{A},\mu _{B})}$,

что становится в приведенном выше примере:

${\displaystyle d(A,B)=\max\{|\mu _{A}(x_{i})-\mu _{B}(x_{i})|:i=1,...,n\}}$.

Опять же для бесконечности максимум должен быть заменен супремумом. Другие расстояния (вроде канонической 2-нормы) могут расходиться, если бесконечные нечеткие множества слишком различны, например, и . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle U}$

Меры сходства (здесь обозначенные как ) могут быть выведены из расстояния, например, по предложению Коци: ${\displaystyle S}$

${\displaystyle S=1/(1+d(A,B))}$если конечно, иначе, ${\displaystyle d(A,B)}$ ${\displaystyle 0}$

или по Уильямсу и Стилу:

${\displaystyle S=\exp(-\alpha {d(A,B)})}$если конечно, иначе ${\displaystyle d(A,B)}$ ${\displaystyle 0}$

где — параметр крутизны и . ^[6] ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$

Другое определение для интервально-значимых (довольно «размытых») мер сходства также дано Бегом и Ашрафом. ^[6] ${\displaystyle \zeta }$

Л-нечеткие множества

Иногда используются более общие варианты понятия нечеткого множества, с функциями принадлежности, принимающими значения в (фиксированной или переменной) алгебре или структуре заданного вида; обычно требуется, чтобы они были по крайней мере частично упорядоченным множеством или решеткой . Их обычно называют L -нечеткими множествами , чтобы отличать их от тех, которые имеют значения на единичном интервале. Обычные функции принадлежности со значениями в [0, 1] тогда называются [0, 1]-значными функциями принадлежности. Эти виды обобщений впервые были рассмотрены в 1967 году Джозефом Гогеном , который был учеником Заде. ^[9] Классическим следствием может быть указание истинности и значений принадлежности с помощью {f, t} вместо {0, 1}. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Расширение нечетких множеств было предоставлено Атанасовым . Интуиционистское нечеткое множество (IFS) характеризуется двумя функциями: ${\displaystyle A}$

1. – степень принадлежности x ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$

2. – степень непринадлежности к x ${\displaystyle \nu _{A}(x)}$

с функциями с . ${\displaystyle \mu _{A},\nu _{A}:U\to [0,1]}$ ${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1}$

Это напоминает ситуацию, когда некое лицо, обозначенное голосованием, ${\displaystyle x}$

• для предложения : ( ), ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu _{A}(x)=1,\nu _{A}(x)=0}$
• против этого: ( ), ${\displaystyle \mu _{A}(x)=0,\nu _{A}(x)=1}$
• или воздержаться от голосования: ( ). ${\displaystyle \mu _{A}(x)=\nu _{A}(x)=0}$

В конце концов, у нас есть процент одобрений, процент отрицаний и процент воздержавшихся.

Для этой ситуации можно определить специальные "интуитивные нечеткие" отрицатели, t- и s-нормы. С и путем объединения обеих функций эта ситуация напоминает особый вид L -нечетких множеств. ${\displaystyle D^{*}=\{(\alpha ,\beta )\in [0,1]^{2}:\alpha +\beta =1\}}$ ${\displaystyle (\mu _{A},\nu _{A}):U\to D^{*}}$

И снова это было расширено путем определения нечетких множеств изображений (PFS) следующим образом: PFS A характеризуется тремя функциями, отображающими U в [0, 1]: «степень положительного членства», «степень нейтрального членства» и «степень отрицательного членства» соответственно, а также дополнительным условием. Это расширяет выборку голосования выше дополнительной возможностью «отказа от голосования». ${\displaystyle \mu _{A},\eta _{A},\nu _{A}}$ ${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)+\eta _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1}$

С учетом и специальных «нечетких изображений» отрицателей, t- и s-норм это напоминает просто еще один тип L -нечетких множеств. ^{[10] [11]} ${\displaystyle D^{*}=\{(\alpha ,\beta ,\gamma )\in [0,1]^{3}:\alpha +\beta +\gamma =1\}}$

Нейтрософские нечеткие множества

Некоторые ключевые разработки в области введения концепций нечетких множеств. ^[12]

Концепция IFS была расширена до двух основных моделей. Двумя расширениями IFS являются нейтрософские нечеткие множества и пифагорейские нечеткие множества. ^[12]

Нейтрософские нечеткие множества были введены Смарандаке в 1998 году. ^[13] Как и IFS, нейтрософские нечеткие множества имеют предыдущие две функции: одну для членства и другую для нечленства . Главное отличие состоит в том, что нейтрософские нечеткие множества имеют еще одну функцию: для неопределенности . Это значение указывает на степень неопределенности того, что сущность x принадлежит множеству. Эта концепция наличия неопределенного значения может быть особенно полезна, когда нельзя быть полностью уверенным в значениях членства или нечленства для элемента x . ^[14] Подводя итог, нейтрософские нечеткие множества связаны со следующими функциями: ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$ ${\displaystyle \nu _{A}(x)}$ ${\displaystyle i_{A}(x)}$ ${\displaystyle i_{A}(x)}$

1. —степень принадлежности x ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$

2. —степень непринадлежности к x ${\displaystyle \nu _{A}(x)}$

3. —степень неопределенности значения x ${\displaystyle i_{A}(x)}$

Пифагорейские нечеткие множества

Другое расширение IFS — это то, что известно как пифагорейские нечеткие множества. Пифагорейские нечеткие множества более гибкие, чем IFS. IFS основаны на ограничении , которое в некоторых случаях может считаться слишком ограничительным. Вот почему Ягер предложил концепцию пифагорейских нечетких множеств. Такие множества удовлетворяют ограничению , которое напоминает теорему Пифагора. ^{[15] [16] [17]} Пифагоровые нечеткие множества могут быть применимы к реальным приложениям, в которых предыдущее условие недействительно. Однако менее ограничительное условие может быть подходящим в большем количестве областей. ^{[12] [14]} ${\displaystyle \mu _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1}$ ${\displaystyle \mu _{A}(x)^{2}+\nu _{A}(x)^{2}\leq 1}$ ${\displaystyle \mu _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1}$ ${\displaystyle \mu _{A}(x)^{2}+\nu _{A}(x)^{2}\leq 1}$

Нечеткая логика

Как расширение случая многозначной логики , оценки ( ) пропозициональных переменных ( ) в набор степеней принадлежности ( ) можно рассматривать как функции принадлежности , отображающие предикаты в нечеткие множества (или более формально, в упорядоченный набор нечетких пар, называемый нечетким отношением). С этими оценками многозначная логика может быть расширена, чтобы допустить нечеткие предпосылки , из которых можно делать градуированные выводы. ^[18] ${\displaystyle \mu :{\mathit {V}}_{o}\to {\mathit {W}}}$ ${\displaystyle {\mathit {V}}_{o}}$ ${\displaystyle {\mathit {W}}}$

Это расширение иногда называют «нечеткой логикой в ​​узком смысле» в отличие от «нечеткой логики в широком смысле», которая возникла в инженерных областях автоматизированного управления и инженерии знаний и которая охватывает многие темы, связанные с нечеткими множествами и «приближенными рассуждениями». ^[19]

Промышленное применение нечетких множеств в контексте «нечеткой логики в широком смысле» можно найти на странице нечеткая логика .

Нечеткое число

Нечеткое число ^[20] — это нечеткое множество, удовлетворяющее всем следующим условиям:

• А нормализовано;
• A — выпуклое множество;
• Функция принадлежности достигает значения 1 хотя бы один раз; ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$
• Функция принадлежности является по крайней мере сегментально непрерывной. ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$

Если эти условия не выполняются, то A не является нечетким числом . Ядро этого нечеткого числа — синглтон ; его местоположение:

${\displaystyle \,C(A)=x^{*}:\mu _{A}(x^{*})=1}$

Нечеткие числа можно сравнить с игрой на ярмарке «Угадай свой вес», где кто-то угадывает вес участника, причем более близкие догадки являются более правильными, и где угадавший «выигрывает», если его или ее догадка достаточно близка к весу участника, а фактический вес оказывается полностью правильным (соответствующим 1 с помощью функции принадлежности).

Ядро нечеткого интервала определяется как «внутренняя» часть без «исходящих» частей, где значение членства постоянно до бесконечности. Другими словами, наименьшее подмножество, где постоянно вне его, определяется как ядро. ${\displaystyle K(A)=\operatorname {Kern} (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$

Однако существуют и другие концепции нечетких чисел и интервалов, поскольку некоторые авторы не настаивают на выпуклости.

Нечеткие категории

Использование членства в множестве как ключевого компонента теории категорий может быть обобщено на нечеткие множества. Этот подход, который начался в 1968 году вскоре после введения теории нечетких множеств, ^[21] привел к разработке категорий Гогена в 21 веке. ^{[22] [23]} В этих категориях вместо использования членства в множестве с двумя значениями используются более общие интервалы, и они могут быть решетками, как в L -нечетких множествах. ^{[23] [24]}

Уравнение нечеткого отношения

Уравнение нечеткого отношения — это уравнение вида A · R = B , где A и B — нечеткие множества, R — нечеткое отношение, а A · R обозначает композицию A с  R ^{[ необходима ссылка ]} .

Энтропия

Мера d нечеткости для нечетких множеств вселенной должна удовлетворять следующим условиям для всех : ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in U}$

1. ${\displaystyle d(A)=0}$если это четкий набор: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu _{A}(x)\in \{0,\,1\}}$
2. ${\displaystyle d(A)}$имеет уникальный максимум тогда и только тогда ${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)=0.5}$
3. ${\displaystyle \mu _{A}\leq \mu _{B}\iff }$

${\displaystyle \mu _{A}\leq \mu _{B}\leq 0.5}$

${\displaystyle \mu _{A}\geq \mu _{B}\geq 0.5}$

что означает, что B «четче», чем A.

1. ${\displaystyle d(\neg {A})=d(A)}$

В этом случае называется энтропией нечеткого множества A. ${\displaystyle d(A)}$

Для конечного энтропия нечеткого множества определяется выражением ${\displaystyle U=\{x_{1},x_{2},...x_{n}\}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle d(A)=H(A)+H(\neg {A})}$,

${\displaystyle H(A)=-k\sum _{i=1}^{n}\mu _{A}(x_{i})\ln \mu _{A}(x_{i})}$

или просто

${\displaystyle d(A)=-k\sum _{i=1}^{n}S(\mu _{A}(x_{i}))}$

где - функция Шеннона (функция естественной энтропии) ${\displaystyle S(x)=H_{e}(x)}$

${\displaystyle S(\alpha )=-\alpha \ln \alpha -(1-\alpha )\ln(1-\alpha ),\ \alpha \in [0,1]}$

и является константой, зависящей от единицы измерения и используемого основания логарифма (здесь мы использовали натуральное основание e ). Физическая интерпретация k — это постоянная Больцмана k ^B . ${\displaystyle k}$

Пусть — нечеткое множество с непрерывной функцией принадлежности (нечеткая переменная). Тогда ${\displaystyle A}$

${\displaystyle H(A)=-k\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Cr} \lbrace A\geq t\rbrace \ln \operatorname {Cr} \lbrace A\geq t\rbrace \,dt}$

и его энтропия равна

${\displaystyle d(A)=-k\int _{-\infty }^{\infty }S(\operatorname {Cr} \lbrace A\geq t\rbrace )\,dt.}$^{[25] [26]}

Расширения

Существует множество математических конструкций, похожих на нечеткие множества или более общих, чем они. С тех пор, как нечеткие множества были введены в 1965 году, было разработано много новых математических конструкций и теорий, трактующих неточность, неточность, неоднозначность и неопределенность. Некоторые из этих конструкций и теорий являются расширениями теории нечетких множеств, в то время как другие пытаются математически моделировать неточность и неопределенность другим способом. ^[27]

Смотрите также

• Альтернативная теория множеств
• Дефаззификация
• Нечеткая концепция
• Нечеткая математика
• Операции с нечеткими множествами
• Нечеткая подалгебра
• Интервальный конечный элемент
• Линейная частичная информация
• Мультисет
• Нейро-нечеткий
• Грубая нечеткая гибридизация
• Грубый набор
• Индекс сходства Сёренсена
• Нечеткие множества и системы типа 2
• Неопределенность

Ссылки

1. LA Zadeh (1965) "Нечеткие множества" Архивировано 13 августа 2015 г. в Wayback Machine . Информация и управление 8 (3) 338–353.
2. Клауа, Д. (1965) Über einen Ansatz zur mehrwertigen Mengenlehre. Монацб. немецкий. Акад. Висс. Берлин 7, 859–876. Недавний углубленный анализ этой статьи был предоставлен Готвальдом С. (2010). «Ранний подход к градуированной идентичности и градуированному членству в теории множеств». Нечеткие множества и системы . 161 (18): 2369–2379. дои : 10.1016/j.fss.2009.12.005.
3. Д. Дюбуа и Х. Праде (1988) Нечеткие множества и системы. Academic Press, Нью-Йорк.
4. Лян, Лили Р.; Лу, Шийонг; Ван, Сюэна; Лу, Йи; Мандал, Винай; Патачсил, Доррелин; Кумар, Дипак (2006). "FM-тест: подход на основе теории нечетких множеств к анализу данных о дифференциальной экспрессии генов". BMC Bioinformatics . 7 (Suppl 4): S7. doi : 10.1186/1471-2105-7-S4-S7 . PMC 1780132 . PMID  17217525. 
5. "AAAI". Архивировано из оригинала 5 августа 2008 года.
6. Ismat Beg, Samina Ashraf: Меры сходства для нечетких множеств, в: Applied and Computational Mathematics, март 2009 г., доступно на Research Gate с 23 ноября 2016 г.
7. Беллман, Ричард; Гирц, Магнус (1973). «Об аналитическом формализме теории нечетких множеств». Информационные науки . 5 : 149–156. doi :10.1016/0020-0255(73)90009-1.
8. NR Vemuri, AS Hareesh, MS Srinath: Разность множеств и симметричная разность нечетких множеств, в: Теория нечетких множеств и приложения 2014, Липтовски Ян, Словацкая Республика
9. Goguen, Joseph A. , 196, " L -нечеткие множества". Журнал математического анализа и приложений 18 : 145–174
10. Буй Конг Куонг, Владик Крейнович, Роан Тхи Нган: Классификация представимых операторов t-нормы для нечетких множеств изображений, в: Технические отчеты департаментов (CS). Статья 1047, 2016
11. Тридив Джоти Неог, Дусманта Кумар Сут: Дополнение расширенного нечеткого множества, в: Международный журнал компьютерных приложений (097 5–8887), том 29 № 3, сентябрь 2011 г.
12. Yanase J, Triantaphyllou E (2019). «Систематическое исследование компьютерной диагностики в медицине: прошлое и настоящее». Экспертные системы с приложениями . 138 : 112821. doi : 10.1016/j.eswa.2019.112821. S2CID  199019309.
13. Smarandache, Florentin (1998). Neutrososophy: Neutrosofic Probability, Set, and Logic: Analytic Synthesis & Synthetic Analysis . American Research Press. ISBN 978-1879585638.
14. Yanase J, Triantaphyllou E (2019). «Семь ключевых проблем будущего компьютерной диагностики в медицине». Международный журнал медицинской информатики . 129 : 413–422. doi : 10.1016/j.ijmedinf.2019.06.017. PMID  31445285. S2CID  198287435.
15. Ягер, Рональд Р. (июнь 2013 г.). «Пифагорейские нечеткие подмножества». 2013 г. Совместный Всемирный конгресс IFSA и Ежегодное собрание NAFIPS (IFSA/NAFIPS) . стр. 57–61. doi :10.1109/IFSA-NAFIPS.2013.6608375. ISBN 978-1-4799-0348-1. S2CID  36286152. {{cite book}}: |journal=проигнорировано ( помощь )
16. Ягер, Рональд Р. (2013). «Пифагорейские степени членства в многокритериальном принятии решений». Труды IEEE по нечетким системам . 22 (4): 958–965. doi :10.1109/TFUZZ.2013.2278989. S2CID  37195356.
17. Ягер, Рональд Р. (декабрь 2015 г.). Свойства и применение пифагорейских нечетких множеств . Springer, Cham. стр. 119–136. ISBN 978-3-319-26302-1.
18. Зигфрид Готвальд , 2001. Трактат о многозначных логиках . Болдок, Хартфордшир, Англия: Research Studies Press Ltd., ISBN 978-0-86380-262-1 
19. «Концепция лингвистической переменной и ее применение к приближенным рассуждениям», Информационные науки 8 : 199–249, 301–357; 9 : 43–80.
20. «Нечеткие множества как основа теории возможностей», Нечеткие множества и системы
21. JA Goguen «Категории нечетких множеств: приложения неканторовой теории множеств» Докторская диссертация Калифорнийский университет, Беркли, 1968
22. Майкл Винтер «Категории Гогена: Категориальный подход к L-нечетким отношениям» 2007 Springer ISBN 9781402061639 
23. Майкл Винтер "Теория представлений категорий Гогуэна" Нечеткие множества и системы Том 138, выпуск 1, 16 августа 2003 г., страницы 85–126
24. Goguen, JA, "L-нечеткие множества". Журнал математического анализа и приложений 18(1):145–174, 1967
25. Сюэчэн, Лю (1992). «Энтропия, мера расстояния и мера сходства нечетких множеств и их отношений». Нечеткие множества и системы . 52 (3): 305–318. doi :10.1016/0165-0114(92)90239-Z.
26. - энтропия». Журнал анализа неопределенности и приложений . 3. doi : 10.1186/s40467-015-0029-5 .
27. Бургин и Чунихин 1997; Керре 2001; Дешрейвер и Керре 2003.

Библиография

• Альхазалех, С. и Саллех, А.Р. Теория нечетких мягких мультимножеств, Абстрактный и прикладной анализ, 2012, идентификатор статьи 350600, 20 стр.
• Атанасов, КТ (1983) Интуиционистские нечеткие множества, VII сессия ИТКР, София (депонировано в Центральной научно-технической библиотеке Болгарской академии наук, 1697/84) (на болгарском языке)
• Атанасов, Крассимир Т. (1986). «Интуиционистские нечеткие множества». Нечеткие множества и системы . 20 : 87–96. doi :10.1016/S0165-0114(86)80034-3.
• Баруа, Хеманта К. (2011) Теория нечетких множеств: убеждения и реальность, Международный журнал энергетики, информации и коммуникаций, том 2, выпуск 2, 1–22.
• Баруа, Хеманта К. (2012) Введение в теорию неточных множеств: математика частичного присутствия, Международный журнал вычислительных и математических наук, т. 2, № 2, 110–124.
• Bezdek, JC (1978). "Нечеткие разбиения и отношения и аксиоматическая основа для кластеризации". Нечеткие множества и системы . 1 (2): 111–127. doi :10.1016/0165-0114(78)90012-X.
• Близард, Уэйн Д. (1989). «Вещественные мультимножества и нечеткие множества». Нечеткие множества и системы . 33 : 77–97. doi :10.1016/0165-0114(89)90218-2.
• Браун, Джозеф Г. (1971). «Заметка о нечетких множествах». Информация и управление . 18 : 32–39. doi :10.1016/S0019-9958(71)90288-9.
• Бруточки Корнелия: Нечеткая логика (диплом) – Хотя этот сценарий имеет много странностей и нестыковок из-за своей незавершенности, его можно использовать в качестве шаблона для упражнений по устранению этих проблем.
• Бергин, М. Теория именованных множеств как фундаментальная основа математики, в книге «Структуры в математических теориях», Сан-Себастьян, 1990, стр. 417–420
• Бургин, М.; Чунихин, А. (1997). «Именованные множества в анализе неопределенности». Методологические и теоретические проблемы математики и информатики . Киев: 72–85.
• Джанпьеро Каттанео и Давиде Чуччи, «Алгебры Гейтинга-Вайсберга как абстрактная среда, связывающая нечеткие и грубые множества» в JJ Alpigini et al. (ред.): RSCTC 2002, LNAI 2475, стр. 77–84, 2002. doi :10.1007/3-540-45813-1_10
• Чаморро-Мартинес, Дж. и др.: Дискуссия о нечеткой мощности и квантификации. Некоторые приложения в обработке изображений, SciVerse ScienceDirect: Нечеткие множества и системы 257 (2014) 85–101, 30 мая 2013 г.
• Чапин, Э. У. (1974) Теория множеств со значениями, I, Notre Dame J. Formal Logic, т. 15, стр. 619–634
• Чапин, Э. У. (1975) Теория множеств со значениями, II, Notre Dame J. Formal Logic, т. 16, стр. 255–267
• Корнелис, Крис; Де Кок, Мартин; Керре, Этьен Э. (2003). «Интуиционистские нечеткие грубые множества: на перекрестке несовершенных знаний». Expert Systems . 20 (5): 260–270. doi :10.1111/1468-0394.00250. S2CID  15031773.
• Корнелис, К., Дешрайвер, К. и Керре, Э.Е. (2004) Импликация в интуиционистской и интервально-значной теории нечетких множеств: построение, классификация, применение, Международный журнал приближенного рассуждения, т. 35, стр. 55–95
• Де Кок, Мартин; Боденхофер, Ульрих; Керре, Этьен Э. (1–4 октября 2000 г.). Моделирование лингвистических выражений с использованием нечетких отношений . Труды 6-й Международной конференции по мягким вычислениям. Иидзука, Япония. С. 353–360. CiteSeerX  10.1.1.32.8117 .
• Демирчи, Мустафа (1999). «Истинные множества». Нечеткие множества и системы . 105 (3): 377–384. doi :10.1016/S0165-0114(97)00235-2.
• Дешрайвер, Г.; Керре, Э.Е. (2003). «О связи между некоторыми расширениями теории нечетких множеств». Нечеткие множества и системы . 133 (2): 227–235. doi :10.1016/S0165-0114(02)00127-6.
• Didier Dubois, Henri M. Prade, ред. (2000). Основы нечетких множеств . Серия Handbooks of Fuzzy Sets. Том 7. Springer. ISBN 978-0-7923-7732-0.
• Фэн Ф. Обобщенные грубые нечеткие множества на основе мягких множеств, Soft Computing, июль 2010 г., том 14, выпуск 9, стр. 899–911
• Жантильомм, Ю. (1968) Les ансамбли flous en linguistique, Cahiers Linguistique Theoretique Appliqee, 5, стр. 47–63.
• Гоген, JA (1967) L-нечеткие множества, Журнал Math. Analysis Appl., т. 18, стр. 145–174
• Готтвальд, С. (2006). «Вселенные нечетких множеств и аксиоматизации теории нечетких множеств. Часть I: Подходы, основанные на моделях и аксиоматика». Studia Logica . 82 (2): 211–244. doi :10.1007/s11225-006-7197-8. S2CID  11931230.. Готтвальд, С. (2006). «Вселенные нечетких множеств и аксиоматизации теории нечетких множеств. Часть II: Теоретико-категорийные подходы». Studia Logica . 84 : 23–50. doi :10.1007/s11225-006-9001-1. S2CID  10453751.препринт..
• Граттан-Гиннесс, И. (1975) Нечеткое членство, отображенное на интервальные и многозначные величины. Z. Math. Logik. Grundladen Math. 22, стр. 149–160.
• Гржимала-Буссе, Дж. Обучение на примерах, основанных на грубых мультимножествах, в Трудах 2-го Международного симпозиума по методологиям для интеллектуальных систем, Шарлотт, Северная Каролина, США, 1987, стр. 325–332
• Джилис, РП (1994) Квантовые множества и пучки над кванталами, Liet. Matem. Rink., т. 34, № 1, стр. 9–31.
• Ulrich Höhle, Stephen Ernest Rodabaugh, ред. (1999). Математика нечетких множеств: логика, топология и теория меры . Серия Handbooks of Fuzzy Sets. Том 3. Springer. ISBN 978-0-7923-8388-8.
• Ян, К.-У. (1975). «Интервал-вертиге Менген». Mathematische Nachrichten . 68 : 115–132. дои : 10.1002/MANA.19750680109.
• Кауфман, Арнольд . Введение в теорию нечетких подмножеств. Т. 2. Академик Пр, 1975.
• Kerre, EE (2001). "Первый взгляд на альтернативы теории нечетких множеств". В B. Reusch; KH. Temme (ред.). Вычислительный интеллект в теории и практике . Heidelberg: Physica-Verlag. стр. 55–72. doi :10.1007/978-3-7908-1831-4_4. ISBN 978-3-7908-1357-9.
• Джордж Дж. Клир; Бо Юань (1995). Нечеткие множества и нечеткая логика: теория и приложения . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-101171-7.
• Кузьмин, В.Б. (1982). «Построение групповых решений в пространствах строгих и нечетких бинарных отношений». Наука, Москва.
• Лейк, Дж. (1976) Множества, нечеткие множества, мультимножества и функции, J. London Math. Soc., II Ser., т. 12, стр. 323–326
• Мэн, Д., Чжан, С. и Цинь, К. Мягкие грубые нечеткие множества и мягкие нечеткие грубые множества, «Компьютеры и математика с приложениями», т. 62, выпуск 12, 2011 г., стр. 4635–4645
• Миямото, Садааки (2001). "Нечеткие мультимножества и их обобщения". Обработка мультимножеств . Конспект лекций по информатике. Том 2235. С. 225–235. doi :10.1007/3-540-45523-X_11. ISBN 978-3-540-43063-6.
• Молодцов, О. (1999) Теория мягких множеств – первые результаты, Компьютеры и математика с приложениями, т. 37, № 4/5, стр. 19–31
• Мур, RE Интервальный анализ, Нью-Йорк, Prentice-Hall, 1966
• Накамура, А. (1988) Нечеткие грубые множества, «Заметки о многозначной логике в Японии», т. 9, стр. 1–8
• Нариньяни, А.С. Недоопределенные множества – новый тип данных для представления знаний, Препринт 232, Проект ВОСТОК, выпуск 4, Новосибирск, Вычислительный центр АН СССР, 1980
• Педриц, В. Затененные множества: представление и обработка нечетких множеств, Труды IEEE по системам, человеку и кибернетике, часть B, 28, 103–109, 1998.
• Радецкий, Т. Уровень нечетких множеств, «Журнал кибернетики», том 7, выпуск 3–4, 1977 г.
• Радзиковская, AM и Этьен Э. Керре, EE О нечетких грубых множествах L, искусственном интеллекте и мягких вычислениях – ICAISC 2004, 7-я международная конференция, Закопане, Польша, 7–11 июня 2004 г., Труды; 01/2004
• Салий, В. Н. (1965). «Бинарные L-отношения» (PDF) . Изв. Выш. Учебн. Завед. Математика (на русском языке). 44 (1): 133–145.
• Рамакришнан, ТВ и Сабу Себастьян (2010) «Исследование многонечетких множеств», Int. J. Appl. Math. 23, 713–721.
• Сабу Себастьян и Рамакришнан, ТВ (2010) Мультинечеткие множества, Международный математический форум 50, 2471–2476.
• Сабу Себастьян и Рамакришнан, ТВ (2011) Мультинечеткие множества: расширение нечетких множеств, Fuzzy Inf.Eng. 1, 35–43.
• Сабу Себастьян и Рамакришнан, ТВ (2011) Мультинечеткие расширения функций, Advance in Adaptive Data Analysis 3, 339–350.
• Сабу Себастьян и Рамакришнан, ТВ (2011) Мульти-нечеткое расширение четких функций с использованием мостовых функций, Ann. Fuzzy Math. Inform. 2 (1), 1–8
• Самбук, Р. Функции φ-floues: Применение в качестве помощника в диагностике и патологии щитовидной железы, доктор философии. Диссертация Univ. Марсель, Франция, 1975 год.
• Seising, Rudolf: Нечеткая интерпретация систем. Генезис теории нечетких множеств и ее начальные приложения — разработки до 1970-х годов (Исследования нечеткости и мягких вычислений, том 216) Берлин, Нью-Йорк, [и др.]: Springer 2007.
• Смит, NJJ (2004) Неопределенность и размытые множества, «J. of Phil. Logic», 33, стр. 165–235
• Верро, Николас: Нечеткая классификация онлайн-клиентов. Архивировано 01.12.2017 в Wayback Machine , Фрибургский университет, Швейцария, 2008, Глава 2.
• Ягер, Р. Р. (1986) О теории сумок, Международный журнал общих систем, т. 13, стр. 23–37
• Яо, YY, Комбинация грубых и нечетких множеств на основе множеств α-уровня, в: Грубые множества и интеллектуальный анализ данных: анализ неточных данных, Лин, TY и Черконе, Н. (ред.), Kluwer Academic Publishers, Бостон, стр. 301–321, 1997.
• YY Yao, Сравнительное исследование нечетких и грубых множеств, Информационные науки, т. 109, выпуск 1–4, 1998, стр. 227 – 242
• Заде, Л. (1975) Концепция лингвистической переменной и ее применение к приближенным рассуждениям – I, Inform. Sci., т. 8, стр. 199–249
• Ханс-Юрген Циммерман (2001). Теория нечетких множеств и ее приложения (4-е изд.). Kluwer. ISBN 978-0-7923-7435-0.