Интервальный конечный элемент

Максимальное напряжение по Мизесу в задаче о плоском напряжении с интервальными параметрами (рассчитано с использованием градиентного метода).

В численном анализе метод интервальных конечных элементов ( МКЭ ) — это метод конечных элементов , который использует интервальные параметры. МКЭ может применяться в ситуациях, когда невозможно получить надежные вероятностные характеристики конструкции. Это важно в бетонных конструкциях, деревянных конструкциях, геомеханике, композитных конструкциях, биомеханике и во многих других областях. ^[1] Целью метода интервальных конечных элементов является нахождение верхних и нижних границ различных характеристик модели (например, напряжения , смещения , поверхности текучести и т. д.) и использование этих результатов в процессе проектирования. Это так называемое проектирование наихудшего случая, которое тесно связано с проектированием по предельным состояниям .

Для наихудшего варианта требуется меньше информации, чем для вероятностного , однако результаты более консервативны [Köylüoglu and Elishakoff 1998]. ^{[ необходима цитата ]}

Применение интервальных параметров к моделированию неопределенности

Рассмотрим следующее уравнение: где a и b — действительные числа , и . $${\displaystyle ax=b}$$ ${\displaystyle x={\frac {b}{a}}}$

Очень часто точные значения параметров a и b неизвестны.

Предположим, что и . В этом случае необходимо решить следующее уравнение ${\displaystyle a\in [1,2]=\mathbf {a} }$ ${\displaystyle b\in [1,4]=\mathbf {b} }$ $${\displaystyle [1,2]x=[1,4]}$$

Существует несколько определений множества решений этого уравнения с интервальными параметрами.

Единый набор решений

При таком подходе решением является следующий набор $${\displaystyle \mathbf {x} =\left\{x:ax=b,a\in \mathbf {a} ,b\in \mathbf {b} \right\}={\frac {\mathbf {b} }{\mathbf {a} }}={\frac {[1,4]}{[1,2]}}=[0.5,4]}$$

Это наиболее популярный набор решений интервального уравнения, и этот набор решений будет применен в этой статье.

В многомерном случае объединенное множество решений гораздо сложнее. Множество решений следующей системы линейных интервальных уравнений показано на следующем рисунке $${\displaystyle {\begin{bmatrix}{[-4,-3]}&{[-2,2]}\\{[-2,2]}&{[-4,-3]}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{[-8,8]}\\{[-8,8]}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \sum {_{\exists \exists }}(\mathbf {A} ,\mathbf {b} )=\{x:Ax=b,A\in \mathbf {A} ,b\in \mathbf {b} \}}$$

Точное множество решений очень сложно, поэтому необходимо найти наименьший интервал, содержащий точное множество решений. $${\displaystyle \diamondsuit \left(\sum {_{\exists \exists }}(\mathbf {A} ,\mathbf {b} )\right)=\diamondsuit \{x:Ax=b,A\in \mathbf {A} ,b\in \mathbf {b} \}}$$или просто где См. также [1] $${\displaystyle \diamondsuit \left(\sum {_{\exists \exists }}(\mathbf {A} ,\mathbf {b} )\right)=[{\underline {x}}_{1},{\overline {x}}_{1}]\times [{\underline {x}}_{2},{\overline {x}}_{2}]\times \dots \times [{\underline {x}}_{n},{\overline {x}}_{n}]}$$ $${\displaystyle {\underline {x}}_{i}=\min\{x_{i}:Ax=b,A\in \mathbf {A} ,b\in \mathbf {b} \},\ \ {\overline {x}}_{i}=\max\{x_{i}:Ax=b,A\in \mathbf {A} ,b\in \mathbf {b} \}}$$ $${\displaystyle x_{i}\in \{x_{i}:Ax=b,A\in \mathbf {A} ,b\in \mathbf {b} \}=[{\underline {x}}_{i},{\overline {x}}_{i}]}$$

Параметрическое множество решений интервальной линейной системы

Метод интервальных конечных элементов требует решения системы уравнений, зависящей от параметров (обычно с симметричной положительно определенной матрицей). Пример набора решений общей системы уравнений, зависящей от параметров

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}\\p_{2}+1&p_{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {p_{1}+6p_{2}}{5.0}}\\2p_{1}-6\end{bmatrix}},\ \ {\text{for}}\ \ p_{1}\in [2,4],p_{2}\in [-2,1].}$$показано на рисунке ниже. ^[2]

Алгебраическое решение

В этом подходе x — это интервальное число, для которого уравнение выполняется. Другими словами, левая часть уравнения равна правой части уравнения. В этом конкретном случае решение таково, потому что $${\displaystyle [1,2]x=[1,4]}$$ ${\displaystyle x=[1,2]}$ $${\displaystyle ax=[1,2][1,2]=[1,4]}$$

Если неопределенность больше, т.е. , то поскольку ${\displaystyle a=[1,4]}$ ${\displaystyle x=[1,1]}$ $${\displaystyle ax=[1,4][1,1]=[1,4]}$$

Если неопределенность еще больше, т.е. , то решения не существует. Найти физическую интерпретацию алгебраического интервального множества решений очень сложно. Поэтому в приложениях обычно применяется объединенное множество решений. ${\displaystyle a=[1,8]}$

Метод

Рассмотрим уравнение в частных производных с интервальными параметрами

где — вектор параметров, принадлежащих заданным интервалам ${\displaystyle p=(p_{1},\dots ,p_{m})\in {\mathbf {p} }}$ $${\displaystyle p_{i}\in [{\underline {p}}_{i},{\overline {p}}_{i}]={\mathbf {p} }_{i},}$$ $${\displaystyle {\mathbf {p} }={\mathbf {p} }_{1}\times {\mathbf {p} }_{2}\times \cdots \times {\mathbf {p} }_{m}.}$$

Например, уравнение теплопередачи , где — интервальные параметры (т.е. ). $${\displaystyle k_{x}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+k_{y}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+q=0{\text{ for }}x\in \Omega }$$ $${\displaystyle u(x)=u^{*}(x){\text{ for }}x\in \partial \Omega }$$ ${\displaystyle k_{x},k_{y}}$ ${\displaystyle k_{x}\in {\mathbf {k} }_{x},\ k_{y}\in {\mathbf {k} }_{y}}$

Решение уравнения ( 1 ) можно определить следующим образом $${\displaystyle {\tilde {u}}(x):=\{u(x):G(x,u,p)=0,p\in {\mathbf {p} }\}}$$

Например, в случае уравнения теплопередачи $${\displaystyle {\tilde {u}}(x)=\left\{u(x):k_{x}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+k_{y}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+q=0{\text{ for }}x\in \Omega ,u(x)=u^{*}(x){\text{ for }}x\in \partial \Omega ,k_{x}\in {\mathbf {k} }_{x},\ k_{y}\in {\mathbf {k} }_{y}\right\}}$$

Решение очень сложное, поскольку на практике интереснее найти наименьший возможный интервал, содержащий точное множество решений . ${\displaystyle {\tilde {u}}}$ ${\displaystyle {\tilde {u}}}$

$${\displaystyle {\mathbf {u} }(x)=\lozenge {\tilde {u}}(x)=\lozenge \{u(x):G(x,u,p)=0,p\in {\mathbf {p} }\}}$$

Например, в случае уравнения теплопередачи $${\displaystyle {\mathbf {u} }(x)=\lozenge \left\{u(x):k_{x}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+k_{y}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+q=0{\text{ for }}x\in \Omega ,u(x)=u^{*}(x){\text{ for }}x\in \partial \Omega ,k_{x}\in {\mathbf {k} }_{x},\ k_{y}\in {\mathbf {k} }_{y}\right\}}$$

Метод конечных элементов приводит к следующей системе алгебраических уравнений, зависящей от параметров , где K — матрица жесткости , а Q — правая часть. $${\displaystyle K(p)u=Q(p),\ \ \ p\in {\mathbf {p} }}$$

Интервальное решение можно определить как многозначную функцию $${\displaystyle {\mathbf {u} }=\lozenge \{u:K(p)u=Q(p),p\in {\mathbf {p} }\}}$$

В простейшем случае приведенную выше систему можно рассматривать как систему линейных интервальных уравнений .

Также можно определить интервальное решение как решение следующей задачи оптимизации: $${\displaystyle {\underline {u}}_{i}=\min\{u_{i}:K(p)u=Q(p),p\in {\mathbf {p} }\}}$$ $${\displaystyle {\overline {u}}_{i}=\max\{u_{i}:K(p)u=Q(p),p\in {\mathbf {p} }\}}$$

В многомерном случае интервальное решение можно записать как $${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{1}\times \cdots \times \mathbf {u} _{n}=[{\underline {u}}_{1},{\overline {u}}_{1}]\times \cdots \times [{\underline {u}}_{n},{\overline {u}}_{n}]}$$

Интервальное решение против вероятностного решения

Важно знать, что интервальные параметры генерируют иные результаты, чем равномерно распределенные случайные величины .

Параметр интервала учитывает все возможные распределения вероятностей (для ). ${\displaystyle \mathbf {p} =[{\underline {p}},{\overline {p}}]}$ ${\displaystyle p\in [{\underline {p}},{\overline {p}}]}$

Для определения параметра интервала необходимо знать только верхнюю и нижнюю границу . ${\displaystyle {\overline {p}}}$ ${\displaystyle {\underline {p}}}$

Расчеты вероятностных характеристик требуют знания большого количества экспериментальных результатов.

Можно показать, что сумма n интервальных чисел в раз больше суммы соответствующих нормально распределенных случайных величин. ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

Сумма n- го числа интервалов равна ${\displaystyle \mathbf {p} =[{\underline {p}},{\overline {p}}]}$ $${\displaystyle n\mathbf {p} =[n{\underline {p}},n{\overline {p}}]}$$

Ширина этого интервала равна $${\displaystyle n{\overline {p}}-n{\underline {p}}=n({\overline {p}}-{\underline {p}})=n\Delta p}$$

Рассмотрим нормально распределенную случайную величину X такую, что $${\displaystyle m_{X}=E[X]={\frac {{\overline {p}}+{\underline {p}}}{2}},\sigma _{X}={\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}={\frac {\Delta p}{6}}}$$

Сумма n нормально распределенных случайных величин представляет собой нормально распределенную случайную величину со следующими характеристиками (см. Six Sigma ): $${\displaystyle E[nX]=n{\frac {{\overline {p}}+{\underline {p}}}{2}},\sigma _{nX}={\sqrt {n\operatorname {Var} [X]}}={\sqrt {n}}\sigma ={\sqrt {n}}{\frac {\Delta p}{6}}}$$

Можно предположить, что ширина вероятностного результата равна 6 сигм (сравните Шесть сигм ). $${\displaystyle 6\sigma _{nX}=6{\sqrt {n}}{\frac {\Delta p}{6}}={\sqrt {n}}\Delta p}$$

Теперь мы можем сравнить ширину интервального результата и вероятностный результат. $${\displaystyle {\frac {{\text{width of }}n{\text{ intervals}}}{{\text{width of }}n{\text{ random variables}}}}={\frac {n\Delta p}{{\sqrt {n}}\Delta p}}={\sqrt {n}}}$$

Из-за этого результаты интервального конечного элемента (или в общем случае анализа наихудшего случая) могут быть переоценены по сравнению со стохастическим фем-анализом (см. также распространение неопределенности ). Однако в случае невероятностной неопределенности невозможно применить чисто вероятностные методы. Поскольку вероятностные характеристики в этом случае точно не известны ( Elishakoff 2000).

Можно рассматривать случайные (и нечеткие случайные величины) с интервальными параметрами (например, с интервальным средним, дисперсией и т. д.). Некоторые исследователи используют интервальные (нечеткие) измерения в статистических расчетах (например, [2] Архивировано 2010-06-16 на Wayback Machine ). В результате таких расчетов мы получим так называемую неточную вероятность .

Неточная вероятность понимается в очень широком смысле. Она используется как общий термин для охвата всех математических моделей, которые измеряют случайность или неопределенность без точных числовых вероятностей. Она включает как качественные (сравнительная вероятность, частичные упорядочения предпочтений, ...), так и количественные режимы (интервальные вероятности, функции убеждения, верхние и нижние предвидения, ...). Неточные вероятностные модели необходимы в задачах вывода, где соответствующая информация скудна, неопределенна или противоречива, а также в задачах принятия решений, где предпочтения также могут быть неполными [3].

Простой пример: моделирование растяжения, сжатия, деформации и напряжения.

Пример 1-го измерения

В задаче растяжения - сжатия следующее уравнение показывает связь между смещением u и силой P : где L — длина, A — площадь поперечного сечения, а E — модуль Юнга . $${\displaystyle {\frac {EA}{L}}u=P}$$

Если модуль Юнга и сила неопределенны, то $${\displaystyle E\in [{\underline {E}},{\overline {E}}],P\in [{\underline {P}},{\overline {P}}]}$$

Чтобы найти верхнюю и нижнюю границы смещения u , вычислим следующие частные производные : $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial E}}={\frac {-PL}{E^{2}A}}<0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial P}}={\frac {L}{EA}}>0}$$

Рассчитаем экстремальные значения смещения следующим образом: $${\displaystyle {\underline {u}}=u({\overline {E}},{\underline {P}})={\frac {{\underline {P}}L}{{\overline {E}}A}}}$$ $${\displaystyle {\overline {u}}=u({\underline {E}},{\overline {P}})={\frac {{\overline {P}}L}{{\underline {E}}A}}}$$

Рассчитайте деформацию, используя следующую формулу: $${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{L}}u}$$

Рассчитайте производную деформации, используя производную от перемещений: $${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon }{\partial E}}={\frac {1}{L}}{\frac {\partial u}{\partial E}}={\frac {-P}{E^{2}A}}<0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon }{\partial P}}={\frac {1}{L}}{\frac {\partial u}{\partial P}}={\frac {1}{EA}}>0}$$

Рассчитаем экстремальные значения смещения следующим образом: $${\displaystyle {\underline {\varepsilon }}=\varepsilon ({\overline {E}},{\underline {P}})={\frac {\underline {P}}{{\overline {E}}A}}}$$ $${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}=\varepsilon ({\underline {E}},{\overline {P}})={\frac {\overline {P}}{{\underline {E}}A}}}$$

Также можно рассчитать экстремальные значения деформации, используя смещения , затем $${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon }{\partial u}}={\frac {1}{L}}>0}$$ $${\displaystyle {\underline {\varepsilon }}=\varepsilon ({\underline {u}})={\frac {\underline {P}}{{\overline {E}}A}}}$$ $${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}=\varepsilon ({\overline {u}})={\frac {\overline {P}}{{\underline {E}}A}}}$$

Эту же методологию можно применить к стрессу тогда и $${\displaystyle \sigma =E\varepsilon }$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial E}}=\varepsilon +E{\frac {\partial \varepsilon }{\partial E}}=\varepsilon +E{\frac {1}{L}}{\frac {\partial u}{\partial E}}={\frac {P}{EA}}-{\frac {P}{EA}}=0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial P}}=E{\frac {\partial \varepsilon }{\partial P}}=E{\frac {1}{L}}{\frac {\partial u}{\partial P}}={\frac {1}{A}}>0}$$ $${\displaystyle {\underline {\sigma }}=\sigma ({\underline {P}})={\frac {\underline {P}}{A}}}$$ $${\displaystyle {\overline {\sigma }}=\sigma ({\overline {P}})={\frac {\overline {P}}{A}}}$$

Если мы рассматриваем стресс как функцию деформации, то тогда $${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial \varepsilon }}={\frac {\partial }{\partial \varepsilon }}(E\varepsilon )=E>0}$$ $${\displaystyle {\underline {\sigma }}=\sigma ({\underline {\varepsilon }})=E{\underline {\varepsilon }}={\frac {\underline {P}}{A}}}$$ $${\displaystyle {\overline {\sigma }}=\sigma ({\overline {\varepsilon }})=E{\overline {\varepsilon }}={\frac {\overline {P}}{A}}}$$

Конструкция безопасна, если напряжение меньше заданного значения , т.е. это условие выполняется, если ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma _{0}}$ $${\displaystyle \sigma <\sigma _{0}}$$ $${\displaystyle {\overline {\sigma }}<\sigma _{0}}$$

После расчета мы знаем, что это соотношение выполняется, если $${\displaystyle {\frac {\overline {P}}{A}}<\sigma _{0}}$$

Пример очень простой, но он показывает применение интервальных параметров в механике. Интервальный МКЭ использует очень похожую методологию в многомерных случаях [Pownuk 2004].

Однако в многомерных случаях связь между неопределенными параметрами и решением не всегда монотонна. В таких случаях приходится применять более сложные методы оптимизации. ^[1]

Многомерный пример

В случае задачи растяжения- сжатия уравнение равновесия имеет следующий вид , где u - смещение, E - модуль Юнга , A - площадь поперечного сечения, а n - распределенная нагрузка. Для получения единственного решения необходимо добавить соответствующие граничные условия, например $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(EA{\frac {du}{dx}}\right)+n=0}$$ $${\displaystyle u(0)=0}$$ $${\displaystyle \left.{\frac {du}{dx}}\right|_{x=0}EA=P}$$

Если модуль Юнга E и n неопределенны, то интервальное решение можно определить следующим образом:

$${\displaystyle {\mathbf {u} }(x)=\left\{u(x):{\frac {d}{dx}}\left(EA{\frac {du}{dx}}\right)+n=0,u(0)=0,{\frac {du(0)}{dx}}EA=P,E\in [{\underline {E}},{\overline {E}}],P\in [{\underline {P}},{\overline {P}}]\right\}}$$

Для каждого элемента МКЭ можно умножить уравнение на тестовую функцию v , где $${\displaystyle \int _{0}^{L^{e}}\left({\frac {d}{dx}}\left(EA{\frac {du}{dx}}\right)+n\right)v=0}$$ ${\displaystyle x\in [0,L^{(e)}].}$

После интегрирования по частям получим уравнение в слабой форме , где $${\displaystyle \int _{0}^{L^{(e)}}EA{\frac {du}{dx}}{\frac {dv}{dx}}dx=\int _{0}^{L^{(e)}}nv\,dx}$$ ${\displaystyle x\in [0,L^{(e)}].}$

Введем набор точек сетки , где — число элементов, и линейные функции формы для каждого элемента МКЭ , где ${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{Ne}}$ ${\displaystyle Ne}$ $${\displaystyle N_{1}^{(e)}(x)=1-{\frac {1-x_{0}^{(e)}}{x_{1}^{(e)}-x_{0}^{(e)}}},\ \ N_{2}^{(e)}(x)={\frac {1-x_{0}^{(e)}}{x_{1}^{(e)}-x_{0}^{(e)}}}.}$$ ${\displaystyle x\in [x_{0}^{(e)},x_{1}^{(e)}].}$

${\displaystyle x_{1}^{(e)}}$левая конечная точка элемента, левая конечная точка элемента номер "e". Приближенное решение в "e"-ом элементе представляет собой линейную комбинацию функций формы ${\displaystyle x_{1}^{(e)}}$

$${\displaystyle u_{h}^{(e)}(x)=u_{1}^{e}N_{1}^{(e)}(x)+u_{2}^{e}N_{2}^{(e)}(x),\ \ v_{h}^{(e)}(x)=u_{1}^{e}N_{1}^{(e)}(x)+u_{2}^{e}N_{2}^{(e)}(x)}$$

После подстановки в слабую форму уравнения получим следующую систему уравнений

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}&-{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}\\-{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}&{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}^{(e)}\\u_{2}^{(e)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\int _{0}^{L^{(e)}}nN_{1}^{(e)}(x)dx\\\int _{0}^{L^{(e)}}nN_{2}^{(e)}(x)dx\end{bmatrix}}}$$или в матричной форме $${\displaystyle K^{(e)}u^{(e)}=Q^{(e)}}$$

Для того чтобы собрать глобальную матрицу жесткости, необходимо рассмотреть уравнения равновесия в каждом узле. После этого уравнение имеет следующий матричную форму, где — глобальная матрица жесткости, — вектор решения, — правая часть. $${\displaystyle Ku=Q}$$ $${\displaystyle K={\begin{bmatrix}K_{11}^{(1)}&K_{12}^{(1)}&0&\cdots &0\\K_{21}^{(1)}&K_{22}^{(1)}+K_{11}^{(2)}&K_{12}^{(2)}&\cdots &0\\0&K_{21}^{(2)}&K_{22}^{(2)}+K_{11}^{(3)}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &K_{22}^{(Ne-1)}+K_{11}^{(Ne)}&K_{11}^{(Ne)}\\0&0&\cdots &K_{21}^{(Ne)}&K_{22}^{(Ne)}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle u={\begin{bmatrix}u_{0}\\u_{1}\\\vdots \\u_{Ne}\\\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}Q_{0}\\Q_{1}\\\vdots \\Q_{Ne}\\\end{bmatrix}}}$$

В случае проблемы растяжения-сжатия

$${\displaystyle K={\begin{bmatrix}{\frac {E^{(1)}A^{(1)}}{L^{(1)}}}&-{\frac {E^{(1)}A^{(1)}}{L^{(1)}}}&0&\cdots &0\\-{\frac {E^{(1)}A^{(1)}}{L^{(1)}}}&{\frac {E^{(1)}A^{(1)}}{L^{(1)}}}+{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&-{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&\cdots &0\\0&-{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}+{\frac {E^{(3)}A^{(3)}}{L^{(3)}}}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\frac {E^{(Ne-1)}A^{(Ne-1)}}{L^{(Ne-1)}}}+{\frac {E^{(Ne)}A^{(Ne)}}{L^{(Ne)}}}&-{\frac {E^{(Ne)}A^{(Ne)}}{L^{(Ne)}}}\\0&0&\cdots &-{\frac {E^{(Ne)}A^{(Ne)}}{L^{(Ne)}}}&{\frac {E^{(Ne)}A^{(Ne)}}{L^{(Ne)}}}\end{bmatrix}}}$$

Если пренебречь распределенной нагрузкой n

$${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}R\\0\\\vdots \\0\\P\\\end{bmatrix}}}$$

После учета граничных условий матрица жесткости имеет следующий вид

$${\displaystyle K={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&{\frac {E^{(1)}A^{(1)}}{L^{(1)}}}+{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&-{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&\cdots &0\\0&-{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}+{\frac {E^{(3)}A^{(3)}}{L^{(3)}}}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\frac {E^{(e-1)}A^{(e-1)}}{L^{(e-1)}}}+{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}&-{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}\\0&0&\cdots &-{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}&{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}\end{bmatrix}}=K(E,A)=K{\left(E^{(1)},\dots ,E^{(Ne)},A^{(1)},\dots ,A^{(Ne)}\right)}}$$

Правая часть имеет следующий вид

$${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\\P\\\end{bmatrix}}=Q(P)}$$

Предположим, что модуль Юнга E , площадь поперечного сечения A и нагрузка P неопределенны и принадлежат некоторым интервалам $${\displaystyle E^{(e)}\in [{\underline {E}}^{(e)},{\overline {E}}^{(e)}]}$$ $${\displaystyle A^{(e)}\in [{\underline {A}}^{(e)},{\overline {A}}^{(e)}]}$$ $${\displaystyle P\in [{\underline {P}},{\overline {P}}]}$$

Интервальное решение можно определить, вычислив следующим образом

$${\displaystyle \mathbf {u} =\lozenge \left\{u:K(E,A)u=Q(P),E^{(e)}\in [{\underline {E}}^{(e)},{\overline {E}}^{(e)}],A^{(e)}\in [{\underline {A}}^{(e)},{\overline {A}}^{(e)}],P\in [{\underline {P}},{\overline {P}}]\right\}}$$

Расчет вектора интервала в общем случае является NP-трудной задачей , однако в конкретных случаях можно вычислить решение, которое может быть использовано во многих инженерных приложениях. ${\displaystyle {\mathbf {u} }}$

Результатом расчетов являются интервальные смещения $${\displaystyle u_{i}\in [{\underline {u}}_{i},{\overline {u}}_{i}]}$$

Предположим, что смещения в колонне должны быть меньше некоторого заданного значения (из соображений безопасности). $${\displaystyle u_{i}<u_{i}^{\max }}$$

Неопределенная система безопасна, если интервальное решение удовлетворяет всем условиям безопасности.

В этом конкретном случае или просто $${\displaystyle u_{i}<u_{i}^{\max },\ \ \ u_{i}\in [{\underline {u}}_{i},{\overline {u}}_{i}]}$$ $${\displaystyle {\overline {u}}_{i}<u_{i}^{\max }}$$

При постобработке можно рассчитать функции интервального напряжения, интервальной деформации и интервального предельного состояния и использовать эти значения в процессе проектирования.

Метод интервальных конечных элементов может быть применен для решения задач, в которых недостаточно информации для создания достоверной вероятностной характеристики конструкций ( Elishakoff 2000). Метод интервальных конечных элементов может быть также применен в теории неточной вероятности .

Метод комбинирования конечных точек

Можно решить уравнение для всех возможных комбинаций конечных точек интервала . Список всех вершин интервала можно записать как . Верхнюю и нижнюю границу решения можно вычислить следующим образом ${\displaystyle K(p)u(p)=Q(p)}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$
${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle L=\{p_{1}^{*},...,p_{n}^{*}\}}$

$${\displaystyle {\underline {u}}_{i}=\min\{u_{i}(p_{k}^{*}):K(p_{k}^{*})u(p_{k}^{*})=Q(p_{k}^{*}),p_{k}^{*}\in L\}}$$ $${\displaystyle {\overline {u}}_{i}=\max\{u_{i}(p_{k}^{*}):K(p_{k}^{*})u(p_{k}^{*})=Q(p_{k}^{*}),p_{k}^{*}\in L\}}$$

Метод комбинирования конечных точек дает решение, которое обычно является точным; к сожалению, метод имеет экспоненциальную вычислительную сложность и не может быть применен к задачам со многими интервальными параметрами. ^[3]

Метод разложения Тейлора

Функцию можно разложить с помощью ряда Тейлора . В простейшем случае ряд Тейлора использует только линейную аппроксимацию ${\displaystyle u=u(p)}$

$${\displaystyle u_{i}(p)\approx u_{i}(p_{0})+\sum _{j}{\frac {\partial u(p_{0})}{\partial p_{j}}}\Delta p_{j}}$$

Верхнюю и нижнюю границу решения можно рассчитать, используя следующую формулу

$${\displaystyle {\underline {u}}_{i}\approx u_{i}(p_{0})-\left|\sum _{j}{\frac {\partial u(p_{0})}{\partial p_{j}}}\right|\Delta p_{j}}$$

$${\displaystyle {\overline {u}}_{i}\approx u_{i}(p_{0})+\left|\sum _{j}{\frac {\partial u(p_{0})}{\partial p_{j}}}\right|\Delta p_{j}}$$

Метод очень эффективен, однако не очень точен.
Для повышения точности можно применить разложение Тейлора более высокого порядка [Pownuk 2004].
Этот подход также может быть применен в методе интервальных конечных разностей и методе интервальных граничных элементов .

Метод градиента

Если знак производных постоянен, то функция монотонна и точное решение можно вычислить очень быстро. ${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial p_{j}}}}$ ${\displaystyle u_{i}=u_{i}(p)}$

если тогда ${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial p_{j}}}\geq 0}$ ${\displaystyle p_{i}^{\min }={\underline {p}}_{i},\ p_{i}^{\max }={\overline {p}}_{i}}$

если тогда ${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial p_{j}}}<0}$ ${\displaystyle p_{i}^{\min }={\overline {p}}_{i},\ p_{i}^{\max }={\underline {p}}_{i}}$

Экстремальные значения решения можно рассчитать следующим образом

$${\displaystyle {\underline {u}}_{i}=u_{i}(p^{\min }),\ {\overline {u}}_{i}=u_{i}(p^{\max })}$$

Во многих приложениях структурной инженерии метод дает точное решение.
Если решение не является монотонным, то решение обычно является разумным. Для повышения точности метода можно применять тесты на монотонность и анализ чувствительности более высокого порядка. Метод может быть применен к решению линейных и нелинейных задач вычислительной механики [Pownuk 2004]. Приложения метода анализа чувствительности к решению задач гражданского строительства можно найти в следующей статье [MV Rama Rao, A. Pownuk и I. Skalna 2008].
Этот подход также может быть применен в методе интервальных конечных разностей и методе интервальных граничных элементов .

Поэлементный метод

Муханна и Маллен применили поэлементную формулировку к решению уравнения конечных элементов с интервальными параметрами. ^[4] Используя этот метод, можно получить решение с гарантированной точностью в случае ферменных и рамных конструкций.

Методы возмущения

Матрицу жесткости решения и вектор нагрузки можно разложить с помощью теории возмущений . Теория возмущений приводит к приближенному значению интервального решения. ^[5] Метод очень эффективен и может применяться к большим задачам вычислительной механики. ${\displaystyle u=u(p)}$ ${\displaystyle K=K(p)}$ ${\displaystyle Q=Q(p)}$

Метод поверхности отклика

Можно аппроксимировать решение, используя поверхность отклика . Затем можно использовать поверхность отклика для получения интервального решения. ^[6] Используя метод поверхности отклика, можно решить очень сложную задачу вычислительной механики. ^[7] ${\displaystyle u=u(p)}$

Чистые интервальные методы

Несколько авторов пытались применить чистые интервальные методы к решению конечноэлементных задач с интервальными параметрами. В некоторых случаях удается получить очень интересные результаты, например [Попова, Янков, Бонев 2008]. Однако в целом метод дает сильно завышенные результаты. ^[8]

Параметрические интервальные системы

Попова ^[9] и Скална ^[10] предложили методы решения системы линейных уравнений, в которых коэффициенты являются линейными комбинациями интервальных параметров. В этом случае можно получить очень точное решение интервальных уравнений с гарантированной точностью.

Смотрите также

• Метод интервальных граничных элементов
• Интервал (математика)
• Интервальная арифметика
• Неточная вероятность
• Многозначная функция
• Дифференциальное включение
• Ошибка наблюдения
• Случайный компактный набор
• Надежность (статистика)
• Доверительный интервал
• Лучший, худший и средний случай
• Вероятностный дизайн
• Распространение неопределенности
• Экспериментальный анализ неопределенности
• Анализ чувствительности
• Теория возмущений
• Механика сплошной среды
• Механика твёрдого тела
• Ферма
• Пространственная рама
• Линейная эластичность
• Прочность материалов

Ссылки

1. "Интервальные уравнения". Архивировано из оригинала 2011-10-05 . Получено 2008-10-12 .
2. Е. Попова, Параметрическое решение интервальной линейной системы. Архивировано 27 января 2010 г. на Wayback Machine.
3. А. Ноймайер, Интервальные методы для систем уравнений, Cambridge University Press, Нью-Йорк, 1990
4. RL Muhanna, RL Mullen, Неопределенность в задачах механики — подход на основе интервалов. Журнал инженерной механики, том 127, № 6, 2001, стр. 557-556
5. Z. Qiu и I. Elishakoff , Антиоптимизация структур с большими неопределенными, но неслучайными параметрами с помощью интервального анализа, Компьютерные методы в прикладной механике и машиностроении, том 152, выпуски 3-4, 24 января 1998 г., страницы 361-372
6. UO Akpan, TS Koko, IR Orisamolu, BK Gallant, Практический нечеткий конечно-элементный анализ конструкций, Конечные элементы в анализе и проектировании, 38, стр. 93–111, 2000.
7. М. Бир, Оценка несогласованных инженерных данных, Третий семинар по надежным инженерным вычислениям (REC08), Технологический институт Джорджии, 20–22 февраля 2008 г., Саванна, Джорджия, США.
8. Кулпа З. , Повнук А., Скална И., Анализ линейных механических структур с неопределенностями с помощью интервальных методов. Computer Assisted Mechanics and Engineering Sciences, т. 5, 1998, стр. 443–477
9. Е. Попова, О решении параметризованных линейных систем. W. Kraemer, J. Wolff von Gudenberg (ред.): Научные вычисления, проверенные числовые данные, интервальные методы. Kluwer Acad. Publishers, 2001, стр. 127–138.
10. И. Скальна, Метод решения систем линейных уравнений на внешнем интервале, линейно зависящих от параметров интервала, Reliable Computing, Том 12, Номер 2, Апрель, 2006, стр. 107–120

• Демпстер, AP (1967). «Верхние и нижние вероятности, индуцированные многозначным отображением». Анналы математической статистики 38 (2): 325–339. [4]. Получено 23 сентября 2009 г.
• Анализ неопределенности в гражданском строительстве, В. Феллин, Х. Лессманн, М. Обергуггенбергер и Р. Вейдер (редакторы), Springer-Verlag, Берлин, 2005 г.
• И. Элишаков , Возможные ограничения вероятностных методов в инженерии. Обзоры прикладной механики, т. 53, № 2, стр. 19–25, 2000.
• Главачек И., Хлебоун Дж., Бабушка И.: Проблемы с неопределенными входными данными и метод наихудшего сценария. Эльзевир, Амстердам (2004)
• Кёйлюоглу, У., Айзек Элишакофф ; Сравнение стохастических и интервальных конечных элементов, применяемых к сдвиговым рамам с неопределенными свойствами жесткости, Компьютеры и конструкции Том: 67, Выпуск: 1–3, 1 апреля 1998 г., стр. 91–98
• Д. Моенс и Д. Вандепитте, Теория интервальной чувствительности и ее применение к анализу огибающей частотной характеристики неопределенных структур. Компьютерные методы в прикладной механике и машиностроении, т. 196, № 21–24, 1 апреля 2007 г., стр. 2486–2496.
• Мёллер, Б., Бир, М., Нечеткая случайность — неопределенность в гражданском строительстве и вычислительной механике, Springer, Берлин, 2004.
• E. Popova, R. Iankov, Z. Bonev: Bounding the Response of Mechanical Structures with Uncertainties in all the Parameters. В RLMuhannah, RLMullen (Eds): Proceedings of the NSF Workshop on Reliable Engineering Computing (REC), Сванна, Джорджия, США, 22–24 февраля 2006 г., 245–265
• A. Pownuk, Численные решения нечетких уравнений в частных производных и их применение в вычислительной механике, Нечеткие уравнения в частных производных и реляционные уравнения: характеристика и моделирование резервуаров (ред. М. Никравеш, Л. Заде и В. Коротких), Исследования по нечеткости и мягким вычислениям, Physica-Verlag, 2004, стр. 308–347
• А. Паунук, Эффективный метод решения крупномасштабных инженерных задач с интервальными параметрами на основе анализа чувствительности, Труды семинара NSF по надежным инженерным вычислениям, 15–17 сентября 2004 г., Саванна, Джорджия, США, стр. 305–316
• М. В. Рама Рао, А. Поунук и И. Скална, Анализ напряжений в одинарно армированной бетонной балке с неопределенными структурными параметрами, семинар NSF по надежным инженерным вычислениям, 20–22 февраля 2008 г., Саванна, Джорджия, США, стр. 459–478
• Бернардини, Альберто, Тонон, Фульвио, Ограничение неопределенности в гражданском строительстве, Springer 2010
• Бен-Хаим И., Элишакофф И. , 1990, Выпуклые модели неопределенности в прикладной механике. Elsevier Science Publishers, Нью-Йорк
• Valliappan S., Pham TD, 1993, Нечеткий конечно-элементный анализ фундамента на упругой почвенной среде. Международный журнал численных и аналитических методов в геомеханике, том 17, стр. 771–789
• Элишакофф И. , Ли Ю.В., Старнс Дж.Х., 1994, Детерминированный метод прогнозирования влияния неизвестных, но ограниченных модулей упругости на выпучивание композитных конструкций. Компьютерные методы в прикладной механике и машиностроении, т.111, стр. 155–167
• Valliappan S. Pham TD, 1995, Упруго-пластический конечно-элементный анализ с нечеткими параметрами. Международный журнал численных методов в машиностроении, 38, стр. 531–548
• Рао СС, Сойер ДжП, 1995, Нечеткий конечно-элементный подход для анализа неточно определенных систем. Журнал AIAA, том 33, № 12, стр. 2364–2370
• Köylüoglu HU, Cakmak A., Nielsen SRK, 1995, Интервальное отображение в структурной механике. В: Spanos, ed. Computational Stochastic Mechanics. 125–133. Balkema, Роттердам
• Муханна, Р. Л. и Р. Л. Маллен (1995). «Разработка интервальных методов для нечеткости в механике сплошных сред» в Трудах 3-го Международного симпозиума по моделированию и анализу неопределенности и Ежегодной конференции Североамериканского общества обработки нечеткой информации (ISUMA–NAFIPS '95), IEEE, 705–710

Внешние ссылки

• Надежные инженерные вычисления, Технологический институт Джорджии, Саванна, США
• Интервальные вычисления Архивировано 2008-09-20 на Wayback Machine
• Надежные вычисления (журнал)
• Интервальные уравнения (сборники литературы)
• Интервальные конечно-элементные веб-приложения
• Е. Попова, Параметрическое множество решений интервальной линейной системы
• Общество неточной вероятности: теории и приложения