Квадратурная формула Кавальери

Математический термин в исчислении

Квадратурная формула Кавальери вычисляет площадь под кубической кривой вместе с другими высшими степенями.

В исчислении квадратурная формула Кавальери , названная в честь итальянского математика 17-го века Бонавентуры Кавальери , является интегралом

${\displaystyle \int _{0}^{a}x^{n}\,dx={\tfrac {1}{n+1}}\,a^{n+1}\qquad n\geq 0,}$

и их обобщения. Это определенная интегральная форма; неопределенная интегральная форма:

${\displaystyle \int x^{n}\,dx={\tfrac {1}{n+1}}\,x^{n+1}+C\qquad n\neq -1.}$

Существуют дополнительные формы, перечисленные ниже. Вместе с линейностью интеграла эта формула позволяет вычислять интегралы всех полиномов.

Термин « квадратура » является традиционным термином для площади ; интеграл геометрически интерпретируется как площадь под кривой y  =  x ⁿ . Традиционно важными случаями являются y  =  x ² , квадратура параболы , известная в древности, и y  = 1/ x , квадратура гиперболы , значение которой является логарифмом .

Формы

Отрицательнон

Для отрицательных значений n (отрицательных степеней x ) существует особенность при x  = 0, и, таким образом, определенный интеграл основывается на 1, а не на 0, что дает:

${\displaystyle \int _{1}^{a}x^{n}\,dx={\frac {1}{n+1}}(a^{n+1}-1)\qquad n\neq -1.}$

Кроме того, для отрицательных дробных (нецелых) значений n степень x ⁿ не определена , поэтому неопределенный интеграл определен только для положительных x. Однако для n — отрицательного целого числа степень x ⁿ определена для всех ненулевых x, а неопределенные интегралы и определенные интегралы определены и могут быть вычислены с помощью аргумента симметрии, заменяя x на − x и основывая отрицательный определенный интеграл на −1.

По комплексным числам определенный интеграл (для отрицательных значений n и x ) можно определить с помощью контурного интегрирования , но тогда он зависит от выбора пути, в частности, числа оборотов — геометрическая проблема заключается в том, что функция определяет покрывающее пространство с особенностью в 0.

н= −1

Существует также исключительный случай n  = −1, дающий логарифм вместо степени  x:

${\displaystyle \int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln a,}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln x+C,\qquad x>0}$

(где «ln» означает натуральный логарифм , т. е. логарифм по основанию e  = 2,71828...).

Несобственный интеграл часто распространяется на отрицательные значения x посредством обычного выбора:

${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|+C,\qquad x\neq 0.}$

Обратите внимание на использование абсолютного значения в неопределенном интеграле; это необходимо для обеспечения единой формы для интеграла и означает, что интеграл этой нечетной функции является четной функцией, хотя логарифм определен только для положительных входных данных, и фактически, различные постоянные значения C могут быть выбраны по обе стороны от 0, поскольку они не изменяют производную. Более общая форма выглядит следующим образом: ^[1]

${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx={\begin{cases}\ln |x|+C^{-}&x<0\\\ln |x|+C^{+}&x>0\end{cases}}}$

Для комплексных чисел не существует глобальной первообразной для 1/ x , поскольку эта функция определяет нетривиальное покрывающее пространство ; эта форма является специальной для действительных чисел.

Обратите внимание, что определенный интеграл, начинающийся с 1, не определен для отрицательных значений a, поскольку он проходит через сингулярность, хотя, поскольку 1/ x является нечетной функцией , можно основывать определенный интеграл для отрицательных степеней на −1. Если кто-то готов использовать несобственные интегралы и вычислить главное значение Коши , то он получает что также можно доказать симметрией (так как логарифм нечетный), так что не имеет значения, основан ли определенный интеграл на 1 или −1. Как и в случае с неопределенным интегралом, это относится только к действительным числам и не распространяется на комплексные числа. ${\displaystyle \int _{-c}^{c}{\frac {1}{x}}\,dx=0,}$ ${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {1}{x}}\,dx=0,}$

Альтернативные формы

Интеграл можно также записать со смещенными индексами, что упрощает результат и делает связь с n -мерным дифференцированием и n -мерным кубом более ясной:

${\displaystyle \int _{0}^{a}x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}x^{n}\qquad n\geq 1.}$

${\displaystyle \int x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}x^{n}+C\qquad n\neq 0.}$

В более общем виде эти формулы можно представить следующим образом:

${\displaystyle \int (ax+b)^{n}dx={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{ax+b}}dx={\frac {1}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C}$

В более общем плане:

${\displaystyle \int {\frac {1}{ax+b}}\,dx={\begin{cases}{\frac {1}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C^{-}&x<-b/a\\{\frac {1}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C^{+}&x>-b/a\end{cases}}}$

Доказательство

Современное доказательство заключается в использовании первообразной: показано, что производная x ⁿ равна nx ^{n −1} – для неотрицательных целых чисел. Это показано из биномиальной формулы и определения производной – и, таким образом, по фундаментальной теореме исчисления первообразная является интегралом. Этот метод не работает, поскольку кандидат на первообразную является , которая не определена из-за деления на ноль. Функция логарифма , которая является фактической первообразной 1/ x , должна быть введена и исследована отдельно. ${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx,}$ ${\displaystyle {\frac {1}{0}}\cdot x^{0}}$

Производную можно геометризировать как бесконечно малое изменение объема n -куба, представляющего собой площадь n граней, каждая из которых имеет размерность n  − 1. Интегрирование этой картины — наложение граней — геометризует фундаментальную теорему исчисления, приводя к разложению n -куба на n пирамид, что является геометрическим доказательством квадратурной формулы Кавальери. ${\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}}$

Для положительных целых чисел это доказательство можно геометризировать: ^[2] если рассматривать величину x ⁿ как объем n -куба (гиперкуба в n измерениях ), то производная представляет собой изменение объема при изменении длины стороны - это x ^{n −1} , что можно интерпретировать как площадь n граней, каждая из которых имеет размерность n  − 1 (фиксируя одну вершину в начале координат, это n граней, не касающихся вершины), что соответствует кубу, увеличивающемуся в размерах за счет роста в направлении этих граней - в 3-мерном случае, добавляя 3 бесконечно малых квадрата, по одному к каждой из этих граней. Наоборот, геометризируя фундаментальную теорему исчисления, складывая эти бесконечно малые ( n  − 1) кубы, получаем (гипер)пирамиду, а n таких пирамид образуют n -куб, что дает формулу. Далее, существует n -кратная циклическая симметрия n- кратного куба вокруг диагонального цикла этих пирамид (для которого пирамида является фундаментальной областью ). В случае куба (3-куба) именно так изначально был строго установлен объем пирамиды: куб имеет 3-кратную симметрию с фундаментальной областью a пирамиды, делящей куб на 3 пирамиды, что соответствует тому факту, что объем пирамиды составляет одну треть основания, умноженного на высоту. Это геометрически иллюстрирует эквивалентность между квадратурой параболы и объемом пирамиды, которые были вычислены классически разными способами.

Существуют альтернативные доказательства — например, Ферма вычислил площадь с помощью алгебраического трюка, разделив область на определенные интервалы неравной длины; ^[3] в качестве альтернативы, можно доказать это, распознав симметрию графика y  =  x ⁿ при неоднородном расширении (на d в ​​направлении x и d ⁿ в направлении y , алгебраизируя n измерений направления y ), ^[4] или выведя формулу для всех целых значений, расширив результат для n  = −1 и сравнив коэффициенты. ^[5]

История

Архимед вычислил площадь параболических сегментов в своем труде «Квадратура параболы» .

Подробное обсуждение истории с указанием первоисточников приведено в (Laubenbacher & Pengelley 1998, Глава 3, Анализ: Расчет площадей и объемов); см. также История исчисления и История интегрирования .

Случай параболы был доказан в древности древнегреческим математиком Архимедом в его «Квадратуре параболы» (III в. до н. э.) методом исчерпания . Примечательно, что Архимед вычислил площадь внутри параболы — так называемый «параболический сегмент» — а не площадь под графиком y  =  x ² , который вместо этого является перспективой декартовой геометрии . Это эквивалентные вычисления, но они отражают разницу в перспективе. Древние греки, среди прочих, также вычисляли объем пирамиды или конуса , что математически эквивалентно.

В XI веке исламский математик Ибн аль-Хайсам (известный в Европе как Альхазен ) вычислил интегралы кубической и квартической (третьей и четвертой степени) с помощью математической индукции в своей «Книге оптики» . ^[6]

Случай более высоких целых чисел был вычислен Кавальери для n до 9, используя его метод неделимых ( принцип Кавальери ). ^[7] Он интерпретировал их как более высокие интегралы, как вычисление более многомерных объемов, хотя только неформально, поскольку многомерные объекты были еще незнакомы. ^[8] Этот метод квадратуры был затем распространен итальянским математиком Эванджелистой Торричелли на другие кривые, такие как циклоида , затем формула была обобщена на дробные и отрицательные степени английским математиком Джоном Уоллисом в его Arithmetica Infinitorum (1656), который также стандартизировал понятие и обозначение рациональных степеней — хотя Уоллис неправильно интерпретировал исключительный случай n  = −1 (квадратура гиперболы) — прежде чем, наконец, был поставлен на строгую основу с развитием интегрального исчисления .

До формализации Уоллисом дробных и отрицательных степеней, которая допускала явные функции, эти кривые обрабатывались неявно, через уравнения и ( p и q всегда положительные целые числа) и назывались соответственно высшими параболами и высшими гиперболами (или «высшими параболами» и «высшими гиперболами»). Пьер де Ферма также вычислял эти площади (за исключением исключительного случая −1) с помощью алгебраического трюка — он вычислял квадратуру высших гипербол путем деления линии на равные интервалы, а затем вычислял квадратуру высших парабол с помощью деления на неравные интервалы, предположительно путем инвертирования делений, которые он использовал для гипербол. ^[9] Однако, как и в остальной части его работы, методы Ферма были скорее специальными трюками, чем систематическими обработками, и он не считается сыгравшим значительную роль в последующем развитии исчисления. ${\displaystyle y=x^{p/q},}$ ${\displaystyle x^{p}=ky^{q}}$ ${\displaystyle x^{p}y^{q}=k}$

Следует отметить, что Кавальери сравнивал только площади с площадями, а объемы с объемами — последние всегда имели размеры, в то время как идея рассматривать площадь как состоящую из единиц площади (относительно стандартной единицы), следовательно, не имеющую единиц измерения, по-видимому, возникла у Уоллиса; ^{[10] [11]} Уоллис изучал дробные и отрицательные степени, и альтернативой трактовке вычисленных значений как безразмерных чисел была интерпретация дробных и отрицательных измерений.

Исключительный случай −1 (стандартная гипербола) был впервые успешно рассмотрен Грегуаром де Сен-Венсентом в его труде Opus geometricum quadrature circuli et sectionum coni (1647), хотя формальное рассмотрение пришлось ждать развития натурального логарифма , что было сделано Николасом Меркатором в его труде Logarithmotechnia (1668).

Ссылки

1. «Опрос читателей: log|x| + C», Том Лейнстер, Кафе n -категории , 19 марта 2012 г.
2. (Барт 2004), (Картер и Чампанеркар 2006)
3. См. Рики.
4. (Вильдбергер 2002)
5. (Брэдли 2003)
6. Виктор Дж. Кац (1995), «Идеи исчисления в исламе и Индии», Mathematics Magazine 68 (3): 163–174 [165–9 и 173–4]
7. (Струик 1986, стр. 215–216)
8. (Laubenbacher & Pengelley 1998) – см. Неформальный педагогический синопсис главы «Анализ», архивировано 26 августа 2018 г. на Wayback Machine для краткой формы.
9. См. ссылку Рики для обсуждения и дополнительных ссылок.
10. Болл, 281
11. Британника, 171

История

• Кавальери (1635). Geometria indivisibilibus (continuorum nova quadam ratione promota [ Геометрия, изложенная по-новому с помощью неделимых непрерывного ].
• Кавальери (1647 г.). Exercitationes Geometricae Sex [ Шесть геометрических упражнений ].
  • в Struik, Dirk Jan , ed. (1986). Справочник по математике, 1200–1800 . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN 0-691-08404-1, ISBN  0-691-02397-2 (pbk).
• Лаубенбахер, Рейнхард; Пенгелли, Дэвид (1998). "Раздел 3.4: "Кавальери вычисляет площади высших парабол"". Математические экспедиции: хроники исследователей. С. 123–127/128.
• Уолтер Уильям Рауз Болл. «Кавальери». Краткий обзор истории математики. С. 278–281.
• Руководство по анализу и исчислению Britannica. Образовательная Britannica Educational. стр. 171– в первую очередь обсуждает Уоллеса

Доказательства

• Wildberger, NJ (2002). «Новое доказательство квадратурной формулы Кавальери». The American Mathematical Monthly . 109 (9): 843–845. doi :10.2307/3072373. JSTOR  3072373.
• Брэдли, Дэвид М. (май 2003 г.). «Замечание о квадратурной формуле Кавальери». The American Mathematical Monthly . 110 (5): 437. arXiv : math/0505059 . Bibcode :2005math......5059B.Появляется в печати в конце:
  • Sondow, Jonathan (май 2003). «Нули переменной дзета-функции на линии R(S) = 1». The American Mathematical Monthly . 110 (5): 435–437. JSTOR  3647831.
• Барт, НР (2004). «Вычисление квадратурной формулы Кавальери с помощью симметрии n-куба». The American Mathematical Monthly . 111 (9): 811–813. doi :10.2307/4145193. JSTOR  4145193.
• Картер, Дж. Скотт; Чампанеркар, Абхиджит (2006). «Геометрический метод вычисления некоторых элементарных интегралов». arXiv : math/0608722 .
• Малик, MA (1984) «Заметка об интеграции Кавальери», Mathematics Magazine 57(3): 154–6 doi :10.2307/2689662
• V. Frederick Rickey (2011) «Интеграция степеней Ферма», в «Исторических записках для преподавателей исчисления»

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Квадратурная формула Кавальери». MathWorld .
• Интеграция Кавальери
• Исчисление бесконечно малых, Энциклопедия математики