В математике связность [1] используется для обозначения различных свойств, означающих в некотором смысле «все одно целое» . Когда математический объект обладает таким свойством, мы говорим, что он связан ; в противном случае он отключен . Когда несвязный объект можно естественным образом разделить на связанные части, каждую часть обычно называют компонентом ( или связанным компонентом ).
Топологическое пространство называется связным, если оно не является объединением двух непересекающихся непустых открытых множеств . [2] Множество является открытым, если оно не содержит точек, лежащих на его границе ; таким образом, в неформальном, интуитивном смысле тот факт, что пространство можно разделить на непересекающиеся открытые множества, предполагает, что граница между двумя множествами не является частью пространства и, таким образом, разделяет его на две отдельные части.
Области математики обычно имеют дело с особыми видами объектов. Часто такой объект называют связным , если, когда его рассматривают как топологическое пространство, он является связным пространством. Таким образом, многообразия , группы Ли и графы называются связными, если они связны как топологические пространства, а их компоненты являются топологическими компонентами. Иногда удобно переформулировать определение связности в таких полях. Например, граф называется связным, если каждая пара вершин в графе соединена путем . Это определение эквивалентно топологическому применительно к графам, но с ним легче иметь дело в контексте теории графов . Теория графов также предлагает бесконтекстную меру связности, называемую коэффициентом кластеризации .
Другие области математики занимаются объектами, которые редко рассматриваются как топологические пространства. Тем не менее, определения связности часто каким-то образом отражают топологический смысл. Например, в теории категорий категория называется связной, если каждая пара объектов в ней соединена последовательностью морфизмов . Таким образом, категория является связной, если она интуитивно представляет собой единое целое.
Могут существовать разные понятия связности , которые интуитивно схожи, но различны как формально определенные понятия. Мы могли бы назвать топологическое пространство связным, если каждая пара точек в нем соединена путем . Однако это условие оказывается сильнее стандартной топологической связности; в частности, существуют связные топологические пространства, для которых это свойство не выполняется. Из-за этого используется другая терминология; Пространства с этим свойством называются связными путями . Хотя не все соединенные пространства связаны путями, все пространства, соединенные путями, связаны.
Термины, включающие связность, также используются для свойств, которые связаны со связностью, но явно отличаются от нее. Например, топологическое пространство линейной связности называется просто связным , если каждая петля (путь от точки к себе) в нем стягиваема ; то есть интуитивно, если по существу существует только один способ добраться из любой точки в любую другую точку. Таким образом, сфера и диск односвязны, а тор — нет. Другой пример: ориентированный граф является сильно связным , если каждая упорядоченная пара вершин соединена направленным путем (то есть таким, который «следует по стрелкам»).
Другие концепции выражают то, каким образом объект не связан. Например, топологическое пространство полностью несвязно, если каждый из его компонентов представляет собой одну точку.
Свойства и параметры, основанные на идее связности, часто включают в себя слово «связность» . Например, в теории графов связный граф — это такой, из которого мы должны удалить хотя бы одну вершину, чтобы создать несвязный граф. [3] Учитывая это, такие графы также называют 1-связными . Аналогично, граф является 2-связным, если мы должны удалить из него хотя бы две вершины, чтобы создать несвязный граф. В 3-связном графе необходимо удалить как минимум три вершины и так далее. Связность графа — это минимальное количество вершин, которое необходимо удалить, чтобы его разъединить . Аналогично, связность графа — это наибольшее целое число k , для которого граф является k -связным.
Хотя терминология различается, существительные формы свойств, связанных со связностью, часто включают термин связность . Таким образом, при обсуждении односвязных топологических пространств гораздо чаще говорят о простой связности , чем о простой связности . С другой стороны, в областях, где формально не определено понятие связности , это слово может использоваться как синоним связности .
Другой пример связности можно найти в обычных мозаиках. Здесь связность описывает количество соседей, доступных из одного тайла :
