Артинианское кольцо

В математике , особенно в абстрактной алгебре , артиново кольцо (иногда кольцо Артина ) — это кольцо , которое удовлетворяет условию нисходящей цепи на (односторонних) идеалах ; то есть не существует бесконечной нисходящей последовательности идеалов. Артиновы кольца названы в честь Эмиля Артина , который первым обнаружил, что условие нисходящей цепи для идеалов одновременно обобщает конечные кольца и кольца, являющиеся конечномерными векторными пространствами над полями . Определение артиновых колец можно переформулировать, заменив условие нисходящей цепи эквивалентным понятием: условием минимума .

Точнее, кольцо является артиновым слева , если оно удовлетворяет условию нисходящей цепи для левых идеалов, артиновым справа , если оно удовлетворяет условию нисходящей цепи для правых идеалов, и артиновым или двусторонним артиновым, если оно одновременно лево- и право-артиново. ^[1] Для коммутативных колец левое и правое определения совпадают, но в общем случае они отличны друг от друга.

Теорема Веддерберна-Артина характеризует каждое простое артиново кольцо как кольцо матриц над телом . Отсюда следует, что простое кольцо артиново слева тогда и только тогда, когда оно артиново справа.

То же определение и терминология могут быть применены к модулям , с заменой идеалов подмодулями .

Хотя условие нисходящей цепи кажется двойным по отношению к условию восходящей цепи , в кольцах оно на самом деле является более сильным условием. В частности, следствием теоремы Акизуки–Хопкинса–Левицкого является то, что левое (соответственно правое) артиново кольцо автоматически является левым (соответственно правым) нетеровым кольцом . Это не относится к общим модулям; то есть артинов модуль не обязательно должен быть нетеровым модулем .

Примеры и контрпримеры

Область целостности является артиновой тогда и только тогда, когда она является полем.
Кольцо с конечным числом, скажем, левых идеалов артиново слева. В частности, конечное кольцо (например, ) артиново слева и справа. $\mathbb {Z} / n\mathbb {Z}$
Пусть k — поле. Тогда является артиновым для любого натурального числа n . $k[t]/(t^{n})$
Аналогично – артиново кольцо с максимальным идеалом . $k[x,y]/(x^{2},y^{3},xy^{2}) = k\oplus k\cdot x\oplus k\cdot y\oplus k\cdot xy\ oplus k\cdot y^{2}$ $(x,y)$
Пусть – эндоморфизм конечномерного векторного пространства V . Тогда подалгебра, порожденная , является коммутативным артиновым кольцом. $х$ $A\subset \operatorname {End} (V)$ $х$
Если I — ненулевой идеал дедекиндовой области A , то — главное артиново кольцо. ^[2] $A/I$
Для каждого полное матричное кольцо над левым артиновым (соответственно левонетеровым) кольцом R является левоартиновым (соответственно левонетеровым). ^[3] $n\geq 1$ $M_{n}(R)$

Следующие два являются примерами неартиновых колец.

Если R — любое кольцо, то кольцо многочленов R [ x ] не является артиновым, поскольку идеал, порожденный (собственно), содержится в идеале, порожденном для всех натуральных чисел n . Напротив, если R нётерово, то и R [ x ] согласно базовой теореме Гильберта . $x^{n+1}$ $x^{n}$
Кольцо целых чисел является нетеровым, но не артиновым. $\mathbb {Z}$

Модули над артиновыми кольцами

Пусть M — левый модуль над артиновым слева кольцом. Тогда следующие утверждения эквивалентны ( теорема Хопкинса ): (i) M конечно порождено , (ii) M имеет конечную длину (т. е. имеет композиционный ряд ), (iii) M нётерово, (iv) M артиново. ^[4]

Коммутативные артиновы кольца

Пусть A — коммутативное нётерово кольцо с единицей. Тогда следующие утверждения эквивалентны.

А — артиниан.
A — конечное произведение коммутативных артиновых локальных колец . ^[5]
A / nil( A ) — полупростое кольцо , где nil( A ) — нильрадикал кольца A .^{[ нужна цитата ]}
Каждый конечно порожденный модуль над A имеет конечную длину. (см. выше)
A имеет нулевую размерность Крулля . ^[6] (В частности, нильрадикал является радикалом Джекобсона , поскольку простые идеалы максимальны.)
$\operatorname {Spec} A$ конечно и дискретно.
$\operatorname {Spec} A$ является дискретным. ^[7]

Пусть k — поле и A — конечно порожденная k - алгебра . Тогда A артинов тогда и только тогда, когда A конечно порожден как k -модуль.

Артиново локальное кольцо завершено. Фактор и локализация артинова кольца артиновы .

Простое артиново кольцо

Одна из версий теоремы Веддерберна – Артина утверждает, что простое артиново кольцо A является матричным кольцом над телом. Действительно, ^[8] пусть I — минимальный (ненулевой) правый идеал кольца A , который существует, поскольку A артинов (и оставшаяся часть доказательства не использует тот факт, что A артинов). Тогда, поскольку — двусторонний идеал, поскольку А просто. Таким образом, мы можем выбрать так, что . Предположим, что k минимально по этому свойству. Рассмотрим отображение правых A -модулей: $AI$ $AI=A$ $a_{i}\in A$ $1\in a_{1}I+\cdots +a_{k}I$

{\begin{cases}I^{\oplus k}\to A,\\(y_{1},\dots ,y_{k})\mapsto a_{1}y_{1}+\cdots + a_{k}y_{k}\end{cases}}

Это сюръективно . Если оно не инъективно , то, скажем, с ненулевым . Тогда в силу минимальности I имеем: . Следует: $a_{1}y_{1}=a_{2}y_{2}+\cdots +a_{k}y_{k}$ $y_{1}$ $y_{1}A=I$

a_{1}I=a_{1}y_{1}A\subset a_{2}I+\cdots +a_{k}I

что противоречит минимальности k . Следовательно, и поэтому . $I^{\oplus k}\simeq A$ $A\simeq \operatorname {End} _{A}(A)\simeq M_{k}(\operatorname {End} _{A}(I))$

Смотрите также

Цитаты

^ Брешар 2014, с. 73
^ Кларк, Теорема 20.11.
^ Кон 2003, 5.2. Упражнение 11.
^ Бурбаки 2012, VIII, с. 7
^ Атья и Макдональд 1969, Теоремы 8.7
^ Атья и Макдональд 1969, Теоремы 8.5
^ Атья и Макдональд 1969, гл. 8, Упражнение 2
^ Милнор 1971, с. 144