Нильрадикал кольца

Идеал нильпотентных элементов

В алгебре нильрадикал коммутативного кольца — это идеал, состоящий из нильпотентных элементов :

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{R}=\lbrace f\in R\mid f^{m}=0{\text{ for some }}m\in \mathbb {Z} _{>0}\rbrace .}$

Таким образом, это радикал нулевого идеала . Если нильрадикал является нулевым идеалом, кольцо называется редуцированным кольцом . Нильрадикал коммутативного кольца является пересечением всех простых идеалов .

В случае некоммутативного кольца то же самое определение не всегда работает. Это привело к появлению нескольких радикалов , обобщающих коммутативный случай различными способами; см. статью Радикал кольца для получения более подробной информации.

Нильрадикал алгебры Ли определяется аналогично для алгебр Ли .

Коммутативные кольца

Нильрадикал коммутативного кольца — это множество всех нильпотентных элементов кольца или, что эквивалентно, радикал нулевого идеала . Это идеал, поскольку сумма любых двух нильпотентных элементов нильпотентна (по биномиальной формуле ), а произведение любого элемента на нильпотентный элемент нильпотентно (по коммутативности). Его также можно охарактеризовать как пересечение всех простых идеалов кольца (на самом деле, это пересечение всех минимальных простых идеалов ).

Предложение ^[1]  —  Пусть — коммутативное кольцо. Тогда нильрадикал кольца равен пересечению всех его простых идеалов. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{R}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R.}$

Доказательство

Во-первых, нильрадикал содержится в каждом простом идеале. Действительно, если для некоторого положительного целого числа имеется Поскольку каждый идеал содержит 0 и каждый простой идеал, содержащий произведение, здесь содержит один из его множителей, можно сделать вывод, что каждый простой идеал содержит ${\displaystyle r\in {\mathfrak {N}}_{R},}$ ${\displaystyle r^{n}=0}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle r^{n}=0,}$ ${\displaystyle r.}$

Наоборот, пусть нам нужно доказать, что существует простой идеал, который не содержит Рассмотрим множество всех идеалов, которые не содержат никакой степени Один имеет по определению нильрадикала. Для каждой цепочки идеалов в объединении есть идеал, который принадлежит так как в противном случае он содержал бы степень , которая должна принадлежать некоторому противоречащему определению ${\displaystyle f\notin {\mathfrak {N}}_{R};}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle (0)\in \Sigma ,}$ ${\displaystyle J_{1}\subseteq J_{2}\subseteq \dots }$ ${\displaystyle \Sigma ,}$ ${\textstyle J=\bigcup _{i\geq 1}J_{i}}$ ${\displaystyle \Sigma ,}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle J_{i},}$ ${\displaystyle J_{i}.}$

Итак, является частично упорядоченным по множеству включением таким, что каждая цепь имеет наименьшую верхнюю границу . Таким образом, лемма Цорна применима, и существует максимальный элемент . Мы должны доказать, что является простым идеалом. Если бы он не был простым, то было бы два элемента и такие, что и . По максимальности одного имеет и Поэтому существуют положительные целые числа и такие, что и Из этого следует, что противореча факту, что находится в . Это завершает доказательство, поскольку мы доказали существование простого идеала, который не содержит ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\in \Sigma }$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle g\in R}$ ${\displaystyle h\in R}$ ${\displaystyle g\notin {\mathfrak {m}},}$ ${\displaystyle h\notin {\mathfrak {m}},}$ ${\displaystyle gh\in {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}+(g)\notin \Sigma }$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}+(h)\notin \Sigma .}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f^{r}\in {\mathfrak {m}}+(g)}$ ${\displaystyle f^{s}\in {\mathfrak {m}}+(h).}$ ${\displaystyle f^{r}f^{s}=f^{r+s}\in {\mathfrak {m}}+(gh)={\mathfrak {m}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle f.}$

Кольцо называется редуцированным, если оно не имеет ненулевых нильпотентных. Таким образом, кольцо является редуцированным тогда и только тогда, когда его нильрадикал равен нулю. Если R — произвольное коммутативное кольцо, то его фактор по нильрадикалу является редуцированным кольцом и обозначается . ${\displaystyle R_{\text{red}}}$

Поскольку каждый максимальный идеал является простым идеалом, радикал Джекобсона — который является пересечением максимальных идеалов — должен содержать нильрадикал. Кольцо R называется кольцом Джекобсона , если нильрадикал и радикал Джекобсона кольца R / P совпадают для всех простых идеалов P кольца R. Артиново кольцо является кольцом Джекобсона, а его нильрадикал — максимальным нильпотентным идеалом кольца. В общем случае, если нильрадикал конечно порожден (например, кольцо является нётеровым ), то он нильпотентен .

Некоммутативные кольца

Для некоммутативных колец существует несколько аналогов нильрадикала. Нижний нильрадикал (или радикал Бэра – Маккоя, или первичный радикал) является аналогом радикала нулевого идеала и определяется как пересечение первичных идеалов кольца. Аналогом множества всех нильпотентных элементов является верхний нильрадикал и определяется как идеал, порожденный всеми нильидеалами кольца, которое само является нильидеалом. Множество всех нильпотентных элементов само по себе не обязательно должно быть идеалом (или даже подгруппой ) , поэтому верхний нильрадикал может быть намного меньше этого множества. Радикал Левицкого находится между ними и определяется как наибольший локально нильпотентный идеал. Как и в коммутативном случае, когда кольцо артиново, радикал Левицкого нильпотентен и, следовательно, является единственным наибольшим нильпотентным идеалом. Действительно, если кольцо просто нётерово, то нижний, верхний радикал и радикал Левицкого нильпотентны и совпадают, что позволяет определить нильрадикал любого нётерова кольца как единственный наибольший (левый, правый или двусторонний) нильпотентный идеал кольца.

Ссылки

1. Атья, Майкл ; Макдональд, Ян (1994). Введение в коммутативную алгебру . Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-40751-5., стр.5

• Эйзенбуд, Дэвид , «Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии», Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8 . 
• Лам, Цит-Юэн (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95325-0, г-н  1838439

Примечания