Если и только если

Логическая связка

↔⇔≡⟺
Логические символы, обозначающие iff  

В логике и смежных областях, таких как математика и философия , « тогда и только если » (часто сокращается до « если только ») перефразируется как бикондиционал , логическая связка ^[1] между утверждениями. Двуусловие истинно в двух случаях, когда либо оба утверждения истинны, либо оба ложны. Связка является двуусловной (утверждение о материальной эквивалентности ), ^[2] и может быть уподоблена стандартному материальному условному слову («только если», равному «если… тогда») в сочетании с его обратным («если»); отсюда и название. В результате истинность любого из связанных утверждений требует истинности другого (т.е. либо оба утверждения истинны, либо оба ложны), хотя остается спорным вопрос о том, правильно ли переданная таким образом связка английским языком «if и только если» — с его ранее существовавшим смыслом. Например, P тогда и только тогда, когда Q означает, что P истинно всякий раз, когда Q истинно, и единственный случай, в котором P истинно, - это если Q также истинно, тогда как в случае P if Q могут быть и другие сценарии, когда P истинно, а Q ложно.

В письменной речи фразы, обычно используемые в качестве альтернативы P «тогда и только если» Q, включают: Q необходимо и достаточно для P , для P необходимо и достаточно, чтобы Q , P был эквивалентен (или материально эквивалентен) Q (сравните с материальная импликация ), P точно, если Q , P точно (или точно), когда Q , P точно в случае Q , и P только в случае Q. ^[3] Некоторые авторы считают «iff» непригодным для формального письма; ^[4] другие считают это «пограничным случаем» и терпят его использование. ^[5] В логических формулах вместо этих фраз используются логические символы, такие как и , ^[6] ; см. § Обозначения ниже. ${\displaystyle \leftrightarrow }$ ${\displaystyle \Leftrightarrow }$

Определение

Таблица истинности P Q выглядит следующим образом: ^{[7] [8]} ${\displaystyle \leftrightarrow }$

Это эквивалентно тому, что создается логическим элементом исключающее ИЛИ , и противоположно тому, которое создается логическим элементом исключающее ИЛИ . ^[9]

Применение

Обозначения

Соответствующие логические символы: " ", " ", ^[6] и , ^[10] и иногда "iff". Обычно они рассматриваются как эквивалентные. Однако в некоторых текстах по математической логике (особенно по логике первого порядка , а не по логике высказываний ) проводится различие между ними: первый, ↔, используется как символ в логических формулах, а ⇔ используется в рассуждениях о эти логические формулы (например, в металогике ). В польской системе обозначений Лукасевича это префиксный символ . ^[11] ${\displaystyle \leftrightarrow }$ ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle E}$

Другой термин для обозначения логической связки , т. е. символа в логических формулах, не является ни исключающим, ни .

В TeX «тогда и только если» отображается как длинная двойная стрелка: с помощью команды \iff или \Longleftrightarrow. ^[12] ${\displaystyle \iff }$

Доказательства

В большинстве логических систем утверждение вида «P тогда и только тогда, когда Q» доказывается либо «если P, то Q» и «если Q, то P», либо «если P, то Q» и «если не-P» . , то не-Q". Доказательство этих пар утверждений иногда приводит к более естественному доказательству, поскольку не существует очевидных условий, при которых можно было бы напрямую вывести двуусловие. Альтернативой является доказательство дизъюнкции «(P и Q) или (не-P и не-Q)», которая сама по себе может быть выведена непосредственно из любого из ее дизъюнктов, то есть потому, что «если только» является истинностно-функциональным , P тогда и только тогда, когда Q" следует, если было доказано, что P и Q оба истинны или оба ложны.

Происхождение слова iff и произношение

Использование аббревиатуры «iff» впервые появилось в печати в книге Джона Л. Келли « Общая топология» 1955 года . ^[13] Его изобретение часто приписывают Полу Халмошу , который написал: «Я изобрел слово «если и только если» — но я никогда не мог поверить, что я действительно был его первым изобретателем». ^[14]

Несколько неясно, как должно было произноситься слово «iff». В современной практике одно слово «iff» почти всегда читается как четыре слова «тогда и только если». Однако в предисловии к «Общей топологии» Келли предлагает читать ее по-другому: «В некоторых случаях, когда математическое содержание требует «тогда и только тогда», а эвфония требует чего-то меньшего, я использую «ифф» Халмоша». Авторы одного учебника по дискретной математике предлагают: ^[15] «Если вам нужно произнести iff, действительно держитесь за «ff» , чтобы люди услышали разницу с «if», подразумевая, что «iff» можно произносить как [ ɪfː] .

Использование в определениях

Обычно определения представляют собой утверждения типа «тогда и только если»; некоторые тексты, такие как «Общая топология Келли» , следуют этому соглашению и используют «тогда и только тогда» или iff в определениях новых терминов. ^[16] Однако такое использование фразы «если и только если» встречается относительно редко и упускает из виду тот лингвистический факт, что «если» в определении интерпретируется как означающее «тогда и только если». Большинство учебников, исследовательских работ и статей (включая статьи в английской Википедии) следуют лингвистическому соглашению, интерпретирующему «если» как «тогда и только тогда», когда речь идет о математическом определении (например, «топологическое пространство компактно, если каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие»). ^[17] Более того, в случае рекурсивного определения единственная половина определения интерпретируется как предложение на метаязыке, утверждающее, что предложения в определении предиката являются единственными предложениями , определяющими расширение предиката.

В терминах диаграмм Эйлера

• 
  A является собственным подмножеством B . Число находится в A только в том случае, если оно находится в B ; число находится в B , если оно находится в A.
• 
  C является подмножеством, но не собственным подмножеством B. Число находится в B тогда и только тогда, когда оно находится в C , а число находится в C тогда и только тогда , когда оно находится в B.

Диаграммы Эйлера показывают логические связи между событиями, свойствами и т. д. «P только если Q», «если P, то Q» и «P→Q» означают, что P является подмножеством Q, правильным или неправильным. «P если Q», «если Q, то P» и Все Q→P означают, что Q является правильным или неправильным подмножеством P. «P тогда и только тогда, когда Q» и «Q тогда и только тогда, когда P» означают, что множества P и Q идентичны друг другу.

Более общее использование

Iff используется и за пределами логики. Везде, где применяется логика, особенно в математических дискуссиях, она имеет то же значение, что и выше: это сокращение от if и only if , указывающее, что одно утверждение одновременно необходимо и достаточно для другого. Это пример математического жаргона (хотя, как отмечалось выше, в формулировках определения чаще используется if , чем iff ).

Элементами X являются все и только элементы Y. Это означает: «Для любого z в области дискурса z находится в X тогда и только тогда, когда z находится в Y ».

Когда «если» означает «тогда и только если»

В своей работе «Искусственный интеллект : современный подход » Рассел и Норвиг отмечают (стр. 282), ^[18] , что, по сути, часто более естественно выражать тогда и только тогда, когда как бы вместе с «семантикой базы данных (или логического программирования)». . Они приводят пример английского предложения «У Ричарда есть два брата, Джеффри и Джон».

В базе данных или логической программе это можно представить просто двумя предложениями:

Брат(Ричард, Джеффри).

Брат (Ричард, Джон).

Семантика базы данных интерпретирует базу данных (или программу) как содержащую все и только те знания, которые необходимы для решения проблем в данной области. Он интерпретирует только в том случае, если выражает на метаязыке то, что предложения в базе данных представляют собой единственное знание, которое следует учитывать при выводе выводов из базы данных.

В логике первого порядка (FOL) со стандартной семантикой одно и то же английское предложение должно быть представлено с использованием if и only if , только если интерпретировано на объектном языке, в такой форме, как:

${\displaystyle \forall }$X(Брат(Ричард, X) тогда и только тогда, когда X = Джеффри или X = Джон).

Джеффри ≠ Джон.

По сравнению со стандартной семантикой для FOL семантика базы данных имеет более эффективную реализацию. Вместо рассуждений предложениями вида:

вывод, если и только если условия

он использует предложения вида:

вывод, если условия

рассуждать вперед от условий к выводам или назад от выводов к условиям .

Семантика базы данных аналогична юридическому принципу expressio unius est exclusio alterius (явное упоминание одной вещи исключает все остальные). Более того, он лежит в основе применения логического программирования для представления юридических текстов и юридических рассуждений. ^[19]

Смотрите также

• Определение
• Отношение эквивалентности
• Логическое двуусловие
• Логическое равенство
• Логическая эквивалентность
• Тогда и только тогда, когда в логических программах
• Полисиллогизм

Рекомендации

1. «Логические связи». site.millersville.edu . Проверено 10 сентября 2023 г.
2. Копи, ИМ; Коэн, К.; Флагж, Делавэр (2006). Основы логики (второе изд.). Река Аппер-Седл, Нью-Джерси: Pearson Education. п. 197. ИСБН 978-0-13-238034-8.
3. Вайсштейн, Эрик В. «Если бы». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Iff.html Архивировано 13 ноября 2018 г. в Wayback Machine.
4. Например, Даепп, Ульрих; Горкин, Памела (2011), Чтение, письмо и доказательство: более пристальный взгляд на математику, Тексты для студентов по математике , Springer, стр. 52, ISBN 9781441994790, Хотя это может реально сэкономить время, мы не рекомендуем это делать в официальном письменном виде.
5. Ротвелл, Эдвард Дж.; Клауд, Майкл Дж. (2014), «Инженерное письмо по дизайну: создание официальных документов непреходящей ценности», CRC Press, стр. 98, ISBN 9781482234312, Это часто встречается в математических трудах
6. Пейл, Тимоти. «Кондиционалы и бикондиционалы». web.mnstate.edu . Архивировано из оригинала 24 октября 2020 года . Проверено 4 сентября 2020 г.
7. p <=> q ​​Архивировано 18 октября 2016 г. в Wayback Machine . Вольфрам|Альфа
8. Если и только если, Департамент математики UHM, заархивировано из оригинала 5 мая 2000 г. , получено 16 октября 2016 г. Теоремы , имеющие форму «P, если и только Q», очень ценятся в математике. Они дают так называемые «необходимые и достаточные» условия и предлагают совершенно эквивалентные и, будем надеяться, интересные новые способы сказать то же самое.
9. "XOR/XNOR/Ворота нечетной четности/четности" . www.cburch.com . Архивировано из оригинала 7 апреля 2022 года . Проверено 22 октября 2019 г.
10. Вайсштейн, Эрик В. «Эквивалент». mathworld.wolfram.com . Архивировано из оригинала 3 октября 2020 года . Проверено 4 сентября 2020 г.
11. «Ян Лукасевич> Без скобок или польская нотация Лукасевича (Стэнфордская энциклопедия философии)» . plato.stanford.edu . Архивировано из оригинала 9 августа 2019 года . Проверено 22 октября 2019 г.
12. "LaTeX: Символ" . Искусство решения проблем . Архивировано из оригинала 22 октября 2019 года . Проверено 22 октября 2019 г.
13. Общая топология, переиздание ISBN 978-0-387-90125-1 
14. Николас Дж. Хайэм (1998). Справочник письма по математическим наукам (2-е изд.). СИАМ. п. 24. ISBN 978-0-89871-420-3.
15. Маурер, Стивен Б.; Ралстон, Энтони (2005). Дискретная алгоритмическая математика (3-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. п. 60. ИСБН 1568811667.
16. Например, из «Общей топологии» , с. 25: «Множество счетно тогда и только тогда, когда оно конечно или счетно бесконечно». [жирный шрифт в оригинале]
17. Кранц, Стивен Г. (1996), Букварь математического письма , Американское математическое общество, стр. 71, ISBN 978-0-8218-0635-7
18. Рассел, Стюарт Дж .; Норвиг, Питер (2020) [1995]. Искусственный интеллект: современный подход (4-е изд.). Прентис Холл . п. 1136. ИСБН 978-0-13-461099-3. ОСЛК  359890490.
19. Ковальски Р., Давила Дж., Сартор Г. и Калехо М., 2023. Логический английский для права и образования. http://www.doc.ic.ac.uk/~rak/papers/Logical%20English%20for%20Law%20and%20Education%20.pdf В Прологе: Следующие 50 лет (стр. 287-299). Чам: Springer Nature Швейцария.

Внешние ссылки

• «Таблицы истинности тогда и только тогда». Архивировано из оригинала 5 мая 2000 года.
• Языковой журнал: «На всякий случай»
• Философия Южной Калифорнии для аспирантов-философов: «На всякий случай»