алгебра Хопфа

Построение в алгебре

В математике алгебра Хопфа , названная в честь Хайнца Хопфа , представляет собой структуру, которая одновременно является ( унитальной ассоциативной) алгеброй и (коунитальной коассоциативной) коалгеброй , причем совместимость этих структур делает ее биалгеброй , и которая, кроме того, снабжена антигомоморфизмом, удовлетворяющим определенному свойству. Теория представлений алгебры Хопфа особенно хороша, поскольку существование совместимого коумножения, коединицы и антипода позволяет строить тензорные произведения представлений, тривиальных представлений и дуальных представлений.

Алгебры Хопфа естественным образом встречаются в алгебраической топологии , где они возникли и связаны с концепцией H-пространства , в теории групповых схем , в теории групп (через концепцию группового кольца ) и во многих других местах, что делает их, вероятно, наиболее известным типом биалгебр . Алгебры Хопфа также изучаются сами по себе, с большой работой по конкретным классам примеров, с одной стороны, и проблемами классификации, с другой. Они имеют разнообразные приложения, начиная от физики конденсированного состояния и квантовой теории поля ^[1] до теории струн ^[2] и феноменологии LHC . ^[3]

Формальное определение

Формально алгебра Хопфа — это (ассоциативная и коассоциативная) биалгебра H над полем K вместе с K -линейным отображением S : H → H (называемым антиподом ), таким что следующая диаграмма коммутирует :

Здесь Δ — коумножение биалгебры, ∇ — ее умножение, η — ее единица, а ε — ее коединица. В нотации Свидлера без сумм это свойство можно также выразить как

${\displaystyle S(c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}S(c_{(2)})=\varepsilon (c)1\qquad {\mbox{ for all }}c\in H.}$

Что касается алгебр , то в приведенном выше определении можно заменить базовое поле K коммутативным кольцом R. ^[4]

Определение алгебры Хопфа является самодвойственным (что отражено в симметрии приведенной выше диаграммы), поэтому если можно определить двойственную к H ( что всегда возможно, если H конечномерна), то она автоматически является алгеброй Хопфа. ^[5]

Структурные константы

Зафиксировав базис для лежащего в основе векторного пространства, можно определить алгебру в терминах структурных констант для умножения: ${\displaystyle \{e_{k}\}}$

${\displaystyle e_{i}\nabla e_{j}=\sum _{k}\mu _{\;ij}^{k}e_{k}}$

для совместного умножения:

${\displaystyle \Delta e_{i}=\sum _{j,k}\nu _{i}^{\;jk}e_{j}\otimes e_{k}}$

и антипод:

${\displaystyle Se_{i}=\sum _{j}\tau _{i}^{\;j}e_{j}}$

Ассоциативность тогда требует, чтобы

${\displaystyle \mu _{\;ij}^{k}\mu _{\;kn}^{m}=\mu _{\;jn}^{k}\mu _{\;ik}^{m}}$

в то время как соассоциативность требует, чтобы

${\displaystyle \nu _{k}^{\;ij}\nu _{i}^{\;mn}=\nu _{k}^{\;mi}\nu _{i}^{\;nj}}$

Связующая аксиома требует, чтобы

${\displaystyle \nu _{k}^{\;ij}\tau _{j}^{\;m}\mu _{\;im}^{n}=\nu _{k}^{\;jm}\tau _{j}^{\,\;i}\mu _{\;im}^{n}}$

Свойства антипода

Иногда требуется, чтобы антипод S имел K -линейный обратный элемент, что происходит автоматически в конечномерном случае ^{[ необходимо разъяснение ]} или если H является коммутативным или кокоммутативным (или, в более общем случае, квазитреугольным ).

В общем случае S является антигомоморфизмом , ^[6] поэтому S2 является ^{гомоморфизмом ,} который , следовательно, является автоморфизмом, если S был обратимым (что может потребоваться).

Если S ² = id _H , то алгебра Хопфа называется инволютивной (а лежащая в ее основе алгебра с инволюцией — *-алгеброй ). Если H является конечномерной полупростой над полем нулевой характеристики, коммутативной или кокоммутативной, то она инволютивна.

Если биалгебра B допускает антипод S , то S является уникальным («биалгебра допускает не более 1 структуры алгебры Хопфа»). ^[7] Таким образом, антипод не представляет никакой дополнительной структуры, которую мы могли бы выбрать: быть алгеброй Хопфа — свойство биалгебры.

Антипод является аналогом отображения инверсии на группе, которое переводит g в g ⁻¹ . ^[8]

Подалгебры Хопфа

Подалгебра A алгебры Хопфа H является подалгеброй Хопфа, если она является подкоалгеброй H , а антипод S отображает A в A. Другими словами, подалгебра Хопфа A является алгеброй Хопфа сама по себе, когда умножение, коумножение, коединица и антипод H ограничены A (и дополнительно требуется, чтобы тождество 1 H было в A). Теорема свободы Николса–Цёллера Уоррена Николса и Беттины Цёллер (1989) установила, что естественный A -модуль H свободен от конечного ранга, если H конечномерен: обобщение теоремы Лагранжа для подгрупп . ^[9] Как следствие этой и интегральной теории, подалгебра Хопфа полупростой конечномерной алгебры Хопфа автоматически является полупростой.

Подалгебра Хопфа A называется правонормальной в алгебре Хопфа H, если она удовлетворяет условию устойчивости, ad _r ( h )( A ) ⊆ A для всех h из H , где правое сопряженное отображение ad _r определяется соотношением ad _r ( h )( a ) = S ( h ₍₁₎ ) ah ₍₂₎ для всех a из A , h из H . Аналогично, подалгебра Хопфа A называется левонормальной в H, если она устойчива относительно левого сопряженного отображения, определенного соотношением ad _l ( h )( a ) = h ₍₁₎ aS ( h ₍₂₎ ). Два условия нормальности эквивалентны, если антипод S биективен, в этом случае A называется нормальной подалгеброй Хопфа.

Нормальная подалгебра Хопфа A в H удовлетворяет условию (равенства подмножеств H): HA ⁺ = A ⁺ H , где A ⁺ обозначает ядро ​​коединицы на A. Это условие нормальности подразумевает, что HA ⁺ является идеалом Хопфа в H (т. е. идеалом алгебры в ядре коединицы, коидеалом коалгебры и устойчивым относительно антипода). Как следствие, имеем фактор-алгебру Хопфа H / HA ⁺ и эпиморфизм H → H / A ⁺ H , теорию, аналогичную теории нормальных подгрупп и фактор-групп в теории групп . ^[10]

Хопф приказывает

Порядок Хопфа O над областью целостности R с полем дробей K — это порядок в алгебре Хопфа H над K , замкнутый относительно операций алгебры и коалгебры: в частности, коумножение Δ отображает O в O ⊗ O. ^[11 ]

Группоподобные элементы

Группоподобный элемент — это ненулевой элемент x такой, что Δ( x ) = x ⊗ x . Группоподобные элементы образуют группу с обратным, заданным антиподом. ^[12] Примитивный элемент x удовлетворяет Δ( x ) = x ⊗1 + 1⊗ x . ^{[13] [14]}

Примеры

Обратите внимание, что функции на конечной группе можно отождествить с групповым кольцом, хотя их более естественно рассматривать как двойственные — групповое кольцо состоит из конечных сумм элементов и, таким образом, спаривается с функциями на группе, вычисляя функцию на суммированных элементах.

Когомологии групп Ли

Алгебра когомологий (над полем ) группы Ли является алгеброй Хопфа: умножение обеспечивается кубковым произведением , а коумножение ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle H^{*}(G,K)\rightarrow H^{*}(G\times G,K)\cong H^{*}(G,K)\otimes H^{*}(G,K)}$

групповым умножением . Это наблюдение фактически стало источником понятия алгебры Хопфа. Используя эту структуру, Хопф доказал структурную теорему для алгебры когомологий групп Ли. ${\displaystyle G\times G\to G}$

Теорема (Хопфа) ^[18] Пусть — конечномерная, градуированно коммутативная , градуированно кокоммутативная алгебра Хопфа над полем характеристики 0. Тогда (как алгебра) — свободная внешняя алгебра с образующими нечетной степени. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Квантовые группы и некоммутативная геометрия

Большинство примеров выше являются либо коммутативными (т. е. умножение коммутативно ), либо кокоммутативными (т. е. ^[19] Δ = T ∘ Δ, где отображение скручивания ^[20] T : H ⊗ H → H ⊗ H определяется как T ( x ⊗ y ) = y ⊗ x ). Другие интересные алгебры Хопфа — это определенные «деформации» или « квантования » алгебр из примера 3, которые не являются ни коммутативными, ни кокоммутативными. Эти алгебры Хопфа часто называют квантовыми группами , термин, который до сих пор определен лишь в общих чертах. Они важны в некоммутативной геометрии , идея заключается в следующем: стандартная алгебраическая группа хорошо описывается своей стандартной алгеброй Хопфа регулярных функций; Тогда мы можем думать о деформированной версии этой алгебры Хопфа как об описании определенной «нестандартной» или «квантованной» алгебраической группы (которая вообще не является алгебраической группой). Хотя, похоже, не существует прямого способа определить или манипулировать этими нестандартными объектами, с их алгебрами Хопфа все равно можно работать, и, действительно, их можно отождествлять с их алгебрами Хопфа. Отсюда и название «квантовая группа».

Теория представления

Пусть A — алгебра Хопфа, а M и N — A -модули. Тогда M ⊗ N также является A -модулем, причем

${\displaystyle a(m\otimes n):=\Delta (a)(m\otimes n)=(a_{1}\otimes a_{2})(m\otimes n)=(a_{1}m\otimes a_{2}n)}$

для m ∈ M , n ∈ N и Δ( a ) = ( a ₁ , a ₂ ). Кроме того, мы можем определить тривиальное представление как базовое поле K с

${\displaystyle a(m):=\epsilon (a)m}$

для m ∈ K. Наконец, можно определить дуальное представление A : если M — A- модуль, а M* — его дуальное пространство, то

${\displaystyle (af)(m):=f(S(a)m)}$

где f ∈ M* и m ∈ M .

Связь между Δ, ε и S гарантирует, что некоторые естественные гомоморфизмы векторных пространств действительно являются гомоморфизмами A -модулей. Например, естественные изоморфизмы векторных пространств M → M ⊗ K и M → K ⊗ M также являются изоморфизмами A -модулей. Кроме того, отображение векторных пространств M* ⊗ M → K с f ⊗ m → f ( m ) также является гомоморфизмом A -модулей. Однако отображение M ⊗ M* → K не обязательно является гомоморфизмом A -модулей.

Связанные концепции

Градуированные алгебры Хопфа часто используются в алгебраической топологии : они представляют собой естественную алгебраическую структуру на прямой сумме всех групп гомологий или когомологий H-пространства .

Локально компактные квантовые группы обобщают алгебры Хопфа и несут топологию . Алгебра всех непрерывных функций на группе Ли является локально компактной квантовой группой.

Квази-Хопфовы алгебры являются обобщениями алгебр Хопфа, где коассоциативность сохраняется только до поворота. Они использовались при изучении уравнений Книжника–Замолодчикова . ^[21]

Множительные алгебры Хопфа, введенные Альфонсом Ван Дейлом в 1994 году ^[22], являются обобщениями алгебр Хопфа , где коумножение алгебры (с единицей или без нее) на множитель алгебры тензорного произведения алгебры с самой собой.

Группы-(ко)алгебры Хопфа, введенные В.Г. Тураевым в 2000 году, также являются обобщениями алгебр Хопфа.

Слабые алгебры Хопфа

Слабые алгебры Хопфа , или квантовые группоиды, являются обобщениями алгебр Хопфа. Подобно алгебрам Хопфа, слабые алгебры Хопфа образуют самодвойственный класс алгебр; т. е. если H является (слабой) алгеброй Хопфа, то H * является двойственным пространством линейных форм на H (относительно структуры алгебра-коалгебра, полученной из естественного спаривания с H и ее структурой коалгебра-алгебра). Слабая алгебра Хопфа H обычно считается

• Конечномерная алгебра и коалгебра с копроизведением Δ: H → H ⊗ H и коединицей ε: H → k, удовлетворяющая всем аксиомам алгебры Хопфа, за исключением, возможно, Δ(1) ≠ 1 ⊗ 1 или ε( ab ) ≠ ε( a )ε( b ) для некоторых a,b из H. Вместо этого требуется следующее:

${\displaystyle (\Delta (1)\otimes 1)(1\otimes \Delta (1))=(1\otimes \Delta (1))(\Delta (1)\otimes 1)=(\Delta \otimes {\mbox{Id}})\Delta (1)}$

${\displaystyle \epsilon (abc)=\sum \epsilon (ab_{(1)})\epsilon (b_{(2)}c)=\sum \epsilon (ab_{(2)})\epsilon (b_{(1)}c)}$

для всех a , b и c в H.

• H имеет ослабленный антипод S : H → H, удовлетворяющий аксиомам:

1. ${\displaystyle S(a_{(1)})a_{(2)}=1_{(1)}\epsilon (a1_{(2)})}$для всех a из H (правая часть — интересная проекция, обычно обозначаемая как Π ^R ( a ) или ε _s ( a ) с образом — отделимой подалгеброй, обозначаемой как H ^R или H _s );
2. ${\displaystyle a_{(1)}S(a_{(2)})=\epsilon (1_{(1)}a)1_{(2)}}$для всех a из H (еще одна интересная проекция, обычно обозначаемая как Π ^R ( a ) или ε _t ( a ) с образом — отделимой алгеброй H ^L или H _t , антиизоморфной H ^L посредством S );
3. ${\displaystyle S(a_{(1)})a_{(2)}S(a_{(3)})=S(a)}$для всех a в H.

Обратите внимание, что если Δ(1) = 1 ⊗ 1, то эти условия сводятся к двум обычным условиям на антиподе алгебры Хопфа.

Аксиомы частично выбраны так, что категория H -модулей является жесткой моноидальной категорией . Единичный H -модуль - это отделимая алгебра H ^{L ,} упомянутая выше.

Например, конечная группоидная алгебра является слабой алгеброй Хопфа. В частности, группоидная алгебра на [n] с одной парой обратимых стрелок e _ij и e _ji между i и j в [ n ] изоморфна алгебре H из матриц n x n . Структура слабой алгебры Хопфа на этой конкретной H задается копроизведением Δ( e _ij ) = e _ij ⊗ e _ij , коединицей ε( e _ij ) = 1 и антиподом S ( e _ij ) = e _ji . Сепарабельные подалгебры H ^L и H ^R совпадают и являются нецентральными коммутативными алгебрами в этом частном случае (подалгебра диагональных матриц).

Ранние теоретические вклады в слабые алгебры Хопфа можно найти в ^[23], а также в ^[24].

Алгеброиды Хопфа

См. алгеброид Хопфа

Аналогия с группами

Группы могут быть аксиоматизированы теми же диаграммами (эквивалентно, операциями), что и алгебра Хопфа, где G рассматривается как множество, а не модуль. В этом случае:

• поле K заменяется 1-точечным множеством
• есть естественная единица (карта на 1 точку)
• существует естественное умножение (диагональное отображение)
• единица является элементом идентичности группы
• умножение - это умножение в группе
• антипод - это обратная сторона

В этой философии группу можно рассматривать как алгебру Хопфа над « полем с одним элементом ». ^[25]

Алгебры Хопфа в сплетенных моноидальных категориях

Определение алгебры Хопфа естественным образом распространяется на произвольные сплетенные моноидальные категории . ^{[26] [27]} Алгебра Хопфа в такой категории является шестеркой , где — объект из , и ${\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}$ ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon ,S)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \nabla :H\otimes H\to H}$(умножение),

${\displaystyle \eta :I\to H}$(единица),

${\displaystyle \Delta :H\to H\otimes H}$(умножение),

${\displaystyle \varepsilon :H\to I}$(единица),

${\displaystyle S:H\to H}$(антипод)

— являются морфизмами в такими, что ${\displaystyle C}$

1) тройка является моноидом в моноидальной категории , т.е. следующие диаграммы коммутативны: ^[b] ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta )}$ ${\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}$

2) тройка является комоноидом в моноидальной категории , т.е. следующие диаграммы коммутативны: ^[b] ${\displaystyle (H,\Delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}$

3) структуры моноида и комоноида на совместимы: умножение и единица являются морфизмами комоноидов, и (это эквивалентно в данной ситуации) в то же время коумножение и коединица являются морфизмами моноидов; это означает, что следующие диаграммы должны быть коммутативными: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

где — морфизм левой единицы в , а естественное преобразование функторов , которое является единственным в классе естественных преобразований функторов, составленных из структурных преобразований (ассоциативность, левые и правые единицы, транспонирование и их обратные) в категории . ${\displaystyle \lambda _{I}:I\otimes I\to I}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (A\otimes B)\otimes (C\otimes D){\stackrel {\theta }{\rightarrowtail }}(A\otimes C)\otimes (B\otimes D)}$ ${\displaystyle C}$

Пятерка со свойствами 1),2),3) называется биалгеброй в категории ; ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}$

4) диаграмма антипода коммутативна:

Типичные примеры следующие.

• Группы . В моноидальной категории множеств ( с декартовым произведением в качестве тензорного произведения и произвольным синглетоном, скажем, , в качестве единичного объекта) тройка является моноидом в категорическом смысле тогда и только тогда, когда она является моноидом в обычном алгебраическом смысле , т.е. если операции и ведут себя как обычное умножение и единица в (но, возможно, без обратимости элементов ). В то же время тройка является комоноидом в категорическом смысле тогда и только тогда, когда является диагональной операцией (и операция также определяется однозначно: ). И любая такая структура комоноида совместима с любой структурой моноида в том смысле, что диаграммы в разделе 3 определения всегда коммутируют. Как следствие, каждый моноид в может естественным образом рассматриваться как биалгебра в , и наоборот. Существование антипода для такой биалгебры означает в точности, что каждый элемент имеет обратный элемент относительно умножения . Таким образом, в категории множеств алгебры Хопфа — это в точности группы в обычном алгебраическом смысле. ${\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 1=\{\varnothing \}}$ ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta )}$ ${\displaystyle \nabla (x,y)=x\cdot y}$ ${\displaystyle \eta (1)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle x\in H}$ ${\displaystyle (H,\Delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta (x)=(x,x)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon (x)=\varnothing }$ ${\displaystyle (H,\Delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta )}$ ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta )}$ ${\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)}$ ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)}$ ${\displaystyle S:H\to H}$ ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle x\in H}$ ${\displaystyle x^{-1}\in H}$ ${\displaystyle \nabla (x,y)=x\cdot y}$ ${\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)}$
• Классические алгебры Хопфа . В частном случае, когда — категория векторных пространств над заданным полем , алгебры Хопфа в — это в точности классические алгебры Хопфа, описанные выше. ${\displaystyle (C,\otimes ,s,I)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (C,\otimes ,s,I)}$
• Функциональные алгебры на группах . Стандартные функциональные алгебры , , , (непрерывных, гладких, голоморфных, регулярных функций) на группах являются алгебрами Хопфа в категории ( Ste , ) стереотипных пространств , ^[28] ${\displaystyle {\mathcal {C}}(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(G)}$ ${\displaystyle \odot }$
• Групповые алгебры . Стереотипные групповые алгебры , , , (мер, распределений, аналитических функционалов и токов) на группах являются алгебрами Хопфа в категории ( Ste , ) стереотипных пространств . ^[28] Эти алгебры Хопфа используются в теориях двойственности для некоммутативных групп . ^[29] ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\star }(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\star }(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\star }(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{\star }(G)}$ ${\displaystyle \circledast }$

Смотрите также

• Квазитреугольная алгебра Хопфа
• Аналогия алгебры/множества
• Теория представлений алгебр Хопфа
• Ленточная алгебра Хопфа
• Супералгебра
• Супергруппа
• Анионная алгебра Ли
• Алгебра Хопфа Свидлера
• Алгебра перестановок Хопфа
• Теорема Милнора–Мура

Примечания и ссылки

Примечания

1. Конечность G подразумевает, что K ^G ⊗ K ^G естественно изоморфен K ^{G x G} . Это используется в приведенной выше формуле для коумножения. Для бесконечных групп G , K ^G ⊗ K ^G является собственным подмножеством K ^{G x G} . В этом случае пространство функций с конечным носителем может быть снабжено структурой алгебры Хопфа.
2. Здесь , , — естественные преобразования ассоциативности, а также левых и правых единиц в моноидальной категории . ${\displaystyle \alpha _{H,H,H}:(H\otimes H)\otimes H\to H\otimes (H\otimes H)}$ ${\displaystyle \lambda _{H}:I\otimes H\to H}$ ${\displaystyle \rho _{H}:H\otimes I\to H}$ ${\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}$

Цитаты

1. Холдейн, ФДМ; Ха, ЗНК; Талстра, Дж. К.; Бернар, Д.; Паскье, В. (1992). «Янгианская симметрия интегрируемых квантовых цепей с дальнодействующими взаимодействиями и новое описание состояний в конформной теории поля». Physical Review Letters . 69 (14): 2021–2025. Bibcode :1992PhRvL..69.2021H. doi :10.1103/physrevlett.69.2021. PMID  10046379.
2. Плефка, Дж.; Спилл, Ф.; Торриелли, А. (2006). «Структура алгебры Хопфа S-матрицы AdS/CFT». Physical Review D. 74 ( 6): 066008. arXiv : hep-th/0608038 . Bibcode : 2006PhRvD..74f6008P. doi : 10.1103/PhysRevD.74.066008. S2CID  2370323.
3. Абреу, Сэмюэл; Бритто, Рут ; Дур, Клод; Гарди, Эйнан (2017-12-01). "Диаграммная алгебра Хопфа усеченных интегралов Фейнмана: случай одной петли". Журнал физики высоких энергий . 2017 (12): 90. arXiv : 1704.07931 . Bibcode : 2017JHEP...12..090A. doi : 10.1007/jhep12(2017)090. ISSN  1029-8479. S2CID  54981897.
4. Андервуд 2011, стр. 55
5. Андервуд 2011, стр. 62
6. Даскалеску, Нэстасеску и Райану (2001). «Предложение 4.2.6». Алгебра Хопфа: Введение. п. 153.
7. Даскалеску, Нэстасеску и Райану (2001). «Примечания 4.2.3». Алгебра Хопфа: Введение. п. 151.
8. Конспект лекций квантовых групп
9. Николс, Уоррен Д.; Цёллер, М. Беттина (1989), «Теорема о свободе алгебры Хопфа», American Journal of Mathematics , 111 (2): 381–385, doi :10.2307/2374514, JSTOR  2374514, MR  0987762
10. Монтгомери 1993, стр. 36
11. Андервуд 2011, стр. 82
12. Хазевинкель, Михил; Губарени, Надежда Михайловна; Кириченко, Владимир В. (2010). Алгебры, кольца и модули: алгебры Ли и алгебры Хопфа . Математические обзоры и монографии. Т. 168. Американское математическое общество . стр. 149. ISBN 978-0-8218-7549-0.
13. Михалев, Александр Васильевич; Пильц, Гюнтер, ред. (2002). Краткий справочник по алгебре . Спрингер-Верлаг . п. 307, С.42. ISBN 978-0792370727.
14. Абэ, Эйити (2004). Алгебры Хопфа . Кембриджские трактаты по математике. Т. 74. Cambridge University Press . С. 59. ISBN 978-0-521-60489-5.
15. Хохшильд, Г. (1965), Структура групп Ли , Холден-Дэй, стр. 14–32.
16. Jantzen, Jens Carsten (2003), Представления алгебраических групп , Математические обзоры и монографии, т. 107 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3527-2, раздел 2.3
17. См. Hazewinkel, Michiel (январь 2003 г.). «Симметричные функции, некоммутативные симметричные функции и квазисимметричные функции». Acta Applicandae Mathematicae . 75 (1–3): 55–83. arXiv : math/0410468 . doi :10.1023/A:1022323609001. S2CID  189899056.
18. Хопф, Хайнц (1941). «Über die Topologie der Gruppen – Mannigfaltigkeiten und ihre Verallgemeinerungen». Энн. математики . 2 (на немецком языке). 42 (1): 22–52. дои : 10.2307/1968985. JSTOR  1968985.
19. Андервуд 2011, стр. 57
20. Андервуд 2011, стр. 36
21. Монтгомери 1993, стр. 203
22. Ван Дейл, Альфонс (1994). "Multiplier Hopf algebras" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 342 (2): 917–932. doi : 10.1090/S0002-9947-1994-1220906-5 .
23. Бём, Габриэлла; Нилл, Флориан; Шлачаный, Корнель (1999). «Слабые алгебры Хопфа». Дж. Алгебра . 221 (2): 385–438. arXiv : математика/9805116 . дои : 10.1006/jabr.1999.7984. S2CID  14889155.
24. Никшич, Дмитрий; Вайнерман, Леонид (2002). «Конечные группоиды и их приложения». В Montgomery, S.; Schneider, H.-J. (ред.). Новые направления в алгебрах Хопфа . Т. 43. Cambridge: MSRI Publications. С. 211–262. ISBN 9780521815123.
25. Группа = Алгебра Хопфа « Секретный семинар по блоггингу, Групповые объекты и алгебры Хопфа, видео Саймона Виллертона.
26. Тураев и Вирелизиер 2017, 6.2.
27. Акбаров 2009, стр. 482.
28. Акбаров 2003, 10.3.
29. Акбаров 2009.

Ссылки

• Даскалеску, Сорин; Нэстасеску, Константин; Райану, Шербан (2001), Алгебра Хопфа. Введение , Чистая и прикладная математика, вып. 235 (1-е изд.), Марсель Деккер, ISBN 978-0-8247-0481-0, ЗБЛ  0962.16026.
• Картье, Пьер (2007), «Основы алгебр Хопфа», в Картье, П.; Мусса, П.; Джулия, Б.; Ванхове, П. (ред.), Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry , т. II, Берлин: Springer, стр. 537–615, doi :10.1007/978-3-540-30308-4_12, ISBN 978-3-540-30307-7
• Фукс, Юрген (1992), Аффинные алгебры Ли и квантовые группы. Введение с приложениями в конформную теорию поля , Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-48412-1, ЗБЛ  0925.17031
• Хайнц Хопф , Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Annals of Mathematics 42 (1941), 22–52. Перепечатано в Selecta Heinz Hopf, стр. 119–151, Springer, Берлин (1964). МР 4784, Збл  0025.09303
• Монтгомери, Сьюзен (1993), Алгебры Хопфа и их действия на кольцах , Серия региональных конференций по математике, т. 82, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0738-5, ЗБЛ  0793.16029
• Стрит, Росс (2007), Квантовые группы: путь к современной алгебре , Серия лекций Австралийского математического общества, т. 19, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-69524-4, MR  2294803, Zbl  1117.16031.
• Свидлер, Мосс Э. (1969), Алгебры Хопфа, Серия лекций по математике, WA Benjamin, Inc., Нью-Йорк, ISBN 9780805392548, MR  0252485, Zbl  0194.32901
• Андервуд, Роберт Г. (2011), Введение в алгебры Хопфа , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-72765-3, ЗБЛ  1234.16022
• Тураев, Владимир; Вирелизье, Алексис (2017), Моноидальные категории и топологическая теория поля, Progress in Mathematics, т. 322, Springer, doi : 10.1007/978-3-319-49834-8, ISBN 978-3-319-49833-1.
• Акбаров, СС (2003). «Двойственность Понтрягина в теории топологических векторных пространств и топологической алгебре». Журнал математических наук . 113 (2): 179–349. doi : 10.1023/A:1020929201133 . S2CID  115297067.
• Акбаров, СС (2009). «Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна с алгебраической связной компонентой тождества». Журнал математических наук . 162 (4): 459–586. arXiv : 0806.3205 . doi : 10.1007/s10958-009-9646-1. S2CID  115153766.