Слабая алгебра Хопфа

В математике слабые биалгебры являются обобщением биалгебр , которые являются как алгебрами, так и коалгебрами , но для которых условия совместимости между двумя структурами были «ослаблены». В том же духе слабые алгебры Хопфа являются слабыми биалгебрами вместе с линейным отображением S, удовлетворяющим определенным условиям; они являются обобщениями алгебр Хопфа .

Эти объекты были введены Бёмом, Ниллем и Шлахани. Первые мотивы для их изучения исходили из квантовой теории поля и операторных алгебр . ^[1] Слабые алгебры Хопфа имеют довольно интересную теорию представлений; в частности, модули над полупростой конечной слабой алгеброй Хопфа являются категорией слияния (которая является моноидальной категорией с дополнительными свойствами). Также было показано Этингофом, Никшичем и Остриком, что любая категория слияния эквивалентна категории модулей над слабой алгеброй Хопфа. ^[2]

Определение

Слабая биалгебра над полем — это векторное пространство такое, что ${\displaystyle (H,\mu ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H}$

• ${\displaystyle (H,\mu ,\eta )}$образует ассоциативную алгебру с умножением и единицей , ${\displaystyle \mu :H\otimes H\rightarrow H}$ ${\displaystyle \eta :k\rightarrow H}$
• ${\displaystyle (H,\Delta ,\varepsilon )}$образует коассоциативную коалгебру с коумножением и коединицей , ${\displaystyle \Delta :H\rightarrow H\otimes H}$ ${\displaystyle \varepsilon :H\rightarrow k}$

для которых выполняются следующие условия совместимости:

1. Мультипликативность умножения:

   ${\displaystyle \Delta \circ \mu =(\mu \otimes \mu )\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \sigma _{H,H}\otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\Delta \otimes \Delta )}$,

2. Слабая мультипликативность единицы:

   ${\displaystyle \varepsilon \circ \mu \circ (\mu \otimes \mathrm {id} _{H})=(\varepsilon \otimes \varepsilon )\circ (\mu \otimes \mu )\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \Delta \otimes \mathrm {id} _{H})=(\varepsilon \otimes \varepsilon )\circ (\mu \otimes \mu )\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \Delta ^{op}\otimes \mathrm {id} _{H})}$,

3. Слабая комультипликативность единицы:

   ${\displaystyle (\Delta \otimes \mathrm {id} _{H})\circ \Delta \circ \eta =(\mathrm {id} _{H}\otimes \mu \otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\Delta \otimes \Delta )\circ (\eta \otimes \eta )=(\mathrm {id} _{H}\otimes \mu ^{op}\otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\Delta \otimes \Delta )\circ (\eta \otimes \eta )}$,

где переворачивает два тензорных множителя. Более того, это противоположное умножение, а это противоположное коумножение. Обратите внимание, что мы также неявно используем теорему о когерентности Маклейна для моноидальной категории векторных пространств, идентифицируя также как . ${\displaystyle \sigma _{V,W}:V\otimes W\rightarrow W\otimes V:v\otimes w\mapsto w\otimes v}$ ${\displaystyle \mu ^{op}=\mu \circ \sigma _{H,H}}$ ${\displaystyle \Delta ^{op}=\sigma _{H,H}\circ \Delta }$ ${\displaystyle (U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes (V\otimes W)}$ ${\displaystyle V\otimes k\cong V\cong k\otimes V}$

Определение ослабляет совместимость между структурами алгебры и коалгебры биалгебры. Более конкретно, ослабляются единица и коединица. Это остается верным в аксиомах слабой алгебры Хопфа.

Слабая алгебра Хопфа — это слабая биалгебра с линейным отображением , называемым антиподом , которое удовлетворяет: ${\displaystyle (H,\mu ,\eta ,\Delta ,\varepsilon ,S)}$ ${\displaystyle (H,\mu ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle S:H\to H}$

• ${\displaystyle \mu \circ (\mathrm {id} _{H}\otimes S)\circ \Delta =(\varepsilon \otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\mu \otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \sigma _{H,H})\circ (\Delta \otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\eta \otimes \mathrm {id} _{H})}$,
• ${\displaystyle \mu \circ (S\otimes \mathrm {id} _{H})\circ \Delta =(\mathrm {id} _{H}\otimes \varepsilon )\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \mu )\circ (\sigma _{H,H}\otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \Delta )\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \eta )}$,
• ${\displaystyle S=\mu \circ (\mu \otimes \mathrm {id} _{H})\circ (S\otimes \mathrm {id} _{H}\otimes S)\circ (\Delta \otimes \mathrm {id} _{H})\circ \Delta }$.

Примеры

1. Алгебра Хопфа. Конечно, любая алгебра Хопфа является слабой алгеброй Хопфа.
2. Группоидная алгебра. Предположим, что — группоид , и пусть — группоидная алгебра, другими словами, алгебра, порожденная морфизмами . Это становится слабой алгеброй Хопфа, если мы определим ${\displaystyle G=(G_{0},G_{1})}$ ${\displaystyle K[G]}$ ${\displaystyle g\in G_{1}}$
   • ${\displaystyle \mu :K[G]\otimes K[G]\to K[G]~{\text{by}}~\mu (g\otimes h)=\left\{{\begin{array}{cl}g\circ h&{\text{if target(h) = source(g)}}\\0&{\text{otherwise}}\end{array}}\right.}$
   • ${\displaystyle \eta :k\to K[G]~{\text{by}}~\eta (1)=\sum _{X\in G_{0}}\mathrm {id} _{X}}$
   • ${\displaystyle \Delta :K[G]\to K[G]\otimes K[G]~{\text{by}}~\Delta (g)=g\otimes g~{\text{for all}}~g\in G_{1}}$
   • ${\displaystyle \varepsilon :K[G]\to k~{\text{by}}~\varepsilon (g)=1~{\text{for all}}~g\in G_{1}}$
   • ${\displaystyle S:K[G]\to K[G]~{\text{by}}~S(g)=g^{-1}~{\text{for all}}~g\in G_{1}}$.

Обратите внимание, что этот второй пример представляет собой слабую алгебру Хопфа, но не алгебру Хопфа .

Теория представления

Пусть H — полупростая конечная слабая алгебра Хопфа, тогда модули над H образуют полупростую жесткую моноидальную категорию с конечным числом простых объектов. Более того, пространства гомоморфизмов являются конечномерными векторными пространствами, а пространства эндоморфизмов простых объектов одномерны. Наконец, моноидальная единица является простым объектом. Такая категория называется категорией слияния .

Можно показать, что некоторые моноидальные категории не являются модулями над алгеброй Хопфа. В случае категорий слияния (которые являются просто моноидальными категориями с дополнительными условиями) Этингоф, Никшич и Острик доказали, что любая категория слияния эквивалентна категории модулей над слабой алгеброй Хопфа.

Примечания

1. Бём, Нилл, Шлачани. п. 387
2. Этингоф, Никшич и Острик, кор. 2.22

Ссылки

• Бём, Габриэлла; Нилл, Флориан; Шлахани, Корнель (1999). "Слабые алгебры Хопфа. I. Интегральная теория и C ∗ {\displaystyle C^{*}} -структура". Журнал алгебры . 221 (2): 385–438. doi : 10.1006/jabr.1999.7984 .

• Этингоф, Павел; Никшич, Дмитрий; Острик, Виктор (2005). «О категориях слияния». Анналы математики . Вторая серия. 162 (2): 581–642. arXiv : math/0203060 . doi :10.4007/annals.2005.162.581. S2CID  8343055.

• Караали, Гизем (2008). «Об алгебрах Хопфа и их обобщениях». Связь в алгебре . 36 (12): 4341–4367. arXiv : math/0703441 . дои : 10.1080/00927870802182424. S2CID  15804235.