Моноидальная категория

Категория, допускающая тензорные произведения

В математике моноидальная категория ( или тензорная категория ) — это категория, снабженная бифунктором . ${\displaystyle \mathbf {C} }$

${\displaystyle \otimes :\mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$

, который ассоциативен с точностью до естественного изоморфизма , и объект I , который является как левой, так и правой идентичностью для ⊗, снова с точностью до естественного изоморфизма. Связанные естественные изоморфизмы подчиняются определенным условиям когерентности , которые гарантируют, что все соответствующие диаграммы коммутируют .

Обычное тензорное произведение превращает векторные пространства , абелевы группы , R -модули или R -алгебры в моноидальные категории. Моноидальные категории можно рассматривать как обобщение этих и других примеров. Каждая ( малая ) моноидальная категория может также рассматриваться как « категоризация » базового моноида , а именно моноида, элементы которого являются классами изоморфизма объектов категории, а бинарная операция задается тензорным произведением категории.

Совсем другое применение, для которого моноидальные категории можно считать абстракцией, — это система типов данных , закрытая относительно конструктора типа , который берет два типа и строит агрегатный тип. Типы служат объектами, а ⊗ — конструктором агрегата. Ассоциативность с точностью до изоморфизма — это тогда способ выражения того, что различные способы агрегирования одних и тех же данных, такие как и , хранят одну и ту же информацию, даже если агрегатные значения не обязательно должны быть одинаковыми. Агрегатный тип может быть аналогичен операции сложения (тип sum) или умножения (тип product). Для типа product объектом идентичности является unit , поэтому существует только один житель типа, и поэтому произведение с ним всегда изоморфно другому операнду. Для типа sum объектом идентичности является тип void , который не хранит никакой информации, и невозможно обратиться к жильцам. Концепция моноидальной категории не предполагает, что значения таких агрегатных типов могут быть разобраны; Напротив, она обеспечивает основу, объединяющую классическую и квантовую теорию информации. ^[1] ${\displaystyle ((a,b),c)}$ ${\displaystyle (a,(b,c))}$ ${\displaystyle ()}$

В теории категорий моноидальные категории могут использоваться для определения понятия моноидного объекта и связанного с ним действия над объектами категории. Они также используются при определении обогащенной категории .

Моноидальные категории имеют многочисленные приложения за пределами собственно теории категорий. Они используются для определения моделей для мультипликативного фрагмента интуиционистской линейной логики . Они также формируют математическую основу топологического порядка в физике конденсированного состояния . Сплетенные моноидальные категории имеют приложения в квантовой информации , квантовой теории поля и теории струн .

Формальное определение

Моноидальная категория — это категория, снабженная моноидальной структурой. Моноидальная структура состоит из следующего: ${\displaystyle \mathbf {C} }$

• бифунктор , называемый моноидальным произведением , ^[2] или тензорным произведением , ${\displaystyle \otimes \colon \mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$
• объект, называемый моноидальной единицей , ^[2] единичный объект или тождественный объект , ${\displaystyle I}$
• три естественных изоморфизма, подчиненных определенным условиям когерентности, выражающим тот факт, что тензорная операция:
  • ассоциативен: существует естественный (в каждом из трех аргументов , , ) изоморфизм , называемый ассоциатором , с компонентами , ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha _{A,B,C}\colon A\otimes (B\otimes C)\cong (A\otimes B)\otimes C}$
  • имеет как левую, так и правую тождественность: существуют два естественных изоморфизма и , называемые соответственно левым и правым унитором , с компонентами и . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \lambda _{A}\colon I\otimes A\cong A}$ ${\displaystyle \rho _{A}\colon A\otimes I\cong A}$

Обратите внимание, что хороший способ запомнить, как и действуют, — это аллитерация: Лямбда , , отменяет тождество слева , тогда как Ро , , отменяет тождество справа . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \rho }$

Условия когерентности этих естественных преобразований следующие:

• для всех , , и в , пятиугольная диаграмма ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Это одна из основных диаграмм, используемых для определения моноидальной категории; возможно, самая важная.

ездит на работу ;

• для всех и в , треугольная диаграмма ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Это одна из диаграмм, используемых в определении моноидальной категории. Она рассматривает случай, когда есть экземпляр тождества между двумя объектами.

ездит на работу.

Строгая моноидальная категория — это категория, для которой естественные изоморфизмы α , λ и ρ являются тождествами. Каждая моноидальная категория моноидально эквивалентна строгой моноидальной категории.

Примеры

• Любая категория с конечными произведениями может рассматриваться как моноидальная с произведением как моноидальным произведением и конечным объектом как единицей. Такая категория иногда называется декартовой моноидальной категорией . Например:
  • Множество — категория множеств , единицей которых является декартово произведение, причем единицей служит любое конкретное одноэлементное множество.
  • Cat , категория малых категорий с категорией продукта , где категория с одним объектом и только его идентификационной картой является единицей.
• Дуально, любая категория с конечными копроизведениями является моноидальной с копроизведением как моноидальным произведением и исходным объектом как единицей. Такая моноидальная категория называется кокартовой моноидальной
• R -Mod , категория модулей над коммутативным кольцом R , является моноидальной категорией с тензорным произведением модулей ⊗ _{R ,} служащим моноидальным произведением, и кольцом R (рассматриваемым как модуль над собой) служащим единицей. В качестве особых случаев имеются:
  • K -Vect , категория векторных пространств над полем K , в которой одномерное векторное пространство K служит единицей.
  • Ab — категория абелевых групп , единицей которой служит группа целых чисел Z.
• Для любого коммутативного кольца R категория R -алгебр моноидальна с тензорным произведением алгебр в качестве произведения и R в качестве единицы.
• Категория точечных пространств (ограниченная, например, компактно порожденными пространствами ) является моноидальной, причем произведением служит смэш- произведение, а единицей служит точечная 0-сфера (двухточечное дискретное пространство).
• Категория всех эндофункторов в категории C является строго моноидальной категорией с композицией функторов в качестве произведения и тождественным функтором в качестве единицы.
• Так же, как для любой категории E полная подкатегория, охватываемая любым заданным объектом, является моноидом, так же и для любой 2-категории E и любого объекта C в Ob( E ), полная 2-подкатегория E , охватываемая { C }, является моноидальной категорией. В случае E = Cat мы получаем пример эндофункторов выше.
• Ограниченные сверху полурешетки встреч являются строго симметричными моноидальными категориями : произведением является встреча, а единица является верхним элементом.
• Любой обычный моноид является малой моноидальной категорией с множеством объектов , только тождествами для морфизмов , как тензорное произведение и как его тождественный объект. Наоборот, множество классов изоморфизма (если такое имеет смысл) моноидальной категории является моноидом относительно тензорного произведения. ${\displaystyle (M,\cdot ,1)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle 1}$
• Любой коммутативный моноид может быть реализован как моноидальная категория с одним объектом. Напомним, что категория с одним объектом — это то же самое, что и обычный моноид. Согласно аргументу Экмана-Хилтона , добавление другого моноидального произведения требует, чтобы произведение было коммутативным. ${\displaystyle (M,\cdot ,1)}$ ${\displaystyle M}$

Свойства и связанные с ними понятия

Из трех определяющих условий когерентности следует, что большой класс диаграмм (т. е. диаграмм, морфизмы которых построены с использованием , , , тождеств и тензорного произведения) коммутируют: это « теорема когерентности » Маклейна . Иногда неточно утверждают, что все такие диаграммы коммутируют. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \rho }$

Существует общее понятие моноидного объекта в моноидальной категории, которое обобщает обычное понятие моноида из абстрактной алгебры . Обычные моноиды — это в точности моноидные объекты в декартовой моноидальной категории Set . Кроме того, любая (малая) строгая моноидальная категория может рассматриваться как моноидный объект в категории категорий Cat (оснащенный моноидальной структурой, индуцированной декартовым произведением).

Моноидальные функторы — это функторы между моноидальными категориями, которые сохраняют тензорное произведение, а моноидальные естественные преобразования — это естественные преобразования между теми функторами, которые «совместимы» с тензорным произведением.

Каждую моноидальную категорию можно рассматривать как категорию B (∗, ∗) бикатегории B с единственным объектом, обозначаемым ∗.

Концепция категории C, обогащенная моноидальной категорией M, заменяет понятие множества морфизмов между парами объектов в C понятием M -объекта морфизмов между любыми двумя объектами в C.

Свободная строгая моноидальная категория

Для каждой категории C свободную строгую моноидальную категорию Σ( C ) можно построить следующим образом:

• его объектами являются списки (конечные последовательности) A ₁ , ..., A _n объектов C ;
• стрелки между двумя объектами A ₁ , ..., A _m и B ₁ , ..., B _n существуют только если m = n , и тогда стрелки являются списками (конечными последовательностями) стрелок f 1 _: A 1 _→ B 1 _, ..., f _n : An _→ B _n из C ;
• тензорное произведение двух объектов A ₁ , ..., A _n и B ₁ , ..., B _m является конкатенацией A ₁ , ..., A _n , B ₁ , ..., B _m двух списков, и, аналогично, тензорное произведение двух морфизмов задается конкатенацией списков. Идентичным объектом является пустой список.

Эту операцию Σ, отображающую категорию C в Σ( C ), можно расширить до строгой 2- монады на Cat .

Специализации

• Если в моноидальной категории и естественно изоморфны способом, совместимым с условиями когерентности, мы говорим о сплетенной моноидальной категории . Если, кроме того, этот естественный изоморфизм является своим собственным обратным, мы имеем симметричную моноидальную категорию . ${\displaystyle A\otimes B}$ ${\displaystyle B\otimes A}$
• Замкнутая моноидальная категория — это моноидальная категория, в которой функтор имеет правый сопряженный , который называется «внутренним Hom-функтором» . Примерами служат декартово замкнутые категории, такие как Set , категория множеств, и компактные замкнутые категории , такие как FdVect , категория конечномерных векторных пространств. ${\displaystyle X\mapsto X\otimes A}$ ${\displaystyle X\mapsto \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(A,X)}$
• Автономные категории (или компактные замкнутые категории , или жесткие категории ) — это моноидальные категории, в которых существуют двойственные категории с хорошими свойствами; они абстрагируют идею FdVect .
• Кинжальные симметричные моноидальные категории , снабженные дополнительным функтором кинжала, абстрагирующие идею FdHilb , конечномерных гильбертовых пространств. К ним относятся кинжальные компактные категории .
• Таннакиановские категории — это моноидальные категории, обогащенные над полем, которые очень похожи на категории представлений линейных алгебраических групп .

Предварительно упорядоченные моноиды

Предупорядоченный моноид — это моноидальная категория , в которой для каждых двух объектов существует не более одного морфизма в C . В контексте предпорядков морфизм иногда обозначается . Свойства рефлексивности и транзитивности порядка, определенные в традиционном смысле, включены в категориальную структуру посредством тождественного морфизма и формулы композиции в C , соответственно. Если и , то объекты изоморфны , что обозначается . ${\displaystyle c,c'\in \mathrm {Ob} (\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle c\to c'}$ ${\displaystyle c\to c'}$ ${\displaystyle c\leq c'}$ ${\displaystyle c\leq c'}$ ${\displaystyle c'\leq c}$ ${\displaystyle c,c'}$ ${\displaystyle c\cong c'}$

Введение моноидальной структуры в предпорядок C включает построение

• объект , называемый моноидальной единицей , и ${\displaystyle I\in \mathbf {C} }$
• функтор , обозначаемый как " ", называемый моноидальным умножением . ${\displaystyle \mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \;\cdot \;}$

${\displaystyle I}$и должны быть унитарными и ассоциативными с точностью до изоморфизма, что означает: ${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle (c_{1}\cdot c_{2})\cdot c_{3}\cong c_{1}\cdot (c_{2}\cdot c_{3})}$и . ${\displaystyle I\cdot c\cong c\cong c\cdot I}$

Так как · — функтор,

если и тогда . ${\displaystyle c_{1}\to c_{1}'}$ ${\displaystyle c_{2}\to c_{2}'}$ ${\displaystyle (c_{1}\cdot c_{2})\to (c_{1}'\cdot c_{2}')}$

Другие условия когерентности моноидальных категорий выполняются посредством структуры предпорядка, поскольку каждая диаграмма коммутирует в предпорядке.

Натуральные числа являются примером моноидального предпорядка: наличие как моноидной структуры (с использованием + и 0), так и структуры предпорядка (с использованием ≤) образует моноидальный предпорядок, поскольку и подразумевает . ${\displaystyle m\leq n}$ ${\displaystyle m'\leq n'}$ ${\displaystyle m+m'\leq n+n'}$

Свободный моноид на некотором порождающем множестве создает моноидальный предпорядок, создавая полусистему Туэ .

Смотрите также

• Математический портал

• Скелет (теория категорий)
• Сферическая категория
• Моноидальное действие категории

Ссылки

1. Baez, John ; Stay, Mike (2011). "Физика, топология, логика и вычисления: Розеттский камень" (PDF) . В Coecke, Bob (ред.). Новые структуры для физики . Lecture Notes in Physics. Vol. 813. Springer. pp. 95–172. arXiv : 0903.0340 . CiteSeerX  10.1.1.296.1044 . doi :10.1007/978-3-642-12821-9_2. ISBN 978-3-642-12821-9. ISSN  0075-8450. S2CID  115169297. Збл  1218.81008.
2. Фонг, Брендан; Спивак, Дэвид И. (2018-10-12). «Семь набросков композиционности: приглашение к прикладной теории категорий». arXiv : 1803.05316 [math.CT].

• Джоял, Андре ; Стрит, Росс (1993). "Сплетенные тензорные категории" (PDF) . Успехи в математике . 102 (1): 20–78. doi : 10.1006/aima.1993.1055 .
• Джойал, Андре; Стрит, Росс (1988). «Планарные диаграммы и тензорная алгебра» (PDF) .
• Келли, Г. Макс (1964). «Об условиях Маклейна для согласованности естественных ассоциативностей, коммутативностей и т. д.». Журнал алгебры . 1 (4): 397–402. doi : 10.1016/0021-8693(64)90018-3 .
• Келли, GM (1982). Основные понятия обогащенной теории категорий (PDF) . Серия заметок лекций Лондонского математического общества. Том 64. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-28702-9. OCLC  1015056596. Збл  0478.18005.
• Mac Lane, Saunders (1963). «Естественная ассоциативность и коммутативность». Исследования университета Райса . 49 (4): 28–46. CiteSeerX  10.1.1.953.2731 . hdl :1911/62865.
• Mac Lane, Saunders (1998). Категории для работающих математиков . Graduate Texts in Mathematics. Том 5 (2-е изд.). Springer. ISBN 0-387-98403-8. Збл  0906.18001.
• Перроне, Паоло (2024). "Глава 6. Моноидальные категории". Начало теории категорий . World Scientific. doi :10.1142/9789811286018_0005. ISBN 978-981-12-8600-1.
• Selinger, P. (2010). "Обзор графических языков для моноидальных категорий". Новые структуры для физики . Конспект лекций по физике. Том 813. С. 289–355. arXiv : 0908.3347 . doi :10.1007/978-3-642-12821-9_4. ISBN 978-3-642-12820-2.
• Моноидальная категория в n Lab

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с категорией «Моноидальный» на Wikimedia Commons