Продукт (теория категорий)

Обобщенный объект в теории категорий

В теории категорий произведение двух (или более) объектов в категории — это понятие, призванное уловить суть конструкций в других областях математики , таких как декартово произведение множеств , прямое произведение групп или колец и произведение топологических пространств . По сути, продукт семейства объектов — это «наиболее общий» объект, допускающий морфизм к каждому из данных объектов.

Определение

Произведение двух объектов

Зафиксируйте категорию. Пусть и будут объектами. Продукт и - это объект, который обычно обозначается как оснащенный парой морфизмов, удовлетворяющих следующему универсальному свойству : ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X_{1}\times X_{2},}$ ${\displaystyle \pi _{1}:X\to X_{1},}$ ${\displaystyle \pi _{2}:X\to X_{2}}$

• Для каждого объекта и каждой пары морфизмов существует единственный морфизм, такой, что следующая диаграмма коммутирует : ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{1}:Y\to X_{1},}$ ${\displaystyle f_{2}:Y\to X_{2},}$ ${\displaystyle f:Y\to X_{1}\times X_{2}}$

  

  Универсальное свойство продукта

Существование продукта может зависеть от или от и Если он существует, то он уникален с точностью до канонического изоморфизма из-за универсального свойства, поэтому можно говорить о продукте . Это имеет следующий смысл: если – другое произведение, то существует единственный изоморфизм такой, что и . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}.}$ ${\displaystyle X',\pi _{1}',\pi _{2}'}$ ${\displaystyle h:X'\to X_{1}\times X_{2}}$ ${\displaystyle \pi _{1}'=\pi _{1}\circ h}$ ${\displaystyle \pi _{2}'=\pi _{2}\circ h}$

Морфизмы и называются каноническими проекциями или морфизмами проекций ; буква аллитерирует проекцию. Данный и единственный морфизм называется произведением морфизмов и обозначается ${\displaystyle \pi _{1}}$ ${\displaystyle \pi _{2}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{1},}$ ${\displaystyle f_{2},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle \langle f_{1},f_{2}\rangle .}$

Продукт произвольного семейства

Вместо двух объектов мы можем начать с произвольного семейства объектов, индексированного набором ${\displaystyle I.}$

Учитывая семейство объектов, продуктом семейства является объект, оснащенный морфизмами, удовлетворяющими следующему универсальному свойству: ${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{i}:X\to X_{i},}$

• Для каждого объекта и каждого -индексированного семейства морфизмов существует единственный морфизм такой, что следующие диаграммы коммутируют для всех ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f_{i}:Y\to X_{i},}$ ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle i\in I:}$

  

  Универсальный продукт продукта

Произведение обозначается If, то оно обозначается , а произведение морфизмов обозначается ${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}.}$ ${\displaystyle I=\{1,\ldots ,n\},}$ ${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}}$ ${\displaystyle \langle f_{1},\ldots ,f_{n}\rangle .}$

Уравненное определение

Альтернативно, продукт может быть определен с помощью уравнений. Так, например, для бинарного продукта:

• Существование гарантируется существованием операции ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle .}$
• Коммутативность приведенных выше диаграмм гарантируется равенством: для всех и всех ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$ ${\displaystyle i\in \{1,2\},}$ ${\displaystyle \pi _{i}\circ \left\langle f_{1},f_{2}\right\rangle =f_{i}}$
• Единственность гарантируется равенством: для всех ^[1] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g:Y\to X_{1}\times X_{2},}$ ${\displaystyle \left\langle \pi _{1}\circ g,\pi _{2}\circ g\right\rangle =g.}$

В качестве ограничения

Произведение представляет собой частный случай предела . В этом можно убедиться, используя дискретную категорию (семейство объектов без каких-либо морфизмов, кроме их тождественных морфизмов) в качестве диаграммы , необходимой для определения предела. Дискретные объекты будут служить индексом компонентов и проекций. Если рассматривать эту диаграмму как функтор, то это функтор из индексного множества, рассматриваемого как дискретная категория. Тогда определение произведения совпадает с определением предела: оно является конусом , а проекции являются пределом (предельным конусом). ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \{f\}_{i}}$

Универсальная собственность

Как предел является частным случаем универсальной конструкции , так и произведение. Начиная с определения универсального свойства пределов , возьмем в качестве дискретной категории с двумя объектами, так что это просто категория продукта. Диагональный функтор присваивает каждому объекту упорядоченную пару , а каждому морфизму - пару. Продукт в задается выражением универсальный морфизм функтора в объект в . Этот универсальный морфизм состоит из объекта и морфизма , содержащего проекции. ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} ^{\mathbf {J} }}$ ${\displaystyle \mathbf {C} \times \mathbf {C} .}$ ${\displaystyle \Delta :\mathbf {C} \to \mathbf {C} \times \mathbf {C} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,X)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (f,f).}$ ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \left(X_{1},X_{2}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {C} \times \mathbf {C} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (X,X)\to \left(X_{1},X_{2}\right)}$

Примеры

В категории множеств продукт (в теоретическом смысле категорий) является декартовым произведением. Для данного семейства множеств продукт определяется как ${\displaystyle X_{i}}$

$${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}:=\left\{\left(x_{i}\right)_{i\in I}:x_{i}\in X_{i}{\text{ for all }}i\in I\right\}}$$

$${\displaystyle \pi _{j}:\prod _{i\in I}X_{i}\to X_{j},\quad \pi _{j}\left(\left(x_{i}\right)_{i\in I}\right):=x_{j}.}$$

${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{i}:Y\to X_{i},}$ ${\displaystyle f:Y\to \prod _{i\in I}X_{i}}$ ${\displaystyle f(y):=\left(f_{i}(y)\right)_{i\in I}.}$

Другие примеры:

• В категории топологических пространств продуктом является пространство, базовым множеством которого является декартово произведение и которое несет в себе топологию произведения . Топология произведения — это самая грубая топология , для которой все проекции непрерывны .
• В категории модулей над некоторым кольцом произведением является декартово произведение с покомпонентным сложением и дистрибутивным умножением. ${\displaystyle R,}$
• В категории групп продукт является прямым произведением групп , заданных декартовым произведением с умножением, определенным покомпонентно.
• В категории графов продуктом является тензорное произведение графов .
• В категории отношений продукт дается непересекающимся объединением . (Это может показаться некоторым сюрпризом, учитывая, что категория множеств является подкатегорией категории отношений.)
• В категории алгебраических многообразий произведение задается вложением Сегре .
• В категории полуабелевых моноидов произведение задаётся историческим моноидом .
• В категории банаховых пространств и коротких отображений произведение имеет норму l ∞ . ^[2]
• Частично упорядоченное множество можно рассматривать как категорию, используя отношение порядка в качестве морфизмов. В этом случае продукты и сопутствующие продукты соответствуют наибольшим нижним границам ( встречается ) и наименьшим верхним границам ( объединениям ).

Обсуждение

Пример, в котором произведения не существует: В категории полей произведения не существует, так как не существует поля с гомоморфизмами как к так и к ${\displaystyle \mathbb {Q} \times F_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle F_{p}.}$

Другой пример: Пустой продукт (то есть пустое множество ) — то же самое, что терминальный объект , а некоторые категории, такие как категория бесконечных групп, не имеют терминального объекта: для любой бесконечной группы существует бесконечно много морфизмы , поэтому не могут быть терминальными. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \to G,}$ ${\displaystyle G}$

Если это набор, в котором существуют все продукты для семейств, индексированных с, то каждый продукт можно рассматривать как функтор ^[3] . Как этот функтор отображает объекты, очевидно. Отображение морфизмов является тонким, потому что произведение морфизмов, определенных выше, не подходит. Сначала рассмотрим функтор двоичного произведения, который является бифунктором . Ибо нам надо найти морфизм. Мы выбираем. Эта операция над морфизмами называется декартовым произведением морфизмов . ^[4] Во-вторых, рассмотрим общий функтор произведения. Для семейств надо найти морфизм. Выбираем произведение морфизмов ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbf {C} ^{I}\to \mathbf {C} .}$ ${\displaystyle f_{1}:X_{1}\to Y_{1},f_{2}:X_{2}\to Y_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}\to Y_{1}\times Y_{2}.}$ ${\displaystyle \left\langle f_{1}\circ \pi _{1},f_{2}\circ \pi _{2}\right\rangle .}$ ${\displaystyle \left\{X\right\}_{i},\left\{Y\right\}_{i},f_{i}:X_{i}\to Y_{i}}$ ${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}\to \prod _{i\in I}Y_{i}.}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}\circ \pi _{i}\right\}_{i}.}$

Категорию, в которой каждое конечное множество объектов имеет произведение, иногда называют декартовой категорией ^[4] (хотя некоторые авторы используют эту фразу для обозначения «категории со всеми конечными пределами»).

Продукт ассоциативен . Предположим , что это декартова категория, функторы произведения выбраны, как указано выше, и обозначает терминальный объект. Тогда у нас есть естественные изоморфизмы. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle C.}$

$${\displaystyle X\times (Y\times Z)\simeq (X\times Y)\times Z\simeq X\times Y\times Z,}$$

$${\displaystyle X\times 1\simeq 1\times X\simeq X,}$$

$${\displaystyle X\times Y\simeq Y\times X.}$$

моноидасимметричной моноидальной категории

Дистрибутивность

Для любых объектов категории с конечными произведениями и копроизведениями существует канонический морфизм , где знак плюс здесь обозначает копроизведение . Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что универсальное свойство копроизведения гарантирует существование уникальных стрелок, заполняющих следующую диаграмму (индуцированные стрелки пунктирны): ${\displaystyle X,Y,{\text{ and }}Z}$ ${\displaystyle X\times Y+X\times Z\to X\times (Y+Z),}$ ${\displaystyle X\times Y+X\times Z}$

Тогда универсальное свойство произведения гарантирует уникальный морфизм , индуцированный пунктирными стрелками на диаграмме выше. Дистрибутивной категорией называется категория, в которой этот морфизм на самом деле является изоморфизмом. Таким образом, в дистрибутивной категории существует канонический изоморфизм ${\displaystyle X\times (Y+Z)}$ ${\displaystyle X\times Y+X\times Z\to X\times (Y+Z)}$

$${\displaystyle X\times (Y+Z)\simeq (X\times Y)+(X\times Z).}$$

Смотрите также

• Копродукт  – двойник продукта
• Диагональный функтор  – левый сопряженный функтору произведения.
• Предел и копределы  - математическая концепция
• Эквалайзер  — набор аргументов, в которых две или более функции имеют одинаковое значение.
• Обратный предел  - конструкция в теории категорий
• Декартова замкнутая категория  - Тип категории в теории категорий.
• Категорический возврат  - наиболее общее пополнение коммутативного квадрата с учетом двух морфизмов с одной и той же кодовой областью.Pages displaying short descriptions of redirect targets

Рекомендации

1. Ламбек Дж., Скотт П.Дж. (1988). Введение в категориальную логику высшего порядка . Издательство Кембриджского университета. п. 304.
2. Цяочу Юань (23 июня 2012 г.). «Банаховые пространства (и метрики Ловера, и закрытые категории)». Раздражающая точность .
3. Лейн, С. Мак (1988). Категории для работающего математика (1-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 37. ИСБН 0-387-90035-7.
4. Майкл Барр, Чарльз Уэллс (1999). Теория категорий – Конспекты лекций для ESSLLI. п. 62. Архивировано из оригинала 13 апреля 2011 г.

• Адамек, Иржи; Хорст Херрлих; Джордж Э. Стрекер (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF) . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-60922-6.
• Барр, Майкл; Чарльз Уэллс (1999). Теория категорий для информатики (PDF) . Les Publications CRM Montreal (публикация PM023). Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г. Проверено 21 марта 2016 г.Глава 5.
• Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике 5 (2-е изд.). Спрингер. ISBN 0-387-98403-8.
• Определение 2.1.1 в Борсе, Фрэнсис (1994). Справочник по категориальной алгебре . Энциклопедия математики и ее приложений 50–51, 53 [т.е. 52]. Том. 1. Издательство Кембриджского университета. п. 39. ИСБН 0-521-44178-1.

Внешние ссылки

• Интерактивная веб-страница, генерирующая примеры продуктов из категории конечных множеств. Автор Джоселин Пейн.
• Продукт в n Lab