В алгебраической геометрии неприводимое алгебраическое множество или неприводимое многообразие — это алгебраическое множество , которое нельзя записать как объединение двух собственных алгебраических подмножеств. Неприводимая компонента алгебраического множества — это алгебраическое подмножество, неприводимое и максимальное (по включению множества ) по этому свойству. Например, множество решений уравнения xy = 0 не является неприводимым, а его неприводимыми компонентами являются две строки уравнений x = 0 и y = 0 .
Фундаментальная теорема классической алгебраической геометрии состоит в том, что каждое алгебраическое множество можно единственным образом записать как конечное объединение неприводимых компонентов.
Эти концепции можно переформулировать в чисто топологических терминах, используя топологию Зарисского , для которой замкнутые множества являются алгебраическими подмножествами: топологическое пространство является неприводимым, если оно не является объединением двух собственных замкнутых подмножеств, а неприводимая компонента является максимальным подпространством. (необходимо замкнутой), неприводимой для индуцированной топологии . Хотя эти концепции можно рассматривать для каждого топологического пространства, это редко делается за пределами алгебраической геометрии, поскольку наиболее распространенными топологическими пространствами являются пространства Хаусдорфа , а в хаусдорфовом пространстве неприводимые компоненты являются одиночными элементами .
Топологическое пространство X является приводимым , если его можно записать как объединение двух замкнутых собственных подмножеств . Топологическое пространство неприводимо (или гиперсвязно ), если оно неприводимо. Эквивалентно, X неприводимо , если все непустые открытые подмножества X плотны или если любые два непустых открытых множества имеют непустое пересечение .
Подмножество F топологического пространства X называется неприводимым или приводимым, если F, рассматриваемое как топологическое пространство через топологию подпространства, обладает соответствующим свойством в указанном выше смысле. То есть, является приводимым, если его можно записать как объединение, где есть замкнутые подмножества , ни одно из которых не содержит
Неприводимая компонента топологического пространства — это максимальное неприводимое подмножество. Если подмножество неприводимо, его замыкание также неприводимо, поэтому неприводимые компоненты замкнуты.
Каждое неприводимое подмножество пространства X содержится в (не обязательно единственной) неприводимой компоненте X . [1] Каждая точка содержится в некоторой неприводимой компоненте X .
Пустое топологическое пространство безоговорочно удовлетворяет приведенному выше определению неприводимого (поскольку оно не имеет собственных подмножеств). Однако некоторые авторы, особенно те, кто интересуется приложениями к алгебраической топологии , явно исключают пустое множество из числа неприводимых. Эта статья не будет следовать этому соглашению.
Каждое аффинное или проективное алгебраическое множество определяется как множество нулей идеала в кольце полиномов . Неприводимое алгебраическое множество , более известное как алгебраическое многообразие, — это алгебраическое множество, которое нельзя разложить как объединение двух меньших алгебраических множеств. Из теоремы Ласкера–Нётер следует, что каждое алгебраическое множество представляет собой объединение конечного числа однозначно определенных алгебраических множеств, называемых его неприводимыми компонентами . Эти понятия неприводимости и неприводимых компонент являются в точности определенными выше при рассмотрении топологии Зарисского , поскольку алгебраические множества являются в точности замкнутыми множествами этой топологии.
Спектр кольца — это топологическое пространство, точки которого — простые идеалы , а замкнутые множества — множества всех простых идеалов, содержащих фиксированный идеал. Для этой топологии замкнутое множество является неприводимым, если оно представляет собой множество всех простых идеалов, содержащих некоторый простой идеал, а неприводимые компоненты соответствуют минимальным простым идеалам . В случае нетерова кольца число неприводимых компонент конечно .
Схема получается склейкой спектров колец так же, как многообразие получается склейкой карт . Таким образом, определение неприводимости и неприводимых компонент непосредственно распространяется и на схемы.
В хаусдорфовом пространстве неприводимые подмножества и неприводимые компоненты являются одиночными . В частности, это касается действительных чисел . Фактически, если X — это набор действительных чисел, который не является одноэлементным, существуют три действительных числа такие, что x ∈ X , y ∈ X и x < a < y . Множество X не может быть неприводимым, поскольку
Понятие неприводимой компоненты является фундаментальным в алгебраической геометрии и редко рассматривается за пределами этой области математики: рассмотрим алгебраическое подмножество плоскости.
Для топологии Зариского ее закрытыми подмножествами являются само пустое множество, одиночные элементы и две линии, определяемые x = 0 и y = 0 . Таким образом , множество X приводимо, причем эти две прямые являются неприводимыми компонентами.
Спектр коммутативного кольца — это множество простых идеалов кольца, наделенное топологией Зарисского , для которого множество простых идеалов замкнуто тогда и только тогда, когда оно является множеством всех простых идеалов, содержащих фиксированный идеал . В этом случае неприводимое подмножество — это множество всех простых идеалов, содержащих фиксированный простой идеал.
Эта статья включает в себя материалы из сайта «Reducible» с сайта PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons «Attribution/Share-Alike» . В эту статью включены материалы из компонента Irreducible на PlanetMath , который распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
![{\displaystyle X=(X\cap \,]{-\infty },a])\cup (X\cap [a,\infty [).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e30706a94ed5572f03c881c670730a29278b93c)