Кольцевое пространство

Сноп колец по математике

В математике кольцевое пространство — это семейство ( коммутативных ) колец, параметризованное открытыми подмножествами топологического пространства вместе с кольцевыми гомоморфизмами , играющими роль ограничений . Точнее, это топологическое пространство, снабженное пучком колец, называемым структурным пучком . Это абстракция понятия колец непрерывных (скалярнозначных) функций на открытых подмножествах.

Среди окольцованных пространств особенно важным и выдающимся является локально окольцованное пространство : окольцованное пространство, в котором справедлива аналогия между стеблем в точке и кольцом ростков функций в точке.

Кольцевые пространства появляются в анализе , а также в комплексной алгебраической геометрии и теории схем алгебраической геометрии .

Примечание . В определении кольцевого пространства большинство изложений склонны ограничивать кольца коммутативными кольцами , включая Хартшорн и Википедию. С другой стороны, «Элементы алгебраической геометрии» ^{не налагают предположения о коммутативности, хотя в книге в основном рассматривается коммутативный случай. [1]}

Определения

Кольцевое пространство — это топологическое пространство вместе с пучком колец на . Пучок называется структурным пучком . ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$

Локально окольцованное пространство — это окольцованное пространство , все слои которого являются локальными кольцами (т. е. имеют единственные максимальные идеалы ). Обратите внимание, что не обязательно , чтобы каждое открытое множество было локальным кольцом ; на самом деле это почти никогда не так. ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ ${\displaystyle U}$

Примеры

Произвольное топологическое пространство можно рассматривать как локально окольцованное пространство, если считать его пучком вещественнозначных (или комплекснозначных ) непрерывных функций на открытых подмножествах . Стебель в точке можно рассматривать как совокупность всех ростков непрерывных функций в точке ; это локальное кольцо с единственным максимальным идеалом, состоящим из тех ростков, значение которых при равно . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$

Если — многообразие с некоторой дополнительной структурой, мы также можем взять пучок дифференцируемых или голоморфных функций. Оба из них приводят к появлению локально окольцованных пространств. ${\displaystyle X}$

Если - алгебраическое многообразие , несущее топологию Зарисского , мы можем определить локально окольцованное пространство, взяв за него кольцо рациональных отображений , определенных на открытом по Зарисскому множестве , которые не раздуваются (становятся бесконечными) внутри . Важным обобщением этого примера является обобщение спектра любого коммутативного кольца; эти спектры также являются локально окольцованными пространствами. Схемы — это локально окольцованные пространства, полученные «склейкой» спектров коммутативных колец. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Морфизмы

Морфизм от до — это пара , где — непрерывное отображение между лежащими в основе топологическими пространствами, а также морфизм от структурного пучка к прямому образу структурного пучка X. Другими словами, морфизм от до задается следующими данными: ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$ ${\displaystyle (f,\varphi )}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$

• непрерывная карта ${\displaystyle f:X\to Y}$
• семейство кольцевых гомоморфизмов для каждого открытого множества , которое коммутирует с отображениями ограничения. То есть, если есть два открытых подмножества , то следующая диаграмма должна коммутировать (вертикальные отображения являются гомоморфизмами ограничения): ${\displaystyle \varphi _{V}:{\mathcal {O}}_{Y}(V)\to {\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(V))}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle V_{1}\subseteq V_{2}}$ ${\displaystyle Y}$

Существует дополнительное требование для морфизмов между локально окольцованными пространствами:

• кольцевые гомоморфизмы, индуцированные между слоями и слоями должны быть локальными гомоморфизмами , т.е. для каждого максимальный идеал локального кольца (стержня) в отображается в максимальный идеал локального кольца в . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(x)\in Y}$ ${\displaystyle x\in X}$

Два морфизма можно скомпоновать, образуя новый морфизм, и мы получаем категорию окольцованных пространств и категорию локально окольцованных пространств. Изоморфизмы в этих категориях определяются обычным образом.

Касательные пространства

Локально окольцованные пространства имеют достаточную структуру, чтобы можно было дать осмысленное определение касательных пространств . Пусть – локально окольцованное пространство со структурным пучком ; мы хотим определить касательное пространство в точке . Возьмем локальное кольцо (стебель) в точке с максимальным идеалом . Тогда — поле и — векторное пространство над этим полем ( кокасательное пространство ). Касательное пространство определяется как двойственное к этому векторному пространству. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle T_{x}(X)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle R_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$ ${\displaystyle k_{x}:=R_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}}$ ${\displaystyle T_{x}(X)}$

Идея следующая: касательный вектор at должен подсказать вам, как «дифференцировать» «функции» at , то есть элементы . Теперь достаточно уметь дифференцировать функции, значение которых при равно нулю, так как все остальные функции отличаются от этих только константой, а константы мы умеем дифференцировать. Так что нам остается только рассмотреть . Более того, если две функции заданы со значением ноль в точке , то их произведение имеет производную 0 в точке по правилу произведения . Таким образом, нам нужно только знать, как присваивать «числа» элементам , и это то, что делает двойственное пространство. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}}$

Модули над структурным пучком

Учитывая локально окольцованное пространство , в приложениях встречаются определенные пучки модулей , -модули. Чтобы определить их, рассмотрим пучок F абелевых групп на . Если F ( U ) — модуль над кольцом для любого открытого множества в и карты ограничений совместимы со структурой модуля, то мы называем -модулем . В этом случае стебель at будет модулем над локальным кольцом (стеблем) для каждого . ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R_{x}}$ ${\displaystyle x\in X}$

Морфизм между двумя такими -модулями — это морфизм пучков , совместимый с заданными модульными структурами. Категория -модулей над фиксированным локально окольцованным пространством является абелевой категорией . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Важной подкатегорией категории -модулей является категория квазикогерентных пучков на . Пучок -модулей называется квазикогерентным, если он локально изоморфен коядру отображения свободных -модулей. Когерентный пучок — это квазикогерентный пучок, который локально имеет конечный тип и для каждого открытого подмножества ядра любого морфизма от свободного -модуля конечного ранга до также имеет конечный тип. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$ ${\displaystyle F_{U}}$

Цитаты

1. Элементы алгебраической геометрии , Глава 0, 4.1.1.

Рекомендации

• Раздел 0.4 Гротендика, Александра ; Дьедонне, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык схем». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 4 . дои : 10.1007/bf02684778. МР  0217083.
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9, МР  0463157

Внешние ссылки

• Онищик А.Л. (2001) [1994], «Кольцевое пространство», Математическая энциклопедия , EMS Press