Первичное разложение

В алгебре выражение идеала как пересечение идеалов определенного типа.

В математике теорема Ласкера -Нётер утверждает, что каждое нётерово кольцо является кольцом Ласкера , что означает, что каждый идеал может быть разложен как пересечение, называемое первичным разложением , конечного числа первичных идеалов (которые связаны, но не совсем с тем же самым как, степени простых идеалов ). Теорема была впервые доказана Эмануэлем Ласкером  (1905 г.) для частного случая колец полиномов и колец сходящихся степенных рядов , а в полной общности доказана Эмми Нётер  (1921 г.).

Теорема Ласкера-Нётер является расширением фундаментальной теоремы арифметики и, в более общем плане, фундаментальной теоремы о конечно порожденных абелевых группах на все нётеровы кольца. Теорема играет важную роль в алгебраической геометрии , утверждая, что каждое алгебраическое множество может быть однозначно разложено на конечное объединение неприводимых компонентов .

Он имеет прямое расширение на модули , утверждая, что каждый подмодуль конечно порожденного модуля над нётеровым кольцом является конечным пересечением примарных подмодулей. Сюда относится случай колец как частный случай, когда кольцо рассматривается как модуль над самим собой, так что идеалы являются подмодулями. Это также обобщает первичную форму разложения структурной теоремы для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов , а для частного случая колец многочленов над полем обобщает разложение алгебраического множества в конечный союз (неприводимых) многообразий. .

Первый алгоритм вычисления примарных разложений колец полиномов над полем характеристики 0 ^{[примечание 1]} был опубликован ученицей Нётер Гретой Герман  (1926). ^{[1] [2]} Разложение, вообще говоря, не выполняется для некоммутативных нётеровых колец. Нётер привела пример некоммутативного нётерова кольца с правым идеалом, не являющимся пересечением первичных идеалов.

Первичное разложение идеала

Пусть – нётерово коммутативное кольцо. Идеал называется первичным , если он является собственным идеалом и для каждой пары элементов и в таких, что находится в , либо или некоторая степень находится в ; эквивалентно, каждый делитель нуля в частном нильпотентен. Радикал первичного идеала является первичным идеалом и называется -первичным для . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\sqrt {Q}}}$

Пусть – идеал в . Тогда имеет неизбыточное первичное разложение на первичные идеалы: ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle I=Q_{1}\cap \cdots \cap Q_{n}\ }$.

Нерезервирование означает:

• Удаление любых изменений пересечения, т.е. для каждого имеем: . ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \cap _{j\neq i}Q_{j}\not \subset Q_{i}}$
• Все основные идеалы различны. ${\displaystyle {\sqrt {Q_{i}}}}$

Более того, это разложение уникально в двух отношениях:

• Множество однозначно определяется , и ${\displaystyle \{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}}$ ${\displaystyle I}$
• Если является минимальным элементом указанного выше множества, то однозначно определяется ; по сути, это прообраз под картой локализации . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\sqrt {Q_{i}}}}$ ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle IR_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R\to R_{\mathfrak {p}}}$

Первичные идеалы, соответствующие неминимальным простым идеалам, как правило, не уникальны (см. пример ниже). Информацию о существовании разложения см. в разделе #Primary разложение из связанных простых чисел ниже. ${\displaystyle I}$

Элементы называются простыми делителями или простыми числами, принадлежащими . На языке теории модулей, как обсуждается ниже, множество также является множеством ассоциированных простых чисел -модуля . Явно это означает, что существуют такие элементы , что ${\displaystyle \{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{n}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\sqrt {Q_{i}}}=\{f\in R\mid fg_{i}\in I\}.}$^[3]

Для сокращения некоторые авторы называют ассоциированное простое число просто ассоциированным простым числом (обратите внимание, что такая практика будет противоречить использованию в теории модулей). ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle I}$

• Минимальные элементы такие же, как минимальные простые идеалы , содержащие и называются изолированными простыми числами . ${\displaystyle \{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}}$ ${\displaystyle I}$
• С другой стороны, неминимальные элементы называются встроенными простыми числами .

В случае кольца целых чисел теорема Ласкера–Нётер эквивалентна основной теореме арифметики . Если целое число имеет простую факторизацию , то первичное разложение идеала, порожденного in , равно ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=\pm p_{1}^{d_{1}}\cdots p_{r}^{d_{r}}}$ ${\displaystyle \langle n\rangle }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \langle n\rangle =\langle p_{1}^{d_{1}}\rangle \cap \cdots \cap \langle p_{r}^{d_{r}}\rangle .}$

Аналогично, в уникальной области факторизации , если элемент имеет простую факторизацию где единица , то первичное разложение главного идеала , порожденного ${\displaystyle f=up_{1}^{d_{1}}\cdots p_{r}^{d_{r}},}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \langle f\rangle =\langle p_{1}^{d_{1}}\rangle \cap \cdots \cap \langle p_{r}^{d_{r}}\rangle .}$

Примеры

Примеры раздела предназначены для иллюстрации некоторых свойств первичных разложений, которые могут показаться неожиданными или нелогичными. Все примеры являются идеалами в кольце многочленов над полем k .

Пересечение против продукта

Первичное разложение идеала ${\displaystyle k[x,y,z]}$ ${\displaystyle I=\langle x,yz\rangle }$

${\displaystyle I=\langle x,yz\rangle =\langle x,y\rangle \cap \langle x,z\rangle .}$

Из-за генератора первой степени I не является продуктом двух более крупных идеалов. Аналогичный пример приведен в двух неопределенных числах

${\displaystyle I=\langle x,y(y+1)\rangle =\langle x,y\rangle \cap \langle x,y+1\rangle .}$

Первичная и основная мощность

В идеале является первичный идеал, которому соответствует простое число. Это не мощность связанного с ним простого числа. ${\displaystyle k[x,y]}$ ${\displaystyle \langle x,y^{2}\rangle }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$

Неединственность и встроенное простое число

Для каждого положительного целого числа n первичное разложение идеала есть ${\displaystyle k[x,y]}$ ${\displaystyle I=\langle x^{2},xy\rangle }$

${\displaystyle I=\langle x^{2},xy\rangle =\langle x\rangle \cap \langle x^{2},xy,y^{n}\rangle .}$

Соответствующие простые числа

${\displaystyle \langle x\rangle \subset \langle x,y\rangle .}$

Пример: Пусть N  =  R  =  k [ x ,  y ] для некоторого поля k , и пусть M ^— идеал ( xy ,  y2 ). Тогда M имеет два различных минимальных примарных разложения M = ( y ) ∩ ( ^x , y2 ) = ( y ) ∩ ( x  +  y ,  y2 ⁾ . Минимальное простое число — ( y ), а встроенное простое число — ( x ,  y ).

Несвязанное простое число между двумя связанными простыми числами

В идеале имеет (неединственное) первичное разложение ${\displaystyle k[x,y,z],}$ ${\displaystyle I=\langle x^{2},xy,xz\rangle }$

${\displaystyle I=\langle x^{2},xy,xz\rangle =\langle x\rangle \cap \langle x^{2},y^{2},z^{2},xy,xz,yz\rangle .}$

Ассоциированные простые идеалы являются и являются несвязанными простыми идеалами, такими что ${\displaystyle \langle x\rangle \subset \langle x,y,z\rangle ,}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$

${\displaystyle \langle x\rangle \subset \langle x,y\rangle \subset \langle x,y,z\rangle .}$

Сложный пример

За исключением очень простых примеров, первичное разложение может быть трудно вычислить, и результат может быть очень сложным. Следующий пример был разработан для обеспечения такого сложного вывода и, тем не менее, доступен для рукописных вычислений.

Позволять

${\displaystyle {\begin{aligned}P&=a_{0}x^{m}+a_{1}x^{m-1}y+\cdots +a_{m}y^{m}\\Q&=b_{0}x^{n}+b_{1}x^{n-1}y+\cdots +b_{n}y^{n}\end{aligned}}}$

— два однородных многочлена от x , y , коэффициенты которых являются полиномами от других неопределенных над полем k . То есть P и Q принадлежат и именно в этом кольце ищется первичное разложение идеала . Для вычисления первичного разложения мы сначала предполагаем, что 1 — наибольший общий делитель P и Q. ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m},b_{0},\ldots ,b_{n}}$ ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{h}}$ ${\displaystyle R=k[x,y,z_{1},\ldots ,z_{h}],}$ ${\displaystyle I=\langle P,Q\rangle }$

Это условие означает, что I не имеет первичного компонента высоты один. Поскольку I порождается двумя элементами, это означает, что это полное пересечение (точнее, оно определяет алгебраическое множество , которое является полным пересечением), и, таким образом, все первичные компоненты имеют высоту два. Следовательно, ассоциированные простые числа I — это в точности простые идеалы высоты два, содержащие I.

Отсюда следует, что это ассоциированное простое число I . ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$

Пусть — однородный результирующий по x , y P и Q. _ Поскольку наибольший общий делитель P и Q является константой, результирующий D не равен нулю, а результирующая теория предполагает, что I содержит все произведения D на моном от x , y степени m + n – 1 . Поскольку все эти мономы принадлежат первичному компоненту, содержащемуся в Этот первичный компонент содержит P и Q , а поведение первичных разложений при локализации показывает, что этот первичный компонент есть ${\displaystyle D\in k[z_{1},\ldots ,z_{h}]}$ ${\displaystyle D\not \in \langle x,y\rangle ,}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle .}$

${\displaystyle \{t|\exists e,D^{e}t\in I\}.}$

Короче говоря, у нас есть первичный компонент с очень простым ассоциированным простым числом, так что все его порождающие наборы включают все неопределенные значения. ${\displaystyle \langle x,y\rangle ,}$

Другой первичный компонент содержит D. Можно доказать, что если P и Q достаточно общие (например, если коэффициенты P и Q являются различными неопределенными), то существует только еще один первичный компонент, который является простым идеалом и порождается P , Q и D .

Геометрическая интерпретация

В алгебраической геометрии аффинное алгебраическое множество V ( I ) определяется как множество общих нулей идеала I кольца полиномов . ${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}].}$

Неизбыточное первичное разложение

${\displaystyle I=Q_{1}\cap \cdots \cap Q_{r}}$

of I определяет разложение V ( I ) в объединение алгебраических множеств V ( Q _i ) , которые неприводимы, поскольку не являются объединением двух меньших алгебраических множеств.

Если – ассоциированное простое число , то и теорема Ласкера–Нётер показывает, что V ( I ) имеет единственное несократимое разложение на неприводимые алгебраические многообразия. ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle V(P_{i})=V(Q_{i}),}$

${\displaystyle V(I)=\bigcup V(P_{i}),}$

где объединение ограничено минимальными ассоциированными простыми числами. Эти минимальные ассоциированные простые числа являются основными компонентами радикала I. По этой причине первичное разложение радикала I иногда называют простым разложением I.

Компоненты первичного разложения (а также разложения алгебраического множества), соответствующие минимальным простым числам, называются изолированными , а остальные называются изолированными.встроенный .

Для разложения алгебраических многообразий интересны только минимальные простые числа, но в теории пересечений и, в более общем смысле, в теории схем , полное первичное разложение имеет геометрический смысл.

Первичное разложение по ассоциированным простым числам

В настоящее время принято проводить первичную декомпозицию идеалов и модулей в рамках теории ассоциированных простых чисел . В частности, этот подход используется во влиятельном учебнике Бурбаки «Коммутативная алгебра» .

Пусть R — кольцо, а M — модуль над ним. По определению, ассоциированное простое число — это простой идеал, который является аннулятором ненулевого элемента M ; то есть для некоторых (это подразумевает ). Эквивалентно, простой идеал является ассоциированным простым числом M , если существует вставка R -модулей . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} (m)}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle m\neq 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}\hookrightarrow M}$

Можно показать, что максимальный элемент множества аннуляторов ненулевых элементов M является простым идеалом, и, таким образом, когда R - нётерово кольцо, существует ассоциированное простое число M тогда и только тогда, когда M не равно нулю.

Множество ассоциированных простых чисел M обозначается или . Непосредственно из определения ${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ass} (M)}$

• Если , то . ${\displaystyle M=\bigoplus _{i}M_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ass} (M)=\bigcup _{i}\operatorname {Ass} (M_{i})}$
• Для точной последовательности . ^[4] ${\displaystyle 0\to N\to M\to L\to 0}$ ${\displaystyle \operatorname {Ass} (N)\subset \operatorname {Ass} (M)\subset \operatorname {Ass} (N)\cup \operatorname {Ass} (L)}$
• Если R — нётерово кольцо, то где относится к опоре . ^[5] Кроме того, набор минимальных элементов такой же, как набор минимальных элементов . ^[5] ${\displaystyle \operatorname {Ass} (M)\subset \operatorname {Supp} (M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} }$ ${\displaystyle \operatorname {Ass} (M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} (M)}$

Если M — конечно порожденный модуль над R , то существует конечная возрастающая последовательность подмодулей

${\displaystyle 0=M_{0}\subsetneq M_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq M_{n-1}\subsetneq M_{n}=M\,}$

такой, что каждый фактор Mi _/ Mi ₋₁ изоморфен некоторым простым идеалам , каждый из которых обязательно находится в носителе M. ^[6] Более того, каждое ассоциированное простое число M встречается среди множества простых чисел ; то есть, ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {Ass} (M)\subset \{{\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{n}\}\subset \operatorname {Supp} (M)}$. ^[7]

(Вообще говоря, эти включения не являются равенствами.) В частности, является конечным множеством, когда M конечно порождено. ${\displaystyle \operatorname {Ass} (M)}$

Пусть – конечно порожденный модуль над нётеровым кольцом R и N – подмодуль M . Учитывая набор связанных простых чисел , существуют подмодули такие, что и ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {Ass} (M/N)=\{{\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{n}\}}$ ${\displaystyle M/N}$ ${\displaystyle Q_{i}\subset M}$ ${\displaystyle \operatorname {Ass} (M/Q_{i})=\{{\mathfrak {p}}_{i}\}}$

${\displaystyle N=\bigcap _{i=1}^{n}Q_{i}.}$^{[8] [9]}

Подмодуль N модуля M называется -примарным, если . Подмодуль R -модуля R является -примарным как подмодуль тогда и только тогда, когда он является -примарным идеалом; таким образом, когда указанное выше разложение является именно первичным разложением идеала. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ass} (M/N)=\{{\mathfrak {p}}\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle M=R}$

Принимая , приведенное выше разложение говорит, что набор связанных простых чисел конечно порожденного модуля M такой же, как когда (без конечного поколения может быть бесконечно много связанных простых чисел.) ${\displaystyle N=0}$ ${\displaystyle \{\operatorname {Ass} (M/Q_{i})|i\}}$ ${\displaystyle 0=\cap _{1}^{n}Q_{i}}$

Свойства связанных простых чисел

Пусть — нётерово кольцо. Затем ${\displaystyle R}$

• Набор делителей нуля на R совпадает с объединением ассоциированных простых чисел R (это потому, что набор делителей нуля R является объединением множества аннуляторов ненулевых элементов, максимальные элементы которых являются ассоциированными простыми числами ). ^[10]
• По той же причине объединение ассоциированных простых чисел R -модуля M представляет собой в точности множество делителей нуля на M , т. е. элемент r такой, что эндоморфизм не инъективен. ^[11] ${\displaystyle m\mapsto rm,M\to M}$
• Учитывая подмножество , M R -модуль, существует подмодуль такой, что и . ^[12] ${\displaystyle \Phi \subset \operatorname {Ass} (M)}$ ${\displaystyle N\subset M}$ ${\displaystyle \operatorname {Ass} (N)=\operatorname {Ass} (M)-\Phi }$ ${\displaystyle \operatorname {Ass} (M/N)=\Phi }$
• Пусть – мультипликативное подмножество, -модуль и множество всех простых идеалов непересекающихся . Затем ${\displaystyle S\subset R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$
  $${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mapsto S^{-1}{\mathfrak {p}},\,\operatorname {Ass} _{R}(M)\cap \Phi \to \operatorname {Ass} _{S^{-1}R}(S^{-1}M)}$$
  является биекцией. ^[13] Кроме того, . ^[14] ${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(M)\cap \Phi =\operatorname {Ass} _{R}(S^{-1}M)}$
• Любой простой идеал, минимальный относительно содержания идеала J , находится в Эти простые числа являются в точности изолированными простыми числами. ${\displaystyle \mathrm {Ass} _{R}(R/J).}$
• Модуль M над R имеет конечную длину тогда и только тогда, когда M конечно порожден и состоит из максимальных идеалов. ^[15] ${\displaystyle \mathrm {Ass} (M)}$
• Пусть – кольцевой гомоморфизм нётеровых колец и F – B -модуля , плоского над A. Тогда для каждого A -модуля E ${\displaystyle A\to B}$

${\displaystyle \operatorname {Ass} _{B}(E\otimes _{A}F)=\bigcup _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Ass} (E)}\operatorname {Ass} _{B}(F/{\mathfrak {p}}F)}$. ^[16]

Ненетеров случай

Следующая теорема дает необходимые и достаточные условия существования в кольце примарных разложений своих идеалов.

Теорема  .  Пусть R — коммутативное кольцо. Тогда следующие утверждения эквивалентны.

1. Каждый идеал в R имеет первичное разложение.
2. R обладает следующими свойствами:
   • (L1) Для каждого собственного идеала _I и простого идеала P существует x в R - P такой, что ( I  : x ) _{является} прообразом IRP при отображении локализации R → RP .
   • (L2) Для каждого идеала I множество всех прообразов I S ⁻¹ R при отображении локализации R → S ⁻¹ R , S , пробегающем все мультипликативно замкнутые подмножества R , конечно.

Доказательство приведено в главе 4 книги Атьи – Макдональда в виде серии упражнений. ^[17]

Существует следующая теорема единственности идеала, имеющего примарное разложение.

Теорема  .  Пусть R — коммутативное кольцо, а I — идеал. Предположим, что I имеет минимальное первичное разложение (примечание: «минимальные» подразумевают различны). Тогда ${\displaystyle I=\cap _{1}^{r}Q_{i}}$ ${\displaystyle {\sqrt {Q_{i}}}}$

1. Множество — это множество всех простых идеалов в множестве . ${\displaystyle E=\left\{{\sqrt {Q_{i}}}|1\leq i\leq r\right\}}$ ${\displaystyle \left\{{\sqrt {(I:x)}}|x\in R\right\}}$
2. Множество минимальных элементов E совпадает с множеством минимальных простых идеалов над I. Более того, первичный идеал , соответствующий минимальному простому числу P, является прообразом IRP и _, таким образом , однозначно определяется I.

Теперь для любого коммутативного кольца _R , идеала I и минимального простого числа P над I прообраз IRP при отображении локализации является наименьшим P -примарным идеалом, содержащим I. ^[18] Таким образом, в формулировке предыдущей теоремы первичный идеал Q , соответствующий минимальному простому числу P , также является наименьшим P -примарным идеалом, содержащим I , и называется P -примарным компонентом I .

Например, если степень P ⁿ простого числа P имеет первичное разложение, то его P -примарная компонента является n -й символьной степенью P .

Аддитивная теория идеалов

Этот результат является первым в области, известной сейчас как аддитивная теория идеалов, изучающей способы представления идеала как пересечения особого класса идеалов. Решение о «особом классе», например, первичных идеалах, само по себе является проблемой. В случае некоммутативных колец класс третичных идеалов является полезной заменой класса первичных идеалов.

Примечания

1. Первичное разложение требует проверки неприводимости полиномов, что не всегда алгоритмически возможно при ненулевой характеристике.

1. Силиберто, Чиро; Хирцебрух, Фридрих; Миранда, Рик; Тейчер, Мина , ред. (2001). Приложения алгебраической геометрии к теории кодирования, физике и вычислениям. Дордрехт: Springer Нидерланды. ISBN 978-94-010-1011-5.
2. Герман, Г. (1926). «Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale». Mathematische Annalen (на немецком языке). 95 : 736–788. дои : 10.1007/BF01206635. S2CID  115897210.
3. Другими словами, это идеальное частное. ${\displaystyle {\sqrt {Q_{i}}}=(I:g_{i})}$
4. Бурбаки, Ч. IV, § 1, № 1, предложение 3.
5. Бурбаки, Гл. IV, § 1, № 3, следствие 1.
6. Бурбаки, Ч. IV, § 1, № 4, Теорема 1.
7. Бурбаки, Ч. IV, § 1, № 4, Теорема 2.
8. Бурбаки, Ч. IV, § 2, вып. 2. Теорема 1.
9. Вот доказательство существования разложения (по Бурбаки). Пусть M — конечно порожденный модуль над нётеровым кольцом R , а N — подмодуль. Чтобы показать, что N допускает первичное разложение, заменив M на , достаточно показать, что при . Сейчас, ${\displaystyle M/N}$ ${\displaystyle N=0}$

   ${\displaystyle 0=\cap Q_{i}\iff \emptyset =\operatorname {Ass} (\cap Q_{i})=\cap \operatorname {Ass} (Q_{i})}$

   где – первичные подмодули M . Другими словами, 0 имеет первичное разложение, если для каждого ассоциированного простого числа P из M существует первичный подмодуль Q такой, что . Теперь рассмотрим множество (которое непусто, поскольку в нем находится ноль). Множество имеет максимальный элемент Q, поскольку M — нётеров модуль. Если Q не является P -примарным, скажем, ассоциирован с , то для некоторого подмодуля Q' , что противоречит максимальности. Таким образом, Q примарна и доказательство завершено. Примечание. То же доказательство показывает, что если R , M , N все градуированы, то при разложении также можно считать градуированными. ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle P\not \in \operatorname {Ass} (Q)}$ ${\displaystyle \{N\subseteq M|P\not \in \operatorname {Ass} (N)\}}$ ${\displaystyle P'\neq P}$ ${\displaystyle M/Q}$ ${\displaystyle R/P'\simeq Q'/Q}$ ${\displaystyle Q_{i}}$
10. Бурбаки, Ч. IV, § 1, следствие 3.
11. Бурбаки, Ч. IV, § 1, следствие 2.
12. Бурбаки, Ч. IV, § 1, предложение 4.
13. Бурбаки, Ч. IV, § 1, вып. 2, предложение 5.
14. Мацумура 1970, 7.C Лемма
15. Кон, PM (2003), Основная алгебра, Springer, упражнение 10.9.7, стр. 391, ISBN 9780857294289.
16. Бурбаки, Ч. IV, § 2. Теорема 2.
17. Атья и Макдональд, 1994 г.
18. Атья и Макдональд 1994, гл. 4. Упражнение 11

Рекомендации

• Атья, М .; Макдональд, И.Г. (1994). Введение в коммутативную алгебру . Аддисон-Уэсли . ISBN 0-201-40751-5.
• Бурбаки, коммутативная алгебра
• Данилов, В.И. (2001) [1994], «Кольцо Ласкера», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра , Тексты для выпускников по математике, том. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN. 978-0-387-94268-1, МР  1322960, особ. раздел 3.3.
• Герман, Грета (1926), «Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale», Mathematische Annalen (на немецком языке), 95 : 736–788, doi : 10.1007/BF01206635, S2CID  115897210. Английский перевод в журнале Communications in Computer Algebra 32/3 (1998): 8–30.
• Ласкер, Э. (1905), "Zur Theorie der Moduln und Ideale", Math. Анна. , 60 : 20–116, doi : 10.1007/BF01447495, S2CID  120367750
• Марков, В.Т. (2001) [1994], «Первичное разложение», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Мацумура, Хидеюки (1970), Коммутативная алгебра
• Нётер, Эмми (1921), «Идеальная теория в Ringbereichen», Mathematische Annalen , 83 (1): 24–66, doi : 10.1007/BF01464225
• Кертис, Чарльз (1952), «Об аддитивной теории идеалов в общих кольцах», Американский математический журнал , The Johns Hopkins University Press, 74 (3): 687–700, doi : 10.2307/2372273, JSTOR  2372273
• Крулль, Вольфганг (1928), «Zur Theorie der zweiseitigen Ideale in nichtkommutativen Bereichen», Mathematische Zeitschrift , 28 (1): 481–503, doi : 10.1007/BF01181179, S2CID  122870138

Внешние ссылки

• «Первичное разложение все еще важно?». MathOverflow . 21 августа 2012 г.