Десятичная дробь

Число в десятичной системе счисления

Поместите значение числа в десятичную систему

Десятичная система счисления (также называемая десятичной позиционной системой счисления и десятичной / ˈ d iː n ər i / ^[1] или десятичной системой счисления ) является стандартной системой для обозначения целых и нецелых чисел . Это расширение индийско-арабской системы счисления на нецелые числа ( десятичные дроби ) . Способ обозначения чисел в десятичной системе часто называют десятичной системой счисления . ^[2]

Десятичное число (также часто просто десятичное или, что менее правильно, десятичное число ), обычно относится к обозначению числа в десятичной системе счисления. Иногда десятичные дроби можно идентифицировать по десятичному разделителю (обычно «.» или «», например 25,9703 или 3,1415 ). ^[3] Десятичная дробь может также относиться конкретно к цифрам после десятичного разделителя, например, в « 3.14 — это приближение π к двум десятичным знакам ». Нулевые цифры после десятичного разделителя служат для обозначения точности значения.

Числа, которые могут быть представлены в десятичной системе, являются десятичными дробями. То есть дроби имеют вид a /10 ⁿ , где a — целое число, а n — неотрицательное целое число . Десятичные дроби также получаются в результате сложения целой и дробной части ; полученную сумму иногда называют дробным числом .

Десятичные дроби обычно используются для приближения действительных чисел. Увеличивая количество цифр после десятичного разделителя, можно сделать ошибки аппроксимации настолько малыми, насколько нужно, если у вас есть метод вычисления новых цифр.

Первоначально и в большинстве случаев десятичное число имело только конечное число цифр после десятичного разделителя. Однако десятичная система была расширена до бесконечных десятичных знаков для представления любого действительного числа за счет использования бесконечной последовательности цифр после десятичного разделителя (см. Десятичное представление ). В этом контексте обычные десятичные дроби с конечным числом ненулевых цифр после десятичного разделителя иногда называют конечными десятичными знаками . Повторяющаяся десятичная дробь — это бесконечная десятичная дробь, которая после некоторого места бесконечно повторяет одну и ту же последовательность цифр (например, 5,123144144144144... = 5,123 144 ). ^[4] Бесконечная десятичная дробь представляет собой рациональное число , частное двух целых чисел, тогда и только тогда, когда оно является повторяющейся десятичной дробью или имеет конечное число ненулевых цифр.

Источник

Десять цифр на двух руках, возможное происхождение десятичного счета.

Многие системы счисления древних цивилизаций используют число десять и его степени для представления чисел, возможно, потому, что на двух руках десять пальцев, и люди начали считать с помощью пальцев. Примерами являются сначала египетские цифры , затем цифры Брахми , греческие цифры , еврейские цифры , римские цифры и китайские цифры . Очень большие числа было трудно представить в этих старых системах счисления, и только лучшие математики могли умножать или делить большие числа. Эти трудности были полностью решены с введением индийско-арабской системы счисления для представления целых чисел . Эта система была расширена для представления некоторых нецелых чисел, называемых десятичными дробями или десятичными числами , для формирования десятичной системы счисления .

Десятичная запись

Для записи чисел в десятичной системе используются десять десятичных цифр , десятичный знак , а для отрицательных чисел — знак минус «-». Десятичные цифры: , 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; ^[5] десятичным разделителем является точка « . » во многих странах (в основном англоязычных), ^[6] и запятая « , » в других странах. ^[3]

Для представления неотрицательного числа десятичное число состоит из

• либо (конечная) последовательность цифр (например, «2017»), где вся последовательность представляет собой целое число:

  ${\displaystyle a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}}$

• или десятичный знак, разделяющий две последовательности цифр (например, «20,70828»)

${\displaystyle a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}}$.

Если m > 0 , то есть если первая последовательность содержит хотя бы две цифры, обычно предполагается, что первая цифра a _m не равна нулю. В некоторых случаях может быть полезно иметь один или несколько нулей слева; это не меняет значение, представленное десятичной дробью: например, 3,14 = 03,14 = 003,14 . Аналогично, если последняя цифра справа от десятичной отметки равна нулю, то есть если b _n = 0 , ее можно удалить; и наоборот, конечные нули могут быть добавлены после десятичной отметки без изменения представленного числа; ^{[примечание 1]} , например, 15 = 15,0 = 15,00 и 5,2 = 5,20 = 5,200 .

Для обозначения отрицательного числа перед буквой _m ставится знак минуса .

Цифра представляет число ${\displaystyle a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}}$

${\displaystyle a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+\cdots +a_{0}10^{0}+{\frac {b_{1}}{10^{1}}}+{\frac {b_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {b_{n}}{10^{n}}}}$.

Целая часть или целая часть десятичного числа — это целое число, записанное слева от десятичного разделителя (см. также усечение ). Для неотрицательного десятичного числа это наибольшее целое число, не превышающее десятичное. Часть от десятичного разделителя справа — это дробная часть , которая равна разнице между числом и его целой частью.

Когда целая часть числа равна нулю, обычно при вычислениях может случиться так, что целая часть не записывается (например, .1234 вместо 0,1234 ). При обычном письме этого обычно избегают из-за риска путаницы между десятичным знаком и другими знаками препинания.

Короче говоря, вклад каждой цифры в значение числа зависит от ее положения в этом числе. То есть десятичная система — это позиционная система счисления .

Десятичные дроби

Десятичные дроби (иногда называемые десятичными числами , особенно в контексте явных дробей) — это рациональные числа , которые можно выразить в виде дроби , знаменатель которой представляет собой степень десяти. ^[7] Например, десятичные выражения представляют дроби ${\displaystyle 0.8,14.89,0.00079,1.618,3.14159}$4/5,1489/100,79/100000,+809/500и+314159/100000, и поэтому обозначают десятичные дроби. Пример дроби, которую невозможно представить десятичным выражением (с конечным числом цифр):1/3, 3 не является степенью 10.

В более общем смысле десятичная дробь с n цифрами после разделителя (точки или запятой) представляет дробь со знаменателем 10 ⁿ , числитель которой представляет собой целое число, полученное удалением разделителя.

Отсюда следует, что число является десятичной дробью тогда и только тогда, когда оно имеет конечное десятичное представление.

Выраженные в виде полностью приведенных дробей , десятичные числа — это те, знаменатель которых представляет собой произведение степени 2 и степени 5. Таким образом, наименьшие знаменатели десятичных чисел равны

${\displaystyle 1=2^{0}\cdot 5^{0},2=2^{1}\cdot 5^{0},4=2^{2}\cdot 5^{0},5=2^{0}\cdot 5^{1},8=2^{3}\cdot 5^{0},10=2^{1}\cdot 5^{1},16=2^{4}\cdot 5^{0},20=2^{2}\cdot 5^{1},25=2^{0}\cdot 5^{2},\ldots }$

Приближение с использованием десятичных чисел

Десятичные числа не позволяют точно представить все действительные числа . Тем не менее, они позволяют аппроксимировать каждое действительное число с любой желаемой точностью, например, десятичное число 3,14159 приближает π , будучи отклонением менее 10 ^{−5 ;} Поэтому десятичные дроби широко используются в науке , технике и повседневной жизни.

Точнее, для каждого действительного числа x и каждого положительного целого числа n существуют два десятичных знака L и u с не более чем n цифрами после запятой, такие что L ≤ x ≤ u и ( u − L ) = 10 ^{− n} .

Числа очень часто получаются в результате измерений . Поскольку измерения подвержены неопределенности измерения с известной верхней границей , результат измерения хорошо представляется десятичной дробью с n цифрами после запятой, как только абсолютная погрешность измерения ограничена сверху величиной 10 ^{- n} . На практике результаты измерений часто даются с определенным количеством цифр после запятой, которые указывают границы погрешности. Например, хотя 0,080 и 0,08 обозначают одно и то же число, десятичная цифра 0,080 предполагает измерение с ошибкой менее 0,001, а цифра 0,08 указывает на абсолютную ошибку, ограниченную 0,01. В обоих случаях истинное значение измеряемой величины может составлять, например, 0,0803 или 0,0796 (см. также значащие цифры ).

Бесконечное десятичное расширение

Для вещественного числа x и целого числа n ≥ 0 пусть [ x ] _n обозначает (конечное) десятичное разложение наибольшего числа, не большего, чем x , которое имеет ровно n цифр после десятичной точки. Пусть d _i обозначает последнюю цифру [ x ] _i . Нетрудно видеть, что [ x ] _n можно получить добавлением d _n справа от [ x ] _{n −1} . Таким образом, у человека есть

[ Икс ] _{п знак} равно [ Икс ] ₀ . d ₁ d ₂ ... d _{n −1} d _n ,

а разница [ x ] _{n −1} и [ x ] _n составляет

${\displaystyle \left\vert \left[x\right]_{n}-\left[x\right]_{n-1}\right\vert =d_{n}\cdot 10^{-n}<10^{-n+1}}$,

который либо равен 0, если d _n = 0 , либо становится сколь угодно малым при стремлении n к бесконечности. Согласно определению предела , x — это предел [ x ] _n , когда n стремится к бесконечности . Это пишется как или ${\textstyle \;x=\lim _{n\rightarrow \infty }[x]_{n}\;}$

Икс знак равно [ Икс ] ₀ . д ₁ д ₂ ... д _н ... ,

которое называется бесконечным десятичным разложением x .

И наоборот, для любого целого числа [ x ] ₀ и любой последовательности цифр (бесконечное) выражение [ x ] ₀ . d ₁ d ₂ ... d _n ... представляет собой бесконечное десятичное разложение действительного числа x . Это разложение уникально, если ни все d _n не равны 9, ни все d _n не равны 0 для достаточно большого n (для всех n, больших некоторого натурального числа N ). ${\textstyle \;(d_{n})_{n=1}^{\infty }}$

Если все d _n для n > N равны 9 и [ x ] _n = [ x ] ₀ . d ₁ d ₂ ... d _n пределом последовательности является десятичная дробь, полученная заменой последней цифры, отличной от 9, т. е.: d _N на d _N + 1 и замены всех последующих девяток на 0 ( см. 0,999... ). ${\textstyle \;([x]_{n})_{n=1}^{\infty }}$

Любая такая десятичная дробь, то есть: d _n = 0 для n > N , может быть преобразована в эквивалентное ей бесконечное десятичное разложение путем замены d _N на d _N - 1 и замены всех последующих нулей на девятки (см. 0,999... ).

Таким образом, каждое действительное число, не являющееся десятичной дробью, имеет уникальное бесконечное десятичное разложение. Каждая десятичная дробь имеет ровно два бесконечных десятичных расширения: одно содержит только 0 после некоторого места, которое получается из приведенного выше определения [ x ] _n , а другое содержит только 9 после некоторого места, которое получается путем определения [ x ] _n как наибольшее число, меньшее x , имеющее ровно n цифр после десятичной точки.

Рациональное число

Деление в столбик позволяет вычислить бесконечное десятичное разложение рационального числа . Если рациональное число представляет собой десятичную дробь, деление в конечном итоге прекращается, образуя десятичное число, которое можно расширить до бесконечности, добавив бесконечное количество нулей. Если рациональное число не является десятичной дробью, деление может продолжаться бесконечно. Однако, поскольку все последовательные остатки меньше делителя, существует только конечное число возможных остатков, и после некоторого места одна и та же последовательность цифр должна повторяться бесконечно в частном. То есть имеется повторяющаяся десятичная дробь . Например,

1/81= 0.  012345679  012... (с бесконечно повторяющейся группой 012345679).

Верно и обратное: если в какой-то момент десятичного представления числа одна и та же строка цифр начинает повторяться бесконечно, число является рациональным.

или, разделив числитель и знаменатель на 6,692/1665 г..

Десятичные вычисления

Схема самой ранней известной в мире таблицы умножения ( ок.  305 г. до н.э.) периода Воюющих царств.

Большинство современных компьютерных аппаратных и программных систем обычно используют внутреннее двоичное представление (хотя многие ранние компьютеры, такие как ENIAC или IBM 650 , использовали внутреннее десятичное представление). ^[8] Для внешнего использования специалистами по компьютерам это двоичное представление иногда представляется в соответствующих восьмеричных или шестнадцатеричных системах.

Однако в большинстве случаев двоичные значения преобразуются в эквивалентные десятичные значения или обратно для представления людям или ввода от них; компьютерные программы по умолчанию выражают литералы в десятичном формате. (Например, 123.1 записывается именно так в компьютерной программе, хотя многие компьютерные языки не способны точно закодировать это число.)

И компьютерное оборудование, и программное обеспечение также используют внутренние представления, которые фактически являются десятичными для хранения десятичных значений и выполнения арифметических действий. Часто эта арифметика выполняется над данными, которые закодированы с использованием какого-либо варианта двоично-десятичного числа , ^{[9] [10],} особенно в реализациях баз данных, но используются и другие десятичные представления (включая десятичные числа с плавающей запятой, например, в новых версиях Стандарт IEEE 754 для арифметики с плавающей запятой ). ^[11]

Десятичная арифметика используется в компьютерах, так что десятичные дробные результаты сложения (или вычитания) значений с фиксированной длиной их дробной части всегда вычисляются с той же точностью. Это особенно важно для финансовых расчетов, например, требующих в своих результатах целых кратных наименьшей денежной единицы для целей бухгалтерского учета. Это невозможно в двоичном формате, потому что отрицательные степени не имеют конечного двоичного дробного представления; и вообще невозможно умножить (или разделить). ^{[12] [13]} Точные вычисления см. в разделе «Арифметика произвольной точности» . ${\displaystyle 10}$

История

Самая ранняя в мире десятичная таблица умножения была сделана из бамбуковых пластинок и датируется 305 годом до нашей эры, в период Воюющих царств в Китае.

Во многих древних культурах расчеты проводились с использованием цифр, основанных на десяти, возможно, потому, что на двух человеческих руках по десять пальцев. ^[14] Стандартизированные веса, используемые в цивилизации долины Инда ( ок.  3300–1300 гг. до н.э. ), основывались на соотношениях: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20. , 50, 100, 200 и 500, а их стандартизированный правитель – правитель Мохенджо-Даро – был разделен на десять равных частей. ^{[15] [16] [17]} Египетские иероглифы , наблюдаемые примерно с 3000 г. до н. э., использовали чисто десятичную систему, ^[18] как и линейное письмо А ( ок.  1800–1450 гг. до н. э .) минойцев [ 19 ^{] [20 ] ]} и линейное письмо B (ок. 1400–1200 гг. до н. э.) микенцев . В системе счисления классической Греции также использовались степени десяти, включая промежуточное основание 5, как и в римских цифрах . ^[21] Примечательно, что эрудит Архимед (ок. 287–212 до н. э.) изобрел десятичную позиционную систему в своем «Песочном счете» , основанном на 10 ⁸ . ^{[21] [22]} Хеттские иероглифы (с 15 века до н.э.) также были строго десятичными. ^[23]

В некоторых нематематических древних текстах, таких как Веды , датируемых 1700–900 гг. до н. э., используются десятичные дроби и математические десятичные дроби. ^[24]

Египетские иератические цифры, цифры греческого алфавита, цифры еврейского алфавита, римские цифры, китайские цифры и ранние индийские цифры Брахми — все они представляют собой непозиционные десятичные системы и требуют большого количества символов. Например, в египетских цифрах использовались разные символы: от 10, от 20 до 90, от 100, от 200 до 900, 1000, 2000, 3000, 4000 и 10 000. ^[25] Первой в мире позиционной десятичной системой было китайское стержневое исчисление . ^[26]

Самая ранняя в мире позиционная десятичная система
Вертикальная форма верхнего ряда
Горизонтальная форма нижнего ряда

История десятичных дробей

счетная палочка десятичная дробь 1/7

Начиная со II века до нашей эры, некоторые китайские единицы длины основывались на делении на десять; к III веку нашей эры эти метрологические единицы использовались для непозиционного выражения десятичных дробей длин. ^[27] Расчеты с десятичными дробями длин проводились с использованием позиционных счетных стержней , как описано в Суньцзы Суаньцзин III–V веков . Математик V века Цзу Чунчжи вычислил семизначное приближение числа π . В книге Цинь Цзюшао «Математический трактат в девяти разделах» (1247 г.) с использованием счетных палочек явно записана десятичная дробь, представляющая число, а не измерение. ^[28] Числом 0,96644 обозначено

寸

.

Историки китайской науки предположили, что идея десятичных дробей могла быть передана из Китая на Ближний Восток. ^[26]

Аль Хорезми представил дроби в исламских странах в начале 9 века, записывая их с числителем вверху и знаменателем внизу, без горизонтальной черты. Эта форма дроби использовалась на протяжении веков. ^{[26] [29]}

Позиционные десятичные дроби впервые появляются в книге арабского математика Абуль-Хасана аль-Уклидиси, написанной в X веке. ^[30] Еврейский математик Иммануил Бонфилс использовал десятичные дроби около 1350 года, но не разработал никаких обозначений для их представления. ^[31] Персидский математик Джамшид аль-Каши использовал десятичные дроби и утверждал, что открыл их в 15 веке. ^[30]

Предшественник современной европейской десятичной системы счисления был введен Саймоном Стевином в 16 веке. Влиятельный буклет Стевина De Thiende («Искусство десятых») был впервые опубликован на голландском языке в 1585 году и переведен на французский язык как La Disme . ^[32]

Джон Нэпьер ввел использование точки (.) для отделения целой части десятичного числа от дробной части в своей книге о построении таблиц логарифмов, опубликованной посмертно в 1620 году. ^{[33] : с. 8, архив с. 32)}

Естественные языки

В Индии появился метод выражения всех возможных натуральных чисел с помощью набора из десяти символов. В нескольких индийских языках используется простая десятичная система. Во многих индоарийских и дравидийских языках числа от 10 до 20 выражаются обычным способом сложения до 10. ^[34]

В венгерском языке также используется простая десятичная система. Все числа от 10 до 20 образуются регулярно (например, 11 выражается как «тизенеги», буквально «один на десять»), как и числа от 20 до 100 (23 как «huszonhárom» = «три на двадцати»).

Простая десятичная система рангов со словом для каждого порядка (10十, ​​100百, 1000千, 10 000万), в которой 11 выражается как десять-один , 23 как два-десять-три , а 89 345 выражается как 8. (десять тысяч)万9 (тысяча)千3 (сто)百4 (десятки)十5 встречается в китайском и вьетнамском языках с некоторыми неточностями. Японцы , корейцы и тайцы импортировали китайскую десятичную систему. Во многих других языках с десятичной системой есть специальные слова для чисел от 10 до 20 и десятилетий. Например, в английском языке 11 — это «одиннадцать», а не «десять-один» или «один-тин».

Языки инков, такие как кечуа и аймара , имеют почти простую десятичную систему, в которой 11 выражается как десять с одним , а 23 — как два-десять с тремя .

Некоторые психологи предполагают, что неточности в английских названиях цифр могут препятствовать умению детей считать. ^[35]

Другие базы

Некоторые культуры используют или использовали другие системы исчисления.

• Доколумбовые мезоамериканские культуры, такие как майя, использовали систему с основанием 20 (возможно, основанную на использовании всех двадцати пальцев рук и ног ).
• Язык юки в Калифорнии и языки памеа ^[36] в Мексике имеют восьмеричную систему ( с основанием -8), поскольку носители считают, используя промежутки между пальцами, а не сами пальцы. ^[37]
• Существование недесятичной системы счисления в самых ранних следах германских языков подтверждается наличием слов и глосс, означающих, что счет ведется в десятичной форме (родственно «десятикратному счету» или «десятикратному»); такого можно было бы ожидать, если бы обычный счет не был десятичным, и необычным, если бы он был десятичным. ^{[38] [39]} Там, где эта система счета известна, она основана на «длинной сотне» = 120 и «длинной тысяче» 1200. Такие описания, как «длинная сотня», появляются только после «маленькой сотни» 100. появился вместе с христианами. Введение Гордона в древнескандинавский язык. Архивировано 15 апреля 2016 г. в Wayback Machine, с. 293, дает названия чисел, принадлежащих к этой системе. Выражение, родственное слову «сто восемьдесят», переводится как 200, а родственное слову «двести» — 240. Гудэр ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} подробно описывает использование длинной сотни в Шотландии в средние века, приводя такие примеры, как расчеты, в которых перенос подразумевает, что i C (т. е. сто) равно 120 и т. д. Тот факт, что население в целом не встревожилось, столкнувшись с такими числами, предполагает достаточно широкое использование. Также можно избежать чисел, подобных сотням, используя промежуточные единицы, такие как стоуны и фунты, вместо длинного счета фунтов. Гудэр приводит примеры таких чисел, как оценка vii, где можно избежать сотни, используя расширенные оценки. Существует также статья У.Х. Стивенсона «Длинная сотня и ее использование в Англии». ^{[40] [41]}
• Многие или все чумашанские языки изначально использовали систему счета с основанием 4 , в которой названия чисел были структурированы в соответствии с числами, кратными 4 и 16 . ^[42]
• Многие языки ^[43] используют пятеричные (основание 5) системы счисления, включая Gumatj , Nunggubuyu , ^[44] Kuurn Kopan Noot ^[45] и Saraveca . Из них гуматдж - единственный известный настоящий язык с числом 5–25, в котором 25 представляет собой высшую группу из 5.
• Некоторые нигерийцы используют двенадцатеричную систему. ^[46] То же самое сделали и некоторые небольшие общины в Индии и Непале, о чем свидетельствует их язык. ^[47]
• Сообщается, что язык хули в Папуа-Новой Гвинее имеет числа с основанием 15 . ^[48] ​​Ngui означает 15, ngui ki означает 15 × 2 = 30, а ngui ngui означает 15 × 15 = 225.
• Сообщается, что Умбу-Унгу , также известный как Каколи, имеет числа с основанием 24 . ^[49] Токапу означает 24, токапу талу означает 24 × 2 = 48, а токапу токапу означает 24 × 24 = 576.
• Сообщается, что Нгити имеет систему счисления по основанию 32 с циклами по основанию 4. ^[43]
• Сообщается, что в языке ндом в Папуа-Новой Гвинее используются цифры с основанием 6 . ^[50] Mer означает 6, mer an thef означает 6 × 2 = 12, nif означает 36, а nif thef означает 36 × 2 = 72.

Смотрите также

• Алгоризм
• Двоично-десятичный код (BCD)
• Десятичная классификация
• Десятичный компьютер
• Десятичное время
• Десятичное представление
• Нумерация десятичных разделов
• Десятичный разделитель
• Десятичная дробь
• Плотно упакованная десятичная дробь (DPD)
• Двенадцатеричный
• Восьмеричный
• Научная нотация
• Последовательный десятичный
• префикс СИ

Примечания

1. Иногда дополнительные нули используются для обозначения точности измерения. Например, «15,00 м» может означать, что погрешность измерения составляет менее одного сантиметра (0,01 м), а «15 м» может означать, что длина составляет примерно пятнадцать метров и что погрешность может превышать 10 сантиметров.

Рекомендации

1. "Денар" . Оксфордский словарь английского языка (онлайн-изд.). Издательство Оксфордского университета . (Требуется подписка или членство участвующей организации.)
2. Йонг, Лам Лэй; Се, Анг Тиан (апрель 2004 г.). Мимолетные шаги. Всемирная научная . 268. дои : 10.1142/5425. ISBN 978-981-238-696-0. Архивировано из оригинала 1 апреля 2023 года . Проверено 17 марта 2022 г.
3. Вайсштейн, Эрик В. (10 марта 2022 г.). "Десятичная точка". Вольфрам Математический мир . Архивировано из оригинала 21 марта 2022 года . Проверено 17 марта 2022 г.
4. Винкулум (верхняя линия) в 5.123 144 указывает, что последовательность «144» повторяется бесконечно, т.е.5,123 144 144 144 144 ... .
5. В некоторых странах, например в странах, говорящих на арабском языке, для цифр используются другие глифы .
6. Вайсштейн, Эрик В. «Десятичный». mathworld.wolfram.com . Архивировано из оригинала 18 марта 2020 г. Проверено 22 августа 2020 г.
7. «Десятичная дробь». Энциклопедия математики . Архивировано из оригинала 11 декабря 2013 г. Проверено 18 июня 2013 г.
8. «Пальцы или кулаки? (Выбор десятичного или двоичного представления)», Вернер Бухгольц , Сообщения ACM , Vol. 2 № 12, стр. 3–11, ACM Press, декабрь 1959 г.
9. Шмид, Герман (1983) [1974]. Десятичные вычисления (1 (переиздание) изд.). Малабар, Флорида: Издательство Роберта Э. Кригера. ISBN 0-89874-318-4.
10. Шмид, Герман (1974). Десятичные вычисления (1-е изд.). Бингемтон, Нью-Йорк: John Wiley & Sons . ISBN 0-471-76180-Х.
11. Десятичные числа с плавающей запятой: алгоритм для компьютеров , Коулишоу, Майк Ф. , Труды 16-го симпозиума IEEE по компьютерной арифметике , ISBN 0-7695-1894-X , стр. 104–11, IEEE Comp. Соц., 2003 г. 
12. «Десятичная арифметика – Часто задаваемые вопросы» . Архивировано из оригинала 29 апреля 2009 г. Проверено 15 августа 2008 г.
13. Десятичные числа с плавающей запятой: алгоритм для компьютеров. Архивировано 16 ноября 2003 г. в Wayback Machine , Коулишоу , М.Ф., Труды 16-го симпозиума IEEE по компьютерной арифметике (ARITH 16. Архивировано 19 августа 2010 г. в Wayback Machine ), ISBN 0-7695 . -1894-X , стр. 104–11, IEEE Comp. Социум, июнь 2003 г. 
14. Данциг, Тобиас (1954), Число / Язык науки (4-е изд.), The Free Press (Macmillan Publishing Co.), стр. 12, ISBN 0-02-906990-4
15. Сержан, Бернар (1997), Женез де л'Инд (на французском языке), Париж: Payot, стр. 113, ISBN 2-228-89116-9 
16. Коппа, А.; и другие. (2006). «Ранненеолитическая традиция стоматологии: кремневые насадки были удивительно эффективны для сверления зубной эмали у доисторического населения». Природа . 440 (7085): 755–56. Бибкод : 2006Natur.440..755C. дои : 10.1038/440755a. PMID  16598247. S2CID  6787162.
17. Бишт, Р.С. (1982), «Раскопки в Банавали: 1974–77», в Посселе, Грегори Л. (редактор), Хараппская цивилизация: современная перспектива , Нью-Дели: Oxford and IBH Publishing Co., стр. 113– 24
18. Жорж Ифра: От одного до нуля. Универсальная история чисел , Penguin Books, 1988, ISBN 0-14-009919-0 , стр. 200–13 (египетские цифры) 
19. Грэм Флегг: Числа: их история и значение, Courier Dover Publications, 2002, ISBN 978-0-486-42165-0 , стр. 50 
20. Жорж Ифра: От одного до нуля. Универсальная история чисел , Penguin Books, 1988, ISBN 0-14-009919-0 , стр. 213–18 (критские цифры) 
21. «Греческие числа». Архивировано из оригинала 21 июля 2019 г. Проверено 21 июля 2019 г.
22. Меннингер, Карл : Залворт и Зиффер. Eine Kulturgeschichte der Zahl , Ванденхук и Рупрехт, 3-й. изд., 1979, ISBN 3-525-40725-4 , стр. 150–53. 
23. Жорж Ифра: От одного до нуля. Универсальная история чисел , Penguin Books, 1988, ISBN 0-14-009919-0 , стр. 218f. (Хеттская иероглифическая система) 
24. (Атхарва Веда 5.15, 1–11)
25. Лам Лэй Йонг и др. Мимолетные шаги, стр. 137–39.
26. Лам Лэй Йонг , «Развитие индуистско-арабской и традиционной китайской арифметики», Chinese Science , 1996, стр. 38, обозначения Курта Фогеля
27. Джозеф Нидхэм (1959). «19.2 Десятичные дроби, метрология и обработка больших чисел». Наука и цивилизация в Китае . Том. III, «Математика и науки о небе и земле». Издательство Кембриджского университета. стр. 82–90.
28. Жан-Клод Марцлофф, История китайской математики, Springer, 1997 ISBN 3-540-33782-2 
29. Лэй Йонг, Лам . «Китайское Бытие, переписывающее историю нашей системы счисления». Архив истории точных наук . 38 : 101–08.
30. Берггрен, Дж. Леннарт (2007). «Математика в средневековом исламе». В Каце, Виктор Дж. (ред.). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник . Издательство Принстонского университета. п. 530. ИСБН 978-0-691-11485-9.
31. Гандз, С .: Изобретение десятичных дробей и применение экспоненциального исчисления Иммануэлем Бонфилсом из Тараскона (около 1350 г.), Isis 25 (1936), 16–45.
32. Б.Л. ван дер Варден (1985). История алгебры. От Хорезми до Эмми Нётер . Берлин: Springer-Verlag.
33. Нэпьер, Джон (1889) [1620]. Построение чудесного канона логарифмов . Перевод Макдональда, Уильям Рэй. Эдинбург: Blackwood & Sons - через Интернет-архив. В числах, отличающихся таким образом точкой в ​​середине, все, что написано после точки, представляет собой дробь, знаменателем которой является единица, а после нее - столько цифр, сколько цифр после точки.
34. «Индийские цифры». Древнеиндийская математика . Архивировано из оригинала 29 сентября 2007 г. Проверено 22 мая 2015 г.
35. Азар, Бет (1999). «Английские слова могут препятствовать развитию математических навыков». Монитор Американской психологической ассоциации . 30 (4). Архивировано из оригинала 21 октября 2007 г.
36. Авелино, Эриберто (2006). «Типология систем счисления Пейма и пределы Мезоамерики как лингвистической области» (PDF) . Лингвистическая типология . 10 (1): 41–60. дои : 10.1515/LINGTY.2006.002. S2CID  20412558. Архивировано (PDF) из оригинала 12 июля 2006 г.
37. Марсия Ашер . «Этноматематика: мультикультурный взгляд на математические идеи». Математический журнал колледжа. JSTOR  2686959.
38. МакКлин, Р.Дж. (июль 1958 г.), «Наблюдения за германскими цифрами», German Life and Letters , 11 (4): 293–99, doi : 10.1111/j.1468-0483.1958.tb00018.x, Некоторые германские языки по-видимому, демонстрируют следы древнего смешения десятичной системы счисления с двадцатеричной системой..
39. Войлс, Джозеф (октябрь 1987 г.), «Кардинальные числительные в до- и протогерманском языке», Журнал английской и германской филологии , 86 (4): 487–95, JSTOR  27709904.
40. Стивенсон, WH (1890). «Длинная сотня и ее использование в Англии». Археологический обзор . Декабрь 1889 г.: 313–22.
41. Пул, Реджинальд Лейн (2006). Казначейство в двенадцатом веке: лекции Форда, прочитанные в Оксфордском университете в Михайловский семестр 1911 года . Кларк, Нью-Джерси: Обмен юридическими книгами. ISBN 1-58477-658-7. ОСЛК  76960942.
42. Сохранился список числовых слов языка Вентуреньо до 32, записанный испанским священником ок. 1819. «Чумашанские цифры» Мэдисона С. Билера, в журнале Native American Mathematics под редакцией Майкла П. Клосса (1986), ISBN 0-292-75531-7 . 
43. Хаммарстрем, Харальд (17 мая 2007 г.). «Редкости в системах счисления». В Вольгемуте, Ян; Сайсоу, Майкл (ред.). Переосмысление универсалий: как редкости влияют на лингвистическую теорию (PDF) . Эмпирические подходы к типологии языка. Том. 45. Берлин: Мутон де Грюйтер (опубликовано в 2010 г.). Архивировано из оригинала (PDF) 19 августа 2007 года.
44. Харрис, Джон (1982). Харгрейв, Сюзанна (ред.). «Факты и заблуждения аборигенных систем счисления» (PDF) . Рабочие документы SIL-AAB серии B. 8 : 153–81. Архивировано из оригинала (PDF) 31 августа 2007 г.
45. Доусон, Дж. «Австралийские аборигены: языки и обычаи нескольких племен аборигенов в западном округе Виктории (1881), стр. xcviii.
46. Мацусита, Сюдзи (1998). Десятичная и двенадцатеричная системы счисления: взаимодействие двух систем счисления. 2-е заседание AFLANG, октябрь 1998 г., Токио. Архивировано из оригинала 5 октября 2008 г. Проверено 29 мая 2011 г.
47. Мазодон, Мартина (2002). «Принципы строительства номеров на тибето-бирманских языках». У Франсуа, Жак (ред.). Многообразие (PDF) . Левен: Питерс. стр. 91–119. ISBN 90-429-1295-2. Архивировано из оригинала (PDF) 28 марта 2016 г. Проверено 12 сентября 2014 г.
48. Читам, Брайан (1978). «Счет и число в Хули». Образовательный журнал Папуа-Новой Гвинеи . 14 :16–35. Архивировано из оригинала 28 сентября 2007 г.
49. Бауэрс, Нэнси; Лепи, Пундиа (1975). «Системы исчисления долины Каугель» (PDF) . Журнал Полинезийского общества . 84 (3): 309–24. Архивировано из оригинала (PDF) 4 июня 2011 г.
50. Оуэнс, Кей (2001), «Работа Глендона Лина над системами счета в Папуа-Новой Гвинее и Океании», Журнал исследований математического образования , 13 (1): 47–71, Бибкод : 2001MEdRJ..13...47O , doi : 10.1007/BF03217098, S2CID  161535519, заархивировано из оригинала 26 сентября 2015 г.