Частичное дробное разложение

Рациональные дроби как суммы простых слагаемых

В алгебре разложение в частичные дроби или разложение в частичные дроби рациональной дроби (то есть дроби , у которой числитель и знаменатель являются полиномами ) — это операция, заключающаяся в выражении дроби в виде суммы многочлена (возможно, нулевого). ) и одну или несколько дробей с более простым знаменателем. ^[1]

Важность разложения на частные дроби заключается в том, что оно предоставляет алгоритмы для различных вычислений с рациональными функциями , включая явное вычисление первообразных , ^[2] разложение в ряд Тейлора , обратные Z-преобразования и обратные преобразования Лапласа . Эта концепция была открыта независимо в 1702 году Иоганном Бернулли и Готфридом Лейбницем . ^[3]

В символах разложение рациональной дроби в частные дроби вида, где f и g - многочлены, представляет собой ее выражение как ${\textstyle {\frac {f(x)}{g(x)}},}$

$${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}=p(x)+\sum _{j}{\frac {f_{j}(x)}{g_{j}(x)}}}$$

где p ( x ) является многочленом, и для каждого j знаменатель g j ₍ x ) является степенью неприводимого многочлена ( который не разлагается на многочлены положительных степеней), а числитель f _j ( x ) равен многочлен меньшей степени, чем степень этого неприводимого многочлена.

Когда используются явные вычисления, часто предпочтительнее более грубое разложение, которое заключается в замене «неприводимого многочлена» на « полином без квадратов » в описании результата. Это позволяет заменить полиномиальную факторизацию гораздо более простой в вычислении факторизацией без квадратов . Этого достаточно для большинства приложений и позволяет избежать введения иррациональных коэффициентов , когда коэффициенты входных полиномов являются целыми или рациональными числами .

Основные принципы

Позволять

$${\displaystyle R(x)={\frac {F}{G}}}$$

рациональная дробьFGодномерные многочленынеопределенного x

Полиномиальная часть

Существуют два полинома E и F ₁ такие, что

$${\displaystyle {\frac {F}{G}}=E+{\frac {F_{1}}{G}},}$$

$${\displaystyle \deg F_{1}<\deg G,}$$

степеньP ${\displaystyle \deg P}$

Это следует непосредственно из евклидова деления F на G , которое утверждает существование E и F ₁ таких, что и ${\displaystyle F=EG+F_{1}}$ ${\displaystyle \deg F_{1}<\deg G.}$

Это позволяет предположить на следующих шагах, что ${\displaystyle \deg F<\deg G.}$

Факторы знаменателя

Если и ${\displaystyle \deg F<\deg G,}$

$${\displaystyle G=G_{1}G_{2},}$$

G1G2взаимно простые многочлены , _точто ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$

$${\displaystyle {\frac {F}{G}}={\frac {F_{1}}{G_{1}}}+{\frac {F_{2}}{G_{2}}},}$$

$${\displaystyle \deg F_{1}<\deg G_{1}\quad {\text{and}}\quad \deg F_{2}<\deg G_{2}.}$$

Это можно доказать следующим образом. Тождество Безу утверждает существование полиномов C и D таких, что

$${\displaystyle CG_{1}+DG_{2}=1}$$

_{( по}1делитель G1G2_.

Пусть с — евклидово деление DF . По Установке получаем ${\displaystyle DF=G_{1}Q+F_{1}}$ ${\displaystyle \deg F_{1}<\deg G_{1}}$ ${\displaystyle G_{1}.}$ ${\displaystyle F_{2}=CF+QG_{2},}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {F}{G}}&={\frac {F(CG_{1}+DG_{2})}{G_{1}G_{2}}}={\frac {DF}{G_{1}}}+{\frac {CF}{G_{2}}}\\&={\frac {F_{1}+G_{1}Q}{G_{1}}}+{\frac {F_{2}-G_{2}Q}{G_{2}}}\\&={\frac {F_{1}}{G_{1}}}+{\frac {F_{2}}{G_{2}}}.\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \deg F_{2}<\deg G_{2}.}$ ${\displaystyle F=F_{2}G_{1}+F_{1}G_{2},}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\deg F_{2}&=\deg(F-F_{1}G_{2})-\deg G_{1}\leq \max(\deg F,\deg(F_{1}G_{2}))-\deg G_{1}\\&<\max(\deg G,\deg(G_{1}G_{2}))-\deg G_{1}=\deg G_{2}\end{aligned}}}$$

Полномочия в знаменателе

Индуктивно используя предыдущее разложение, можно получить дроби вида где G — неприводимый многочлен . Если k > 1 , можно выполнить дальнейшее разложение, используя тот факт, что неприводимый многочлен является многочленом без квадратов , то есть является наибольшим общим делителем многочлена и его производной . Если является производной G , тождество Безу дает полиномы C и D такие, что и, таким образом , евклидово деление на дает полиномы и такие, что и Установка дает ${\displaystyle {\frac {F}{G^{k}}},}$ ${\displaystyle \deg F<\deg G^{k}=k\deg G,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle CG+DG'=1}$ ${\displaystyle F=FCG+FDG'.}$ ${\displaystyle FDG'}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H_{k}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle FDG'=QG+H_{k}}$ ${\displaystyle \deg H_{k}<\deg G.}$ ${\displaystyle F_{k-1}=FC+Q,}$

$${\displaystyle {\frac {F}{G^{k}}}={\frac {H_{k}}{G^{k}}}+{\frac {F_{k-1}}{G^{k-1}}},}$$

${\displaystyle \deg H_{k}<\deg G.}$

Повторение этого процесса с вместо приводит в конечном итоге к следующей теореме. ${\displaystyle {\frac {F_{k-1}}{G^{k-1}}}}$ ${\displaystyle {\frac {F}{G^{k}}}}$

Заявление

Теорема  .  Пусть f и g — ненулевые полиномы над полем K. Запишите g как произведение степеней различных неприводимых многочленов:

$${\displaystyle g=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{n_{i}}.}$$

Существуют (уникальные) полиномы b и a _ij с deg a _ij < deg p _i такие, что

$${\displaystyle {\frac {f}{g}}=b+\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{n_{i}}{\frac {a_{ij}}{p_{i}^{j}}}.}$$

Если deg f < deg g , то b = 0 .

Единственность можно доказать следующим образом. Пусть d = max(1 + deg f , deg g ) . В совокупности b и aij имеют d коэффициентов _. Форма разложения определяет линейную карту векторов коэффициентов в полиномы f степени меньше d . Доказательство существования означает, что это отображение сюръективно . Поскольку два векторных пространства имеют одинаковую размерность, отображение также инъективно , что означает уникальность разложения. Кстати, это доказательство порождает алгоритм вычисления разложения с помощью линейной алгебры .

Если K — поле комплексных чисел , из фундаментальной теоремы алгебры следует, что все p _i имеют степень один, а все числители — константы. Когда K является полем действительных чисел , некоторые из _pi могут быть квадратичными, поэтому при разложении частных дробей также могут встречаться факторы линейных многочленов по степеням квадратичных многочленов. ${\displaystyle a_{ij}}$

В предыдущей теореме можно заменить «различные неприводимые многочлены» на « попарно взаимно простые многочлены, взаимно простые со своей производной». Например, pi _могут быть факторами бесквадратной факторизации g . Когда K является полем рациональных чисел , как это обычно бывает в компьютерной алгебре , это позволяет заменить факторизацию вычислением наибольшего общего делителя для вычисления разложения на частичные дроби.

Приложение к символическому интегрированию

В целях символического интегрирования предыдущий результат можно уточнить до

Теорема  .  Пусть f и g — ненулевые полиномы над полем K. Запишите g как произведение степеней попарно взаимно простых многочленов, не имеющих кратного корня в алгебраически замкнутом поле:

$${\displaystyle g=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{n_{i}}.}$$

Существуют (уникальные) полиномы b и cij такие, что _deg cij < deg p i _{, что}

$${\displaystyle {\frac {f}{g}}=b+\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=2}^{n_{i}}\left({\frac {c_{ij}}{p_{i}^{j-1}}}\right)'+\sum _{i=1}^{k}{\frac {c_{i1}}{p_{i}}}.}$$

где обозначает производную ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X.}$

Это сводит вычисление первообразной рациональной функции к интегрированию последней суммы, которая называется логарифмической частью , поскольку ее первообразная представляет собой линейную комбинацию логарифмов.

Существуют различные методы вычисления разложения в теореме. Один простой способ называется методом Эрмита . Во-первых, b немедленно вычисляется путем евклидова деления f на g , что сводится к случаю, когда deg( f ) < deg( g ). Далее, известно deg( cij ₎ < deg( _pi ) _, поэтому каждый cij можно записать как многочлен с неизвестными коэффициентами. Приведя сумму дробей в теореме к общему знаменателю и приравняв коэффициенты при каждой степени x в двух числителях, получим систему линейных уравнений , решая которую можно получить искомые (единственные) значения неизвестных коэффициентов. .

Процедура

Учитывая два полинома и , где α _n — различные константы и deg P < n , явные выражения для простейших дробей можно получить, предположив, что ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle Q(x)=(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{n})}$

$${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {c_{1}}{x-\alpha _{1}}}+{\frac {c_{2}}{x-\alpha _{2}}}+\cdots +{\frac {c_{n}}{x-\alpha _{n}}}}$$

c _iприравнивания коэффициентовxнеопределенных коэффициентовx_.

Более прямое вычисление, которое сильно связано с интерполяцией Лагранжа , состоит в записи

$${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {P(\alpha _{i})}{Q'(\alpha _{i})}}{\frac {1}{(x-\alpha _{i})}}}$$

остатками/g ${\displaystyle Q'}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{x-\alpha _{j}}}}$

Этот подход не учитывает ряд других случаев, но может быть соответствующим образом модифицирован:

• Если тогда необходимо выполнить евклидово деление P на Q , используя полиномиальное деление в длину , давая P ( x ) = E ( x ) Q ( x ) + R ( x ) с deg R < n . Деление на Q ( x ) дает ${\displaystyle \deg P\geq \deg Q,}$
  $${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}=E(x)+{\frac {R(x)}{Q(x)}},}$$
  а затем найдите простейшие дроби для оставшейся дроби (которая по определению удовлетворяет условию deg R < deg Q ).
• Если Q ( x ) содержит множители, неприводимые по данному полю, то числитель N ( x ) каждой дроби с таким множителем F ( x ) в знаменателе нужно искать в виде многочлена с deg N < deg F , а не как константа. Например, возьмем следующее разложение по R :
  $${\displaystyle {\frac {x^{2}+1}{(x+2)(x-1)\color {Blue}(x^{2}+x+1)}}={\frac {a}{x+2}}+{\frac {b}{x-1}}+{\frac {\color {OliveGreen}cx+d}{\color {Blue}x^{2}+x+1}}.}$$
• Предположим, Q ( x ) = ( x − α ) ^r S ( x ) и S ( α ) ≠ 0 , то есть α является корнем Q ( x ) кратности r . При разложении простейших дробей r первых степеней ( x − α ) будут выступать в качестве знаменателей простейших дробей (возможно, с нулевым числителем). Например, если S ( x ) = 1, разложение на простейшие дроби имеет вид
  $${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {P(x)}{(x-\alpha )^{r}}}={\frac {c_{1}}{x-\alpha }}+{\frac {c_{2}}{(x-\alpha )^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{r}}{(x-\alpha )^{r}}}.}$$

Иллюстрация

В примере применения этой процедуры (3 x + 5)/(1 − 2 x ) ² можно разложить в виде

$${\displaystyle {\frac {3x+5}{(1-2x)^{2}}}={\frac {A}{(1-2x)^{2}}}+{\frac {B}{(1-2x)}}.}$$

Очистка знаменателей показывает, что 3 x + 5 = A + B (1 − 2 x ) . Разложение и приравнивание коэффициентов при степенях x дает

5 = A + B и 3 x = −2 Bx

Решение этой системы линейных уравнений для A и B дает A = 13/2 и B = −3/2 . Следовательно,

$${\displaystyle {\frac {3x+5}{(1-2x)^{2}}}={\frac {13/2}{(1-2x)^{2}}}+{\frac {-3/2}{(1-2x)}}.}$$

Остаточный метод

Что касается комплексных чисел, предположим, что f ( x ) — рациональная правильная дробь, которую можно разложить на

$${\displaystyle f(x)=\sum _{i}\left({\frac {a_{i1}}{x-x_{i}}}+{\frac {a_{i2}}{(x-x_{i})^{2}}}+\cdots +{\frac {a_{ik_{i}}}{(x-x_{i})^{k_{i}}}}\right).}$$

Позволять

$${\displaystyle g_{ij}(x)=(x-x_{i})^{j-1}f(x),}$$

единственности ряда Лоранаa _ij( x − x _i ) ⁻¹g _ijxx _iвычета

$${\displaystyle a_{ij}=\operatorname {Res} (g_{ij},x_{i}).}$$

Это определяется непосредственно формулой

$${\displaystyle a_{ij}={\frac {1}{(k_{i}-j)!}}\lim _{x\to x_{i}}{\frac {d^{k_{i}-j}}{dx^{k_{i}-j}}}\left((x-x_{i})^{k_{i}}f(x)\right),}$$

x _i

$${\displaystyle a_{i1}={\frac {P(x_{i})}{Q'(x_{i})}},}$$

$${\displaystyle f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}.}$$

Над реальными событиями

Частные дроби используются в интегральном исчислении с действительными переменными для нахождения действительных первообразных рациональных функций . Разложение действительных рациональных функций в частичные дроби также используется для нахождения их обратных преобразований Лапласа . О применении разложения частичных дробей по действительным числам см.

• Приложение к символическому интегрированию, см. выше.
• Частные дроби в преобразованиях Лапласа

Общий результат

Пусть – любая рациональная функция над действительными числами . Другими словами, предположим, что существуют действительные полиномиальные функции и такие, что ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle q(x)\neq 0}$

$${\displaystyle f(x)={\frac {p(x)}{q(x)}}}$$

Разделив числитель и знаменатель на старший коэффициент , мы можем без ограничения общности предположить , что . По основной теореме алгебры мы можем написать ${\displaystyle q(x)}$ ${\displaystyle q(x)}$

$${\displaystyle q(x)=(x-a_{1})^{j_{1}}\cdots (x-a_{m})^{j_{m}}(x^{2}+b_{1}x+c_{1})^{k_{1}}\cdots (x^{2}+b_{n}x+c_{n})^{k_{n}}}$$

где , , являются действительными числами с , и , являются положительными целыми числами. Члены - это линейные факторы , которые соответствуют действительным корням , и термины - неприводимые квадратичные факторы , которые соответствуют парам комплексно -сопряженных корней . ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{m}}$ ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$ ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{n}}$ ${\displaystyle b_{i}^{2}-4c_{i}<0}$ ${\displaystyle j_{1},\dots ,j_{m}}$ ${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}$ ${\displaystyle (x-a_{i})}$ ${\displaystyle q(x)}$ ${\displaystyle q(x)}$ ${\displaystyle (x_{i}^{2}+b_{i}x+c_{i})}$ ${\displaystyle q(x)}$ ${\displaystyle q(x)}$

Тогда разложение на частичные дроби будет следующим: ${\displaystyle f(x)}$

$${\displaystyle f(x)={\frac {p(x)}{q(x)}}=P(x)+\sum _{i=1}^{m}\sum _{r=1}^{j_{i}}{\frac {A_{ir}}{(x-a_{i})^{r}}}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{r=1}^{k_{i}}{\frac {B_{ir}x+C_{ir}}{(x^{2}+b_{i}x+c_{i})^{r}}}}$$

Здесь P ( x ) — полином (возможно, нулевой), а A _ir , B _ir и C _ir — действительные константы. Константы можно найти несколькими способами.

Самый простой метод — умножить на общий знаменатель q ( x ). Затем мы получаем уравнение полиномов, левая часть которого равна просто p ( x ), а правая часть имеет коэффициенты, которые являются линейными выражениями констант A _ir , B _ir и C _ir . Поскольку два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие коэффициенты, мы можем приравнять коэффициенты одинаковых членов. Таким образом получается система линейных уравнений, всегда имеющая единственное решение. Это решение можно найти любым из стандартных методов линейной алгебры . Его также можно найти с пределами (см. пример 5).

Примеры

Пример 1

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}}$$

Здесь знаменатель разбивается на два отдельных линейных фактора:

$${\displaystyle q(x)=x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1)}$$

Итак, мы имеем разложение на частичные дроби

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}={\frac {A}{x+3}}+{\frac {B}{x-1}}}$$

Умножение на знаменатель в левой части дает нам полиномиальное тождество

$${\displaystyle 1=A(x-1)+B(x+3)}$$

Подстановка x = −3 в это уравнение дает A = −1/4, а замена x = 1 дает B = 1/4, так что

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}={\frac {1}{4}}\left({\frac {-1}{x+3}}+{\frac {1}{x-1}}\right)}$$

Пример 2

$${\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}}$$

После длительного деления имеем

$${\displaystyle f(x)=1+{\frac {4x^{2}-8x+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}=1+{\frac {4x^{2}-8x+16}{x(x^{2}-4x+8)}}}$$

Множитель x ² − 4 x + 8 неприводим по действительным числам, поскольку его дискриминант (−4) ² − 4×8 = −16 отрицательен. Таким образом, разложение частных дробей по действительным числам имеет вид

$${\displaystyle {\frac {4x^{2}-8x+16}{x(x^{2}-4x+8)}}={\frac {A}{x}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}-4x+8}}}$$

Умножив на x ³ − 4 x ² + 8 x , мы получим полиномиальное тождество

$${\displaystyle 4x^{2}-8x+16=A\left(x^{2}-4x+8\right)+\left(Bx+C\right)x}$$

Взяв x = 0, мы видим, что 16 = 8 A , поэтому A = 2. Сравнивая коэффициенты x ² , мы видим, что 4 = A + B = 2 + B , поэтому B = 2. Сравнивая линейные коэффициенты, мы видим, что — 8 = −4 A + C = −8 + C , поэтому C = 0. В целом,

$${\displaystyle f(x)=1+2\left({\frac {1}{x}}+{\frac {x}{x^{2}-4x+8}}\right)}$$

Дробь можно полностью разложить с помощью комплексных чисел . Согласно основной теореме алгебры каждый комплексный многочлен степени n имеет n (комплексных) корней (некоторые из которых могут повторяться). Вторую фракцию можно разложить на:

$${\displaystyle {\frac {x}{x^{2}-4x+8}}={\frac {D}{x-(2+2i)}}+{\frac {E}{x-(2-2i)}}}$$

Умножение на знаменатель дает:

$${\displaystyle x=D(x-(2-2i))+E(x-(2+2i))}$$

Приравнивая коэффициенты при x и постоянные (по отношению к x ) коэффициенты обеих частей этого уравнения, получаем систему двух линейных уравнений относительно D и E , решением которой является

$${\displaystyle D={\frac {1+i}{2i}}={\frac {1-i}{2}},\qquad E={\frac {1-i}{-2i}}={\frac {1+i}{2}}.}$$

Таким образом, мы имеем полное разложение:

$${\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}=1+{\frac {2}{x}}+{\frac {1-i}{x-(2+2i)}}+{\frac {1+i}{x-(2-2i)}}}$$

Можно также напрямую вычислить A , D и E с помощью метода вычетов (см. также пример 4 ниже).

Пример 3

Этот пример иллюстрирует почти все «трюки», которые нам, возможно, придется использовать, если не считать обращения к системе компьютерной алгебры .

$${\displaystyle f(x)={\frac {x^{9}-2x^{6}+2x^{5}-7x^{4}+13x^{3}-11x^{2}+12x-4}{x^{7}-3x^{6}+5x^{5}-7x^{4}+7x^{3}-5x^{2}+3x-1}}}$$

После долгого деления и факторизации знаменателя получим

$${\displaystyle f(x)=x^{2}+3x+4+{\frac {2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x}{(x-1)^{3}(x^{2}+1)^{2}}}}$$

Разложение на частичные дроби принимает вид

$${\displaystyle {\frac {2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x}{(x-1)^{3}(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {B}{(x-1)^{2}}}+{\frac {C}{(x-1)^{3}}}+{\frac {Dx+E}{x^{2}+1}}+{\frac {Fx+G}{(x^{2}+1)^{2}}}.}$$

Умножив на знаменатель в левой части, получим полиномиальное тождество

$${\displaystyle {\begin{aligned}&2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x\\[4pt]={}&A\left(x-1\right)^{2}\left(x^{2}+1\right)^{2}+B\left(x-1\right)\left(x^{2}+1\right)^{2}+C\left(x^{2}+1\right)^{2}+\left(Dx+E\right)\left(x-1\right)^{3}\left(x^{2}+1\right)+\left(Fx+G\right)\left(x-1\right)^{3}\end{aligned}}}$$

Теперь мы используем разные значения x для вычисления коэффициентов:

$${\displaystyle {\begin{cases}4=4C&x=1\\2+2i=(Fi+G)(2+2i)&x=i\\0=A-B+C-E-G&x=0\end{cases}}}$$

Решая это, мы имеем:

$${\displaystyle {\begin{cases}C=1\\F=0,G=1\\E=A-B\end{cases}}}$$

Используя эти значения, мы можем написать:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x\\[4pt]={}&A\left(x-1\right)^{2}\left(x^{2}+1\right)^{2}+B\left(x-1\right)\left(x^{2}+1\right)^{2}+\left(x^{2}+1\right)^{2}+\left(Dx+\left(A-B\right)\right)\left(x-1\right)^{3}\left(x^{2}+1\right)+\left(x-1\right)^{3}\\[4pt]={}&\left(A+D\right)x^{6}+\left(-A-3D\right)x^{5}+\left(2B+4D+1\right)x^{4}+\left(-2B-4D+1\right)x^{3}+\left(-A+2B+3D-1\right)x^{2}+\left(A-2B-D+3\right)x\end{aligned}}}$$

Сравниваем коэффициенты при х ⁶ и х ⁵ с обеих сторон и имеем:

$${\displaystyle {\begin{cases}A+D=2\\-A-3D=-4\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad A=D=1.}$$

Поэтому:

$${\displaystyle 2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x=2x^{6}-4x^{5}+(2B+5)x^{4}+(-2B-3)x^{3}+(2B+1)x^{2}+(-2B+3)x}$$

что дает нам B = 0. Таким образом, разложение на частичные дроби определяется следующим образом:

$${\displaystyle f(x)=x^{2}+3x+4+{\frac {1}{(x-1)}}+{\frac {1}{(x-1)^{3}}}+{\frac {x+1}{x^{2}+1}}+{\frac {1}{(x^{2}+1)^{2}}}.}$$

Альтернативно, вместо разложения можно получить другие линейные зависимости от коэффициентов, вычисляющих некоторые производные при приведенном выше полиномиальном тождестве. (С этой целью напомним, что производная в точке x = a от ( x − a ) ^m p ( x ) обращается в нуль, если m > 1, и равна просто p ( a ) для m = 1.) Например, первая производная в точке x = 1 дает ${\displaystyle x=1,\imath }$

$${\displaystyle 2\cdot 6-4\cdot 5+5\cdot 4-3\cdot 3+2+3=A\cdot (0+0)+B\cdot (4+0)+8+D\cdot 0}$$

то есть 8 = 4 B + 8, поэтому B = 0.

Пример 4 (метод остатка)

$${\displaystyle f(z)={\frac {z^{2}-5}{(z^{2}-1)(z^{2}+1)}}={\frac {z^{2}-5}{(z+1)(z-1)(z+i)(z-i)}}}$$

Таким образом, f ( z ) можно разложить на рациональные функции, знаменателями которых являются z +1, z −1, z +i, z −i. Поскольку каждый член имеет степень единица, −1, 1, − i и i являются простыми полюсами.

Следовательно, остатки, связанные с каждым полюсом, заданные формулой

$${\displaystyle {\frac {P(z_{i})}{Q'(z_{i})}}={\frac {z_{i}^{2}-5}{4z_{i}^{3}}},}$$

$${\displaystyle 1,-1,{\tfrac {3i}{2}},-{\tfrac {3i}{2}},}$$

$${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z+1}}-{\frac {1}{z-1}}+{\frac {3i}{2}}{\frac {1}{z+i}}-{\frac {3i}{2}}{\frac {1}{z-i}}.}$$

Пример 5 (метод ограничения)

Пределы можно использовать для нахождения разложения на частичные дроби. ^[4] Рассмотрим следующий пример:

$${\displaystyle {\frac {1}{x^{3}-1}}}$$

Сначала разложите на множители знаменатель, определяющий разложение:

$${\displaystyle {\frac {1}{x^{3}-1}}={\frac {1}{(x-1)(x^{2}+x+1)}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+x+1}}.}$$

Умножив все на и приняв предел при , получим ${\displaystyle x-1}$ ${\displaystyle x\to 1}$

$${\displaystyle \lim _{x\to 1}\left((x-1)\left({\frac {A}{x-1}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+x+1}}\right)\right)=\lim _{x\to 1}A+\lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)(Bx+C)}{x^{2}+x+1}}=A.}$$

С другой стороны,

$${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}}=\lim _{x\to 1}{\frac {1}{x^{2}+x+1}}={\frac {1}{3}},}$$

и поэтому:

$${\displaystyle A={\frac {1}{3}}.}$$

Умножив на x и приняв предел при , получим ${\displaystyle x\to \infty }$

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x\left({\frac {A}{x-1}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+x+1}}\right)=\lim _{x\to \infty }{\frac {Ax}{x-1}}+\lim _{x\to \infty }{\frac {Bx^{2}+Cx}{x^{2}+x+1}}=A+B,}$$

и

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x}{(x-1)(x^{2}+x+1)}}=0.}$$

Отсюда следует, что A + B = 0 и т. д . ${\displaystyle B=-{\frac {1}{3}}}$

При x = 0 получаем и таким образом . ${\displaystyle -1=-A+C,}$ ${\displaystyle C=-{\tfrac {2}{3}}}$

Сложив все вместе, получим разложение

$${\displaystyle {\frac {1}{x^{3}-1}}={\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{x-1}}+{\frac {-x-2}{x^{2}+x+1}}\right).}$$

Пример 6 (интегральный)

Предположим, у нас есть неопределенный интеграл :

$${\displaystyle \int {\frac {x^{4}+x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}+x-2}}\,dx}$$

Очевидно, что перед выполнением разложения мы должны выполнить полиномиальное деление в длину и факторизовать знаменатель. Это приведет к:

$${\displaystyle \int \left(x^{2}+3+{\frac {-3x+7}{(x+2)(x-1)}}\right)dx}$$

После этого мы теперь можем выполнить разложение на частичные дроби.

$${\displaystyle \int \left(x^{2}+3+{\frac {-3x+7}{(x+2)(x-1)}}\right)dx=\int \left(x^{2}+3+{\frac {A}{(x+2)}}+{\frac {B}{(x-1)}}\right)dx}$$

$${\displaystyle A(x-1)+B(x+2)=-3x+7}$$

$${\displaystyle A={\frac {-13}{3}}\ ,B={\frac {4}{3}}}$$

Включение всего этого обратно в наш интеграл позволяет нам найти ответ:

$${\displaystyle \int \left(x^{2}+3+{\frac {-13/3}{(x+2)}}+{\frac {4/3}{(x-1)}}\right)\,dx={\frac {x^{3}}{3}}\ +3x-{\frac {13}{3}}\ln(|x+2|)+{\frac {4}{3}}\ln(|x-1|)+C}$$

Роль полинома Тейлора

Разложение рациональной функции в частные дроби можно связать с теоремой Тейлора следующим образом. Позволять

$${\displaystyle P(x),Q(x),A_{1}(x),\ldots ,A_{r}(x)}$$

быть действительными или комплексными полиномами, предполагают, что

$${\displaystyle Q=\prod _{j=1}^{r}(x-\lambda _{j})^{\nu _{j}},}$$

удовлетворяет

$${\displaystyle \deg A_{1}<\nu _{1},\ldots ,\deg A_{r}<\nu _{r},\quad {\text{and}}\quad \deg(P)<\deg(Q)=\sum _{j=1}^{r}\nu _{j}.}$$

Также определите

$${\displaystyle Q_{i}=\prod _{j\neq i}(x-\lambda _{j})^{\nu _{j}}={\frac {Q}{(x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}}},\qquad 1\leqslant i\leqslant r.}$$

Тогда у нас есть

$${\displaystyle {\frac {P}{Q}}=\sum _{j=1}^{r}{\frac {A_{j}}{(x-\lambda _{j})^{\nu _{j}}}}}$$

тогда и только тогда, когда каждый многочлен является многочленом Тейлора порядка в точке : ${\displaystyle A_{i}(x)}$ ${\displaystyle {\tfrac {P}{Q_{i}}}}$ ${\displaystyle \nu _{i}-1}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$

$${\displaystyle A_{i}(x):=\sum _{k=0}^{\nu _{i}-1}{\frac {1}{k!}}\left({\frac {P}{Q_{i}}}\right)^{(k)}(\lambda _{i})\ (x-\lambda _{i})^{k}.}$$

Теорема Тейлора (в вещественном или комплексном случае) затем обеспечивает доказательство существования и единственности разложения на частные дроби, а также характеристику коэффициентов.

Эскиз доказательства

Приведенное выше разложение на частичные дроби подразумевает для каждого 1 ≤  i  ≤  r полиномиальное разложение

$${\displaystyle {\frac {P}{Q_{i}}}=A_{i}+O((x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}),\qquad {\text{for }}x\to \lambda _{i},}$$

то же самое происходит и с полиномом Тейлора из-за единственности полиномиального разложения порядка и по предположению . ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle {\tfrac {P}{Q_{i}}}}$ ${\displaystyle \nu _{i}-1}$ ${\displaystyle \deg A_{i}<\nu _{i}}$

И наоборот, если это полиномы Тейлора, приведенные выше разложения в каждом случае выполняются, поэтому мы также имеем ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$

$${\displaystyle P-Q_{i}A_{i}=O((x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}),\qquad {\text{for }}x\to \lambda _{i},}$$

откуда следует, что многочлен делится на ${\displaystyle P-Q_{i}A_{i}}$ ${\displaystyle (x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}.}$

For также делится на , поэтому ${\displaystyle j\neq i,Q_{j}A_{j}}$ ${\displaystyle (x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}}$

$${\displaystyle P-\sum _{j=1}^{r}Q_{j}A_{j}}$$

делится на . С ${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle \deg \left(P-\sum _{j=1}^{r}Q_{j}A_{j}\right)<\deg(Q)}$$

тогда у нас есть

$${\displaystyle P-\sum _{j=1}^{r}Q_{j}A_{j}=0,}$$

и находим разложение на простейшие дроби при делении на . ${\displaystyle Q}$

Дроби целых чисел

Идею простейших дробей можно обобщить и на другие области целости , например, на кольцо целых чисел , где простые числа играют роль неприводимых знаменателей. Например:

$${\displaystyle {\frac {1}{18}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{3^{2}}}.}$$

Примечания

1. Ларсон, Рон (2016). Алгебра и тригонометрия. Cengage Обучение. ISBN 9781337271172.
2. Горовиц, Эллис. «Алгоритмы разложения частичных дробей и интегрирования рациональных функций». Материалы второго симпозиума ACM по символическим и алгебраическим манипуляциям. АКМ, 1971.
3. Гросхольц, Эмили (2000). Рост математических знаний . Академические издательства Kluwer. п. 179. ИСБН 978-90-481-5391-6.
4. Блюман, Джордж В. (1984). Задачник для первого курса по математическому анализу . Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 250–251.

Рекомендации

• Рао, КР; Ахмед, Н. (1968). «Рекурсивные методы получения разложения рациональной функции в частные дроби». IEEE Транс. Образование . 11 (2): 152–154. Бибкод : 1968ITEdu..11..152R. дои : 10.1109/TE.1968.4320370.
• Хенрици, Питер (1971). «Алгоритм неполного разложения рациональной функции на простейшие дроби». З. Энджью. Математика. Физ . 22 (4): 751–755. Бибкод :1971ЗаМП...22..751Х. дои : 10.1007/BF01587772. S2CID  120554693.
• Чанг, Фэн-Ченг (1973). «Рекурсивные формулы для разложения рациональной функции в частные дроби с кратными полюсами». Учеб. ИИЭЭ . 61 (8): 1139–1140. дои : 10.1109/PROC.1973.9216.
• Кунг, ХТ; Тонг, DM (1977). «Быстрые алгоритмы разложения частичных дробей». SIAM Journal по вычислительной технике . 6 (3): 582. дои : 10.1137/0206042. S2CID  5857432.
• Юстис, Дэн; Кламкин, М.С. (1979). «О коэффициентах разложения простейших дробей». Американский математический ежемесячник . Том. 86, нет. 6. С. 478–480. JSTOR  2320421.
• Махони, Джей-Джей; Сивазлян, Б.Д. (1983). «Разложение неполных дробей: обзор вычислительной методологии и эффективности». Дж. Компьютер. Прил. Математика . 9 (3): 247–269. дои : 10.1016/0377-0427(83)90018-3 .
• Миллер, Чарльз Д.; Лиал, Маргарет Л.; Шнайдер, Дэвид И. (1990). Основы студенческой алгебры (3-е изд.). Addison-Wesley Educational Publishers, Inc., стр. 364–370. ISBN 0-673-38638-4.
• Вестрайх, Дэвид (1991). «Разложение частичных дробей без оценки производной». IEEE Транс. Цирк. Сист . 38 (6): 658–660. дои : 10.1109/31.81863.
• Кудрявцев, Л.Д. (2001) [1994], «Неопределенные коэффициенты, метод», Энциклопедия математики , EMS Press
• Веллеман, Дэниел Дж. (2002). «Частичные дроби, биномиальные коэффициенты и интеграл нечетной степени сек тета». амер. Математика. Ежемесячно . 109 (8): 746–749. дои : 10.2307/3072399. JSTOR  3072399.
• Слота, Дамиан; Витула, Роман (2005). «Трёхкиричный метод разложения частичных дробей некоторого типа рационального выражения». Вычислительная наука – ICCS 2005 . Лект. Нет. Компьютерные науки. Том. 33516. стр. 659–662. дои : 10.1007/11428862_89. ISBN 978-3-540-26044-8.
• Кунг, Сидни Х. (2006). «Разложение частичных дробей делением». Колл. Математика. Дж . 37 (2): 132–134. дои : 10.2307/27646303. JSTOR  27646303.
• Витула, Роман; Слота, Дамиан (2008). «Разложение некоторых рациональных функций в частные дроби». Прил. Математика. Вычислить . 197 : 328–336. дои : 10.1016/j.amc.2007.07.048. МР  2396331.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Частичное разложение фракций». Математический мир .
• Блейк, Сэм. «Пошаговые дроби».
• Выполняйте разложение на частичные дроби с помощью Scilab .