p-адическое число

Система счисления, расширяющая рациональные числа

3-адические целые числа с выбранными соответствующими символами в их двойственной группе Понтрягина.

В теории чисел , учитывая простое число p , p -адические числа образуют расширение рациональных чисел , которое отличается от действительных чисел , хотя и с некоторыми схожими свойствами; p -адические числа могут быть записаны в форме, аналогичной (возможно, бесконечной ) десятичной дроби , но с цифрами, основанными на простом числе p , а не на десяти, и простирающимися влево, а не вправо.

Например, сравнивая разложение рационального числа по основанию 3 с 3 -адическим разложением, ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\tfrac {1}{5}}&{}=0.01210121\ldots \ ({\text{base }}3)&&{}=0\cdot 3^{0}+0\cdot 3^{-1}+1\cdot 3^{-2}+2\cdot 3^{-3}+\cdots \\[5mu]{\tfrac {1}{5}}&{}=\dots 121012102\ \ ({\text{3-adic}})&&{}=\cdots +2\cdot 3^{3}+1\cdot 3^{2}+0\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0}.\end{alignedat}}}$

Формально, учитывая простое число p , p -адическое число можно определить как ряд

${\displaystyle s=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}=a_{k}p^{k}+a_{k+1}p^{k+1}+a_{k+2}p^{k+2}+\cdots }$

где k — целое число (возможно, отрицательное), и каждое из них — целое число такое, что p - адическое целое число — это p -адическое число такое, что ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle 0\leq a_{i}<p.}$ ${\displaystyle k\geq 0.}$

В общем, ряд, представляющий p -адическое число, не сходится в обычном смысле, но он сходится для p -адического абсолютного значения , где k — наименьшее целое число i такое, что (если все равны нулю, один имеет нулевое p -адическое число, p -адическое абсолютное значение которого равно 0 ). ${\displaystyle |s|_{p}=p^{-k},}$ ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$ ${\displaystyle a_{i}}$

Каждое рациональное число может быть однозначно выражено как сумма ряда, как указано выше, относительно p -адического абсолютного значения. Это позволяет рассматривать рациональные числа как особые p -адические числа и, альтернативно, определять p -адические числа как пополнение рациональных чисел для p -адического абсолютного значения, точно так же, как действительные числа являются пополнением рациональных чисел для обычных чисел. абсолютная величина.

p -адические числа были впервые описаны Куртом Хензелем в 1897 году ^[1] , хотя, оглядываясь назад, некоторые из более ранних работ Эрнста Куммера можно интерпретировать как неявно использующие p -адические числа. ^{[примечание 1]}

Мотивация

Грубо говоря, модульная арифметика по модулю положительного целого числа n состоит из «приближения» каждого целого числа остатком от его деления на n , называемым его остатком по модулю n . Основное свойство модульной арифметики состоит в том, что вычет по модулю n результата последовательности операций над целыми числами совпадает с результатом той же последовательности операций над остатками по модулю n . Если известно, что абсолютное значение результата меньше n/2 , это позволяет вычислить результат, который не включает в себя целое число, большее n .

Для получения более крупных результатов старый метод, все еще широко используемый, состоит в использовании нескольких небольших модулей, которые попарно взаимно просты, и применении китайской теоремы об остатках для восстановления результата по модулю произведения модулей.

Другой метод, открытый Куртом Хензелем , состоит в использовании простого модуля p и применении леммы Гензеля для итеративного восстановления результата по модулю. Если процесс продолжается бесконечно, это в конечном итоге дает результат, который является p -адическим числом. ${\displaystyle p^{2},p^{3},\ldots ,p^{n},\ldots }$

Основные леммы

Теория p -адических чисел фундаментально основана на двух следующих леммах

Любое ненулевое рациональное число может быть записано где v , m и n — целые числа, и ни m , ни n не делятся на p . ${\textstyle p^{v}{\frac {m}{n}},}$Показатель v однозначно определяется рациональным числом и называется его p -адической оценкой (это определение является частным случаем более общего определения, данного ниже). Доказательство леммы непосредственно вытекает из основной теоремы арифметики .

Каждое ненулевое рациональное число r оценки v можно однозначно записать , где s — рациональное число оценки, большей, чем v , а a — целое число такое, что ${\displaystyle r=ap^{v}+s,}$ ${\displaystyle 0<a<p.}$

Доказательство этой леммы следует из модульной арифметики : Согласно приведенной выше лемме, где m и n — целые числа, взаимно простые с p . Модульная обратная величина n — это целое число q такое, что для некоторого целого числа h . Следовательно, имеем и Евклидово деление на p дает где , поскольку mq не делится на p . Так, ${\textstyle r=p^{v}{\frac {m}{n}},}$ ${\displaystyle nq=1+ph}$ ${\textstyle {\frac {1}{n}}=q-p{\frac {h}{n}},}$ ${\textstyle r=p^{v}mq-p^{v+1}{\frac {hm}{n}}.}$ ${\displaystyle mq}$ ${\displaystyle mq=pk+a}$ ${\displaystyle 0<a<p,}$

${\displaystyle r=ap^{v}+p^{v+1}{\frac {kn-hm}{n}},}$

что является желаемым результатом.

Это можно повторить, начиная с s вместо r , давая следующее.

Учитывая ненулевое рациональное число r оценки v и целое положительное число k , существует рациональное число неотрицательной оценки и k однозначно определенных неотрицательных целых чисел меньше p таких, что и ${\displaystyle s_{k}}$ ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{k-1}}$ ${\displaystyle a_{0}>0}$

${\displaystyle r=a_{0}p^{v}+a_{1}p^{v+1}+\cdots +a_{k-1}p^{v+k-1}+p^{v+k}s_{k}.}$

p - адические числа по существу получаются путем бесконечного продолжения этого процесса с образованием бесконечного ряда .

р -адический ряд

p - адические числа обычно определяются с помощью p -адических рядов.

p -адический ряд — это формальный степенной ряд вида

${\displaystyle \sum _{i=v}^{\infty }r_{i}p^{i},}$

где — целое число, а — рациональные числа, которые либо равны нулю, либо имеют неотрицательную оценку (т. е. знаменатель не делится на p ). ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle r_{i}}$

Каждое рациональное число можно рассматривать как p -адический ряд с единственным ненулевым членом, состоящим из его факторизации формы, где n и d взаимно просты с p . ${\displaystyle p^{k}{\tfrac {n}{d}},}$

Два p -адических ряда и эквивалентны , если существует целое число N такое, что для каждого целого числа рациональное число ${\textstyle \sum _{i=v}^{\infty }r_{i}p^{i}}$ ${\textstyle \sum _{i=w}^{\infty }s_{i}p^{i}}$ ${\displaystyle n>N,}$

${\displaystyle \sum _{i=v}^{n}r_{i}p^{i}-\sum _{i=w}^{n}s_{i}p^{i}}$

равно нулю или имеет p -адическое значение больше n .

p -адический ряд нормализуется , если все числа такие, что и или все равны нулю. В последнем случае ряд называется нулевым рядом . ${\textstyle \sum _{i=v}^{\infty }a_{i}p^{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle 0\leq a_{i}<p,}$ ${\displaystyle a_{v}>0,}$ ${\displaystyle a_{i}}$

Каждый p -адический ряд эквивалентен ровно одному нормированному ряду. Этот нормализованный ряд получается последовательностью преобразований, которые являются эквивалентностями рядов; см. § Нормализация p-адического ряда ниже.

Другими словами, эквивалентность p -адических рядов является отношением эквивалентности , и каждый класс эквивалентности содержит ровно один нормализованный p -адический ряд.

Обычные операции над рядами (сложение, вычитание, умножение, деление) совместимы с эквивалентностью р -адического ряда. То есть, обозначая эквивалентность с ~ , если S , T и U — ненулевые p -адические ряды такие, что имеет место ${\displaystyle S\sim T,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S\pm U&\sim T\pm U,\\SU&\sim TU,\\1/S&\sim 1/T.\end{aligned}}}$

p - адические числа часто определяются как классы эквивалентности p -адических рядов, аналогично определению действительных чисел как классов эквивалентности последовательностей Коши . Свойство единственности нормализации позволяет однозначно представить любое p -адическое число соответствующим нормализованным p -адическим рядом. Совместимость эквивалентности рядов почти сразу приводит к основным свойствам p -адических чисел:

• Сложение , умножение и мультипликативное обращение p - адических чисел определяются как для формальных степенных рядов с последующей нормализацией результата.
• С помощью этих операций p -адические числа образуют поле , которое является полем расширения рациональных чисел.
• Оценка ненулевого p -адического числа x , обычно называемая показателем степени p в первом ненулевом члене соответствующего нормализованного ряда ; нулевая оценка равна ${\displaystyle v_{p}(x)}$ ${\displaystyle v_{p}(0)=+\infty }$
• p - адическое абсолютное значение ненулевого p -адического числа x соответствует нулевому p -адическому числу. ${\displaystyle |x|_{p}=p^{-v(x)};}$ ${\displaystyle |0|_{p}=0.}$

Нормализация p -адического ряда

Начиная с ряда, первая лемма выше позволяет получить эквивалентный ряд такой, что p -адическая оценка равна нулю. Для этого рассматривается первое ненулевое значение. Если его p -адическая оценка равна нулю, достаточно заменить v на i , то есть начать суммирование с v . В противном случае p -адическая оценка равна и где оценка равна нулю; Итак, можно получить эквивалентную серию, изменив ее на 0 и повторяя этот процесс, в конечном итоге, возможно, после бесконечного числа шагов, мы получаем эквивалентную серию, которая либо является нулевой серией, либо такой серией, что оценка равна нулю. ${\textstyle \sum _{i=v}^{\infty }r_{i}p^{i},}$ ${\displaystyle r_{v}}$ ${\displaystyle r_{i}.}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle j>0,}$ ${\displaystyle r_{i}=p^{j}s_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle r_{i+j}}$ ${\displaystyle r_{i+j}+s_{i}.}$ ${\displaystyle r_{v}}$

Затем, если ряд не нормализован, рассмотрим первый ненулевой ряд , который не является целым числом в интервале. Вторая приведенная выше лемма позволяет записать ее: можно получить n эквивалентных рядов, заменив на и добавив к . Итерация этого процесса, возможно, бесконечное число раз, в конечном итоге дает искомый нормированный p -адический ряд. ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle [0,p-1].}$ ${\displaystyle r_{i}=a_{i}+ps_{i};}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle a_{i},}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle r_{i+1}.}$

Определение

Существует несколько эквивалентных определений p -адических чисел. Тот, который приведен здесь, относительно элементарен, поскольку не включает в себя никаких других математических понятий, кроме тех, которые были представлены в предыдущих разделах. Другие эквивалентные определения используют пополнение кольца дискретного нормирования (см. § p-адические целые числа), пополнение метрического пространства (см. § Топологические свойства) или обратные пределы (см. § Модульные свойства).

p - адическое число можно определить как нормализованный p -адический ряд . Поскольку существуют и другие эквивалентные определения, которые обычно используются, часто говорят, что нормализованный p -адический ряд представляет p - адическое число, вместо того, чтобы говорить, что это p - адическое число.

Можно также сказать, что любой p -адический ряд представляет собой p -адическое число, поскольку каждый p -адический ряд эквивалентен единственному нормализованному p -адическому ряду. Это полезно для определения операций (сложения, вычитания, умножения, деления) p -адических чисел: результат такой операции получается путем нормализации результата соответствующей операции над рядом. Это хорошо определяет операции над p -адическими числами, поскольку операции над рядами совместимы с эквивалентностью p -адических рядов.

С помощью этих операций p -адические числа образуют поле , называемое полем p -адических чисел и обозначаемое или . Существует уникальный гомоморфизм поля рациональных чисел в p -адические числа, который отображает рациональное число в его p -адическое разложение. . Образ этого гомоморфизма обычно отождествляют с полем рациональных чисел. Это позволяет рассматривать p -адические числа как поле расширения рациональных чисел, а рациональные числа как подполе p - адических чисел. ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} _{p}.}$

Оценка ненулевого p -адического числа x , обычно обозначаемая , является показателем степени p в первом ненулевом члене каждой p - адической серии, которая представляет x . По соглашению, то есть оценка нуля равна Эта оценка является дискретной оценкой . Ограничение этой оценки на рациональные числа - это p -адическая оценка , то есть показатель степени v при факторизации рационального числа, поскольку и n , и d взаимно просты с p . ${\displaystyle v_{p}(x),}$ ${\displaystyle v_{p}(0)=\infty ;}$ ${\displaystyle \infty .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{d}}p^{v},}$

p -адические целые числа

Целые p -адические числа — это p -адические числа с неотрицательной оценкой.

p -адическое целое число можно представить в виде последовательности

${\displaystyle x=(x_{1}\operatorname {mod} p,~x_{2}\operatorname {mod} p^{2},~x_{3}\operatorname {mod} p^{3},~\ldots )}$

остатков x _e mod p ^e для каждого целого числа e , удовлетворяющих отношениям совместимости для i < j . ${\displaystyle x_{i}\equiv x_{j}~(\operatorname {mod} p^{i})}$

Каждое целое число является p -адическим целым числом (включая ноль, поскольку ). Рациональные числа вида с d взаимно просты с p и также являются p -адическими целыми числами (по той причине, что d имеет обратный мод p ^e для каждого e ). ${\displaystyle 0<\infty }$ ${\textstyle {\tfrac {n}{d}}p^{k}}$ ${\displaystyle k\geq 0}$

Целые p -адические числа образуют коммутативное кольцо , обозначаемое или , которое обладает следующими свойствами. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}}$

• Это область целостности , поскольку оно является подкольцом поля или поскольку первый член серийного представления произведения двух ненулевых p -адических рядов является произведением их первых членов.
• Единицами (обратимыми элементами) являются p -адические числа нулевой оценки. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$
• Это область главных идеалов , такая, что каждый идеал порождается степенью p .
• Это локальное кольцо размерности Крулля один, поскольку его единственные простые идеалы — это нулевой идеал и идеал, порожденный p , единственный максимальный идеал .
• Это кольцо дискретного нормирования , поскольку это следует из предыдущих свойств.
• Это пополнение локального кольца , которое является локализацией в простом идеале. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}=\{{\tfrac {n}{d}}\mid n,d\in \mathbb {Z} ,\,d\not \in p\mathbb {Z} \},}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p\mathbb {Z} .}$

Последнее свойство дает определение p -адических чисел, эквивалентное приведенному выше: поле p -адических чисел представляет собой поле дробей завершения локализации целых чисел в простом идеале, порожденном p .

Топологические свойства

p -адическая оценка позволяет определить абсолютное значение p -адических чисел: p -адическое абсолютное значение ненулевого p -адического числа x равно

${\displaystyle |x|_{p}=p^{-v_{p}(x)},}$

где - p -адическая оценка x . p -адическое абсолютное значение равно Это абсолютное значение, которое удовлетворяет сильному неравенству треугольника , поскольку для каждых x и y имеется ${\displaystyle v_{p}(x)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle |0|_{p}=0.}$

• ${\displaystyle |x|_{p}=0}$если и только если ${\displaystyle x=0;}$
• ${\displaystyle |x|_{p}\cdot |y|_{p}=|xy|_{p}}$
• ${\displaystyle |x+y|_{p}\leq \max(|x|_{p},|y|_{p})\leq |x|_{p}+|y|_{p}.}$

Более того, если у человека есть ${\displaystyle |x|_{p}\neq |y|_{p},}$ ${\displaystyle |x+y|_{p}=\max(|x|_{p},|y|_{p}).}$

Это делает p -адические числа метрическим пространством и даже ультраметрическим пространством с p -адическим расстоянием, определяемым формулой ${\displaystyle d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}.}$

В качестве метрического пространства p -адические числа образуют пополнение рациональных чисел, наделенных p -адическим абсолютным значением. Это обеспечивает другой способ определения p -адических чисел. Однако в этом случае общую конструкцию пополнения можно упростить, поскольку метрика определяется дискретной оценкой (короче, из каждой последовательности Коши можно выделить подпоследовательность такую, что разности между двумя последовательными членами имеют строго убывающие абсолютные значения ; такая подпоследовательность представляет собой последовательность частичных сумм p -адического ряда, и, таким образом, каждому классу эквивалентности последовательностей Коши можно сопоставить единственный нормализованный p -адический ряд, поэтому для построения пополнения достаточно рассмотреть нормированные p -адический ряд вместо классов эквивалентности последовательностей Коши).

Поскольку метрика определяется на основе дискретной оценки, каждый открытый шар также является закрытым . Точнее, открытый шар равен закрытому шару , где v — наименьшее целое число такое, что Аналогично, где w — наибольшее целое число такое, что ${\displaystyle B_{r}(x)=\{y\mid d_{p}(x,y)<r\}}$ ${\displaystyle B_{p^{-v}}[x]=\{y\mid d_{p}(x,y)\leq p^{-v}\},}$ ${\displaystyle p^{-v}<r.}$ ${\displaystyle B_{r}[x]=B_{p^{-w}}(x),}$ ${\displaystyle p^{-w}>r.}$

Это означает, что p -адические числа образуют локально компактное пространство , а p -адические целые числа, то есть шар , образуют компактное пространство . ${\displaystyle B_{1}[0]=B_{p}(0)}$

p -адическое разложение рациональных чисел

Десятичное разложение положительного рационального числа — это его представление в виде ряда. ${\displaystyle r}$

${\displaystyle r=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}10^{-i},}$

где - целое число, и каждое из них также является целым числом, таким образом, что Это разложение можно вычислить путем деления числителя на знаменатель в длину, что само по себе основано на следующей теореме: Если - такое рациональное число, что существует такое целое число, что и с. Десятичное разложение получается путем многократного применения этого результата к остатку, который в итерации принимает на себя роль исходного рационального числа . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle 0\leq a_{i}<10.}$ ${\displaystyle r={\tfrac {n}{d}}}$ ${\displaystyle 10^{k}\leq r<10^{k+1},}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0<a<10,}$ ${\displaystyle r=a\,10^{k}+r',}$ ${\displaystyle r'<10^{k}.}$ ${\displaystyle r'}$ ${\displaystyle r}$

Аналогично определяется p-адическое разложение рационального числа, но с другим шагом деления . Точнее, при фиксированном простом числе каждое ненулевое рациональное число может быть однозначно записано как где – целое число (возможно, отрицательное), и являются взаимно простыми целыми числами , которые взаимно просты с и положительны. Целое число представляет собой p -адическую оценку , обозначенную и его p -адическую абсолютную величину , обозначенную (абсолютное значение мало, когда оценка велика). Шаг деления состоит из записи ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=p^{k}{\tfrac {n}{d}},}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle v_{p}(r),}$ ${\displaystyle p^{-k}}$ ${\displaystyle |r|_{p}}$

${\displaystyle r=a\,p^{k}+r'}$

где целое число такое, что и является либо нулем, либо рациональным числом таким, что (то есть ). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0\leq a<p,}$ ${\displaystyle r'}$ ${\displaystyle |r'|_{p}<p^{-k}}$ ${\displaystyle v_{p}(r')>k}$

Адическое разложение - это формальный степенной ряд. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle r=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}}$

получается путем бесконечного повторения описанного выше шага деления на последовательных остатках. В p -адическом разложении все являются целыми числами, такими что ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle 0\leq a_{i}<p.}$

Если с , процесс в конце концов останавливается с нулевым остатком; в этом случае ряд завершается конечными членами с нулевым коэффициентом и представляет собой представление в базе -p . ${\displaystyle r=p^{k}{\tfrac {n}{1}}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle r}$

Существование и вычисление p -адического разложения рационального числа вытекает из тождества Безу следующим образом. Если, как указано выше, и и взаимно просты, существуют целые числа и такие, что So ${\displaystyle r=p^{k}{\tfrac {n}{d}},}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle td+up=1.}$

${\displaystyle r=p^{k}{\tfrac {n}{d}}(td+up)=p^{k}nt+p^{k+1}{\frac {un}{d}}.}$

Тогда евклидово деление на дает ${\displaystyle nt}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle nt=qp+a,}$

с Это дает шаг деления как ${\displaystyle 0\leq a<p.}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}r&=&p^{k}(qp+a)+p^{k+1}{\frac {un}{d}}\\&=&ap^{k}+p^{k+1}\,{\frac {qd+un}{d}},\\\end{array}}}$

так что в итерации

${\displaystyle r'=p^{k+1}\,{\frac {qd+un}{d}}}$

это новое рациональное число.

Единственность шага деления и всего p -адического разложения проста: если есть Это означает, что делит Поскольку и должно быть верно следующее: и Таким образом, получается и, поскольку делит , должно быть то, что ${\displaystyle p^{k}a_{1}+p^{k+1}s_{1}=p^{k}a_{2}+p^{k+1}s_{2},}$ ${\displaystyle a_{1}-a_{2}=p(s_{2}-s_{1}).}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a_{1}-a_{2}.}$ ${\displaystyle 0\leq a_{1}<p}$ ${\displaystyle 0\leq a_{2}<p,}$ ${\displaystyle 0\leq a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}<p.}$ ${\displaystyle -p<a_{1}-a_{2}<p,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a_{1}-a_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}=a_{2}.}$

p - адическое разложение рационального числа — это ряд, который сходится к рациональному числу, если применить определение сходящегося ряда с p -адическим абсолютным значением. В стандартной p -адической записи цифры записываются в том же порядке, что и в стандартной системе счисления по основанию- p , а именно с возрастанием степеней основания влево. Это означает, что построение цифр происходит в обратном порядке, и предел возникает в левой части.

p - адическое разложение рационального числа в конечном итоге является периодическим . И наоборот , ряд с сходится (для p -адического абсолютного значения) к рациональному числу тогда и только тогда, когда он в конечном итоге является периодическим; в данном случае ряд представляет собой p -адическое разложение этого рационального числа. Доказательство аналогично доказательству аналогичного результата для повторяющихся десятичных дробей . ${\textstyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i},}$ ${\displaystyle 0\leq a_{i}<p}$

Пример

Давайте вычислим 5-адическое разложение тождества Безу для 5 и знаменателя 3 (для более крупных примеров это можно вычислить с помощью расширенного алгоритма Евклида ). Таким образом ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}.}$ ${\displaystyle 2\cdot 3+(-1)\cdot 5=1}$

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=2+5({\frac {-1}{3}}).}$

Для следующего шага необходимо расшириться (множитель 5 следует рассматривать как « сдвиг » p -адической оценки, аналогичный основе любого числового расширения, и, следовательно, он сам не должен расширяться). Чтобы разложить , мы начинаем с того же тождества Безу и умножаем его на , давая ${\displaystyle -1/3}$ ${\displaystyle -1/3}$ ${\displaystyle -1}$

${\displaystyle -{\frac {1}{3}}=-2+{\frac {5}{3}}.}$

«Целая часть» находится не в правильном интервале. Итак, чтобы получить давая, нужно использовать евклидово деление на . ${\displaystyle -2}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle -2=3-1\cdot 5,}$

${\displaystyle -{\frac {1}{3}}=3-5+{\frac {5}{3}}=3-{\frac {10}{3}}=3+5({\frac {-2}{3}}),}$

и расширение на первом этапе становится

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=2+5\cdot (3+5\cdot ({\frac {-2}{3}}))=2+3\cdot 5+{\frac {-2}{3}}\cdot 5^{2}.}$

Аналогично, у человека есть

${\displaystyle -{\frac {2}{3}}=1-{\frac {5}{3}},}$

и

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=2+3\cdot 5+1\cdot 5^{2}+{\frac {-1}{3}}\cdot 5^{3}.}$

Поскольку «остаток» уже найден, процесс можно легко продолжить, давая коэффициенты как для нечетных степеней пяти, так и для четных степеней. Или в стандартной 5-адической записи ${\displaystyle -{\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=\ldots 1313132_{5}}$

с многоточием слева. ${\displaystyle \ldots }$

Позиционные обозначения

Можно использовать позиционную запись, аналогичную той, которая используется для представления чисел по основанию p .

Пусть это нормализованный p -адический ряд, т. е. каждый является целым числом в интервале. Можно предположить, что , установив для (if ) и добавив полученные нулевые члены в ряд. ${\textstyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle [0,p-1].}$ ${\displaystyle k\leq 0}$ ${\displaystyle a_{i}=0}$ ${\displaystyle 0\leq i<k}$ ${\displaystyle k>0}$

Если позиционное обозначение состоит из последовательного написания чисел в порядке убывания значений i , часто с p, появляющимся справа в качестве индекса: ${\displaystyle k\geq 0,}$ ${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle \ldots a_{n}\ldots a_{1}{a_{0}}_{p}}$

Итак, расчет приведенного выше примера показывает, что

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=\ldots 1313132_{5},}$

и

${\displaystyle {\frac {25}{3}}=\ldots 131313200_{5}.}$

Когда разделительная точка добавляется перед цифрами с отрицательным индексом и, если индекс p присутствует, он появляется сразу после разделительной точки. Например, ${\displaystyle k<0,}$

${\displaystyle {\frac {1}{15}}=\ldots 3131313._{5}2,}$

и

${\displaystyle {\frac {1}{75}}=\ldots 1313131._{5}32.}$

Если p -адическое представление конечно слева (то есть для больших значений i ), то оно имеет значение неотрицательного рационального числа вида с целыми числами. Эти рациональные числа являются в точности неотрицательными рациональными числами, имеющими конечное представление в базе p . Для этих рациональных чисел оба представления одинаковы. ${\displaystyle a_{i}=0}$ ${\displaystyle np^{v},}$ ${\displaystyle n,v}$

Модульные свойства

Факторкольцо можно отождествить с кольцом целых чисел по модулю. Это можно показать, заметив, что каждое p -адическое целое число, представленное его нормализованным p -адическим рядом, конгруэнтно по модулю своей частичной сумме , значение которой является целым числом в интервале Непосредственная проверка показывает, что это определяет изоморфизм колец от до ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p^{n}.}$ ${\displaystyle p^{n}}$ ${\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}a_{i}p^{i},}$ ${\displaystyle [0,p^{n}-1].}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .}$

Обратный предел колец определяется как кольцо, образованное последовательностями такими, что и для каждого i . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots }$ ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z} }$ ${\textstyle a_{i}\equiv a_{i+1}{\pmod {p^{i}}}}$

Отображение, которое отображает нормализованный p -адический ряд в последовательность его частичных сумм, представляет собой кольцевой изоморфизм от до обратного предела. Это обеспечивает другой способ определения p -адических целых чисел ( с точностью до изоморфизма). ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}.}$

Это определение p -адических целых чисел особенно полезно для практических вычислений, поскольку позволяет строить p -адические целые числа путем последовательных приближений.

Например, для вычисления p -адического (мультипликативного) обратного целого числа можно использовать метод Ньютона , начиная с обратного по модулю p ; затем каждый шаг Ньютона вычисляет обратный по модулю из обратного по модулю ${\textstyle p^{n^{2}}}$ ${\textstyle p^{n}.}$

Тот же метод можно использовать для вычисления p -адического квадратного корня из целого числа, которое является квадратичным вычетом по модулю p . Кажется, это самый быстрый из известных методов проверки того, является ли большое целое число квадратом: достаточно проверить, является ли данное целое число квадратом значения, найденного в . Применение метода Ньютона для нахождения квадратного корня требует, чтобы число более чем в два раза превышало заданное целое число, что быстро удовлетворяется. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$ ${\textstyle p^{n}}$

Лифтинг Хенселя — это аналогичный метод, который позволяет «поднять» факторизацию по модулю p многочлена с целыми коэффициентами до факторизации по модулю для больших значений n . Это обычно используется алгоритмами полиномиальной факторизации . ${\textstyle p^{n}}$

Обозначения

Существует несколько различных соглашений по написанию p -адических расширений. До сих пор в этой статье использовались обозначения для p -адических разложений, в которых степени p возрастают справа налево. Например , с этим обозначением справа налево 3-адическое разложение записывается как ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}},}$

${\displaystyle {\frac {1}{5}}=\dots 121012102_{3}.}$

При выполнении арифметических действий в этой записи цифры переносятся влево . Также возможно написать p -адические разложения так, чтобы степени p увеличивались слева направо, а цифры переносились вправо. При таком обозначении слева направо 3-адическое разложение имеет вид ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{5}}=2.01210121\dots _{3}{\mbox{ or }}{\frac {1}{15}}=20.1210121\dots _{3}.}$

p -адические расширения могут быть записаны с другими наборами цифр вместо {0, 1, ...,  p  - 1 }. Например, 3 -адическое разложение можно записать с использованием сбалансированных троичных цифр { 1 , 0, 1 }, где 1 представляет отрицательную единицу, как ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{5}}=\dots {\underline {1}}11{\underline {11}}11{\underline {11}}11{\underline {1}}_{\text{3}}.}$

Фактически любой набор из p целых чисел, которые находятся в разных классах вычетов по модулю p , может использоваться как p -адические цифры. В теории чисел представители Тейхмюллера иногда используются как цифры. ^[2]

Обозначение кавычек — это вариантp-адического представлениярациональных чисел, который был предложен в 1979 годуЭриком ХенеромиНайджелом Хорспуломдля реализации на компьютерах (точной) арифметики с этими числами. ^[3]

Мощность

Оба и несчетны и имеют мощность континуума . ^[4] Это следует из p -адического представления, которое определяет биекцию на множестве степеней . Это следует из его выражения в виде счетного бесконечного объединения копий : ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \{0,\ldots ,p-1\}^{\mathbb {N} }.}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}=\bigcup _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{i}}}\mathbb {Z} _{p}.}$

Алгебраическое замыкание

Q _p содержит Q и является полем характеристики 0 .

Поскольку 0 можно записать как сумму квадратов, ^[5] Q _p нельзя превратить в упорядоченное поле .

R имеет только одно собственноеалгебраическое расширение: C ; другими словами, этоквадратичное расширениеужеалгебраически замкнуто. Напротив,обозначенноеалгебраическое замыкание Q _p имеетбесконечную степень,^[6]т. е. Q _p имеет бесконечное число неэквивалентных алгебраических расширений. Также в отличие от случая действительных чисел, хотя существует уникальное расширениеp-адической оценки,последнее не является (метрически) полным. ^[7][8]Его (метрическое) пополнение называется C _p илиΩ _p . ^[8][9]Здесь достигается конец, поскольку C _p алгебраически замкнуто. ^[8][10]Однако в отличие от C это поле не являетсялокально компактным. ^[9] ${\displaystyle {\overline {\mathbf {Q} _{p}}},}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {Q} _{p}}},}$

Cp и C изоморфны как кольца, поэтому мы можем рассматривать Cp как C _{, наделённый} экзотической метрикой. Доказательство существования такого изоморфизма полей опирается на аксиому выбора и не дает явного примера такого изоморфизма (т. е. оно не является конструктивным ).

Если K — конечное расширение Галуа Qp _, группа Галуа разрешима . Таким образом , группа Галуа разрешима . ${\displaystyle \operatorname {Gal} \left(\mathbf {K} /\mathbf {Q} _{p}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} \left({\overline {\mathbf {Q} _{p}}}/\mathbf {Q} _{p}\right)}$

Мультипликативная группа

Q _p содержит n -е круговое поле ( n > 2 ) тогда и только тогда, когда n  | п - 1 . ^[11] Например, n -е круговое поле является подполем Q ₁₃ тогда и только тогда, когда n = 1, 2, 3, 4, 6 или 12 . В частности, в Qp нет мультипликативного p - кручения _, если p > 2 . Кроме того, −1 — единственный нетривиальный элемент кручения в Q ₂ .

Для натурального числа k индекс мультипликативной группы k -й степени ненулевых элементов Q _p in конечен . ${\displaystyle \mathbf {Q} _{p}^{\times }}$

Число e , определяемое как сумма обратных факториалов , не является членом какого-либо p - адического поля; но е ^п ∈ Q _п ( п ≠ 2) . Для p = 2 нужно брать не ниже четвертой степени. ^[12] (Таким образом, число со свойствами, подобными е , а именно корень p -й ^{степени} из ep , является членом для всех p .) ${\displaystyle {\overline {\mathbf {Q} _{p}}}}$

Локально-глобальный принцип

Говорят, что локально-глобальный принцип Гельмута Хассе справедлив для уравнения, если его можно решить относительно рациональных чисел тогда и только тогда, когда его можно решить над действительными числами и над p -адическими числами для каждого простого  числа p . Этот принцип справедлив, например, для уравнений, заданных квадратичными формами , но не работает для высших полиномов от нескольких неопределенных.

Рациональная арифметика с подъемом Гензеля

Обобщения и родственные концепции

Действительные и p -адические числа являются дополнениями рациональных чисел; аналогичным образом можно заполнить и другие поля, например поля общих алгебраических чисел . Это будет описано сейчас.

Предположим, что D — дедекиндова область , а E — ее поле частных . Выберите ненулевой простой идеал P из D . Если x ненулевой элемент E , то xD является дробным идеалом и может быть однозначно факторизован как произведение положительных и отрицательных степеней ненулевых простых идеалов D . Мы пишем ord _P ( x ) для показателя степени P в этой факторизации, и для любого выбора числа c, большего 1, мы можем установить

${\displaystyle |x|_{P}=c^{-\!\operatorname {ord} _{P}(x)}.}$

Завершая по этому абсолютному значению |⋅| _P дает поле E _P , правильное обобщение поля p -адических чисел на этот случай. Выбор c не меняет завершение (разные варианты дают одну и ту же концепцию последовательности Коши, то есть одно и то же завершение). Удобно, когда поле вычетов D / P конечно, взять в качестве c размер D / P .

Например, когда E — числовое поле , теорема Островского гласит, что каждое нетривиальное неархимедово абсолютное значение на E возникает как некоторое |⋅| _П . Остальные нетривиальные абсолютные значения E возникают из-за различных вложений E в действительные или комплексные числа. (Фактически, неархимедовы абсолютные значения можно рассматривать как просто различные вложения E в поля C _p , таким образом ставя описание всех нетривиальных абсолютных значений числового поля на общую основу.)

Часто необходимо одновременно отслеживать все вышеупомянутые завершения, когда E является числовым полем (или, в более общем смысле, глобальным полем ), которые рассматриваются как кодирование «локальной» информации. Это достигается с помощью колец аделей и групп иделей .

p -адические целые числа могут быть расширены до p -адических соленоидов . Существует отображение из в группу кругов , слоями которой являются p -адические целые числа , аналогично тому, как существует отображение из в круг, слоями которого являются . ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Смотрите также

• неархимедов
• p-адическая квантовая механика
• p-адическая теория Ходжа
• p-адическая теория Тейхмюллера
• p-адический анализ
• p-адическая оценка
• 1+2+4+8+...
• k -адическое обозначение
• C-минимальная теория
• Лемма Гензеля
• Локально компактное поле
• Теорема Малера
• Проконечное целое число
• Интеграл Фолькенборна
• Дополнение до двух

Сноски

Примечания

1. Введение переводчика, стр. 35: «Действительно, оглядываясь назад, становится очевидным, что за концепцией Куммера идеальных чисел стоит дискретная оценка ». (Дедекинд и Вебер 2012, стр. 35)

Цитаты

1. (Хензель, 1897 г.)
2. (Хазевинкель 2009, стр. 342)
3. (Хенер и Хорспул, 1979, стр. 124–134)
4. (Роберт 2000, Глава 1, раздел 1.1)
5. Согласно лемме Гензеля, Q ₂ содержит квадратный корень из −7 , так что , если p > 2 , то также по лемме Гензеля Q _p содержит квадратный корень из 1 − p , таким образом ${\displaystyle 2^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+\left({\sqrt {-7}}\right)^{2}=0,}$ ${\displaystyle (p-1)\times 1^{2}+\left({\sqrt {1-p}}\right)^{2}=0.}$
6. (Гувеа 1997, следствие 5.3.10)
7. (Гувеа 1997, теорема 5.7.4)
8. (Кассельс 1986, стр. 149)
9. (Коблиц 1980, стр. 13)
10. (Гувеа 1997, предложение 5.7.8)
11. (Гувеа 1997, предложение 3.4.2)
12. (Роберт 2000, раздел 4.1)

Рекомендации

• Кассельс, JWS (1986), Местные поля , Тексты для студентов Лондонского математического общества, том. 3, Издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-31525-5, Збл  0595.12006
• Дедекинд, Ричард ; Вебер, Генрих (2012), Теория алгебраических функций одной переменной , История математики, том. 39, Американское математическое общество, ISBN. 978-0-8218-8330-3. - Перевод на английский язык Джона Стиллвелла «Теории алгебраических функций» (1882).
• Гувеа, FQ (март 1994 г.), «Чудесное доказательство», American Mathematical Monthly , 101 (3): 203–222, doi : 10.2307/2975598, JSTOR  2975598
• Гувеа, Фернандо К. (1997),p -адические числа: введение (2-е изд.), Springer, ISBN 3-540-62911-4, Збл  0874.11002
• Хазевинкель, М., изд. (2009), Справочник по алгебре, том. 6, Северная Голландия, с. 342, ISBN 978-0-444-53257-2
• Хенер, Эрик CR ; Хорспул, Р. Найджел (1979), «Новое представление рациональных чисел для быстрой простой арифметики», SIAM Journal on Computing , 8 (2): 124–134, CiteSeerX  10.1.1.64.7714 , doi : 10.1137/0208011
• Хензель, Курт (1897), «Über eine neue Begründung der Theorie der алгебраического Zahlen», Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 6 (3): 83–88
• Келли, Джон Л. (2008) [1955], Общая топология , Нью-Йорк: Ishi Press, ISBN 978-0-923891-55-8
• Коблиц, Нил (1980),p -адический анализ: краткий курс недавних работ , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 46, Издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-28060-5, Збл  0439.12011
• Роберт, Ален М. (2000), Курс p -адического анализа , Springer, ISBN 0-387-98669-3

дальнейшее чтение

• Бахман, Джордж (1964), Введение в p -адические числа и теорию оценки , Academic Press, ISBN 0-12-070268-1
• Боревич З.И. ; Шафаревич И.Р. (1986), Теория чисел, Чистая и прикладная математика, вып. 20, Бостон, Массачусетс: Academic Press, ISBN 978-0-12-117851-2, МР  0195803
• Коблиц, Нил (1984),p -адические числа, p -адический анализ и дзета-функции , Тексты для аспирантов по математике , том. 58 (2-е изд.), Springer, ISBN 0-387-96017-1
• Малер, Курт (1981), p-адические числа и их функции , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 76 (2-е изд.), Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-23102-7, Збл  0444.12013
• Стин, Линн Артур (1978), Контрпримеры в топологии , Дувр, ISBN 0-486-68735-Х

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «p-адическое число». Математический мир .
• p-адическое число в Интернет-энциклопедии математики Springer