Проконечное целое число

В математике бесконечное целое число — это элемент кольца ( иногда произносится как «зи-хэт» или «зед-хэт»).

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=\varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\prod _{p}\mathbb {Z} _{p}}$

где обратный предел

${\displaystyle \varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

указывает на бесконечное пополнение числа , индекс пробегает все простые числа и является кольцом p -адических целых чисел . Эта группа важна из-за ее связи с теорией Галуа , этальной гомотопической теорией и кольцом аделей . Кроме того, он представляет собой простой и понятный пример проконечной группы . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

Строительство

Проконечные целые числа можно построить как набор последовательностей остатков, представленных в виде ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle \upsilon }$

$${\displaystyle \upsilon =(\upsilon _{1}{\bmod {1}},~\upsilon _{2}{\bmod {2}},~\upsilon _{3}{\bmod {3}},~\ldots )}$$

${\displaystyle m\ |\ n\implies \upsilon _{m}\equiv \upsilon _{n}{\bmod {m}}}$

Поточечное сложение и умножение делают его коммутативным кольцом.

Кольцо целых чисел вкладывается в кольцо бесконечных целых чисел посредством канонической инъекции:

$${\displaystyle \eta :\mathbb {Z} \hookrightarrow {\widehat {\mathbb {Z} }}}$$

универсальному свойству проконечных группнепрерывной ${\displaystyle n\mapsto (n{\bmod {1}},n{\bmod {2}},\dots ).}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \rightarrow H}$ ${\displaystyle g:{\widehat {\mathbb {Z} }}\rightarrow H}$ ${\displaystyle f=g\eta }$

Использование факториальной системы счисления

Каждое целое число имеет уникальное представление в факториальной системе счисления как ${\displaystyle n\geq 0}$

$${\displaystyle n=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}i!\qquad {\text{with }}c_{i}\in \mathbb {Z} }$$

${\displaystyle 0\leq c_{i}\leq i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3},\ldots }$

Его представление факториала можно записать как . ${\displaystyle (\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}}$

Точно так же бесконечное целое число может быть однозначно представлено в факториальной системе счисления как бесконечная строка , где каждая является целым числом, удовлетворяющим . ^[1] ${\displaystyle (\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle 0\leq c_{i}\leq i}$

Цифры определяют значение mod бесконечного целого числа . Более конкретно, существует кольцевой гомоморфизм, отправляющий ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3},\ldots ,c_{k-1}}$ ${\displaystyle k!}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\to \mathbb {Z} /k!\,\mathbb {Z} }$

$${\displaystyle (\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}\mapsto \sum _{i=1}^{k-1}c_{i}i!\mod k!}$$

Использование китайской теоремы об остатках

Другой способ понять конструкцию бесконечных целых чисел — использовать китайскую теорему об остатках . Напомним, что для целого числа с простой факторизацией ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}}$$

кольцевой изоморфизм

$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\cong \mathbb {Z} /p_{1}^{a_{1}}\times \cdots \times \mathbb {Z} /p_{k}^{a_{k}}}$$

сюръекция

$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\to \mathbb {Z} /m}$$

$${\displaystyle \mathbb {Z} /p_{i}^{a_{i}}\to \mathbb {Z} /p_{i}^{b_{i}}}$$

${\displaystyle a_{i}\geq b_{i}}$

$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}}$$

p

Явно изоморфизм равен ${\displaystyle \phi :\prod _{p}\mathbb {Z} _{p}\to {\widehat {\mathbb {Z} }}}$

$${\displaystyle \phi ((n_{2},n_{3},n_{5},\cdots ))(k)=\prod _{q}n_{q}\mod k}$$

${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p_{i}^{d_{i}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=\prod _{i=1}^{l}p_{i}^{d_{i}}}$ ${\displaystyle p_{1},...,p_{l}}$

связи

Топологические свойства

Множество бесконечных целых чисел имеет индуцированную топологию, в которой оно представляет собой компактное хаусдорфово пространство , исходя из того факта, что его можно рассматривать как замкнутое подмножество бесконечного прямого произведения .

$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\subset \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$$

топологией произведениятеореме Тихоновадискретная топология ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

Топология на может быть определена метрикой ^[1] ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$

$${\displaystyle d(x,y)={\frac {1}{\min\{k\in \mathbb {Z} _{>0}:x\not \equiv y{\bmod {(k+1)!}}\}}}}$$

Поскольку сложение бесконечных целых чисел непрерывно, это компактная абелева группа по Хаусдорфу, и, следовательно, ее двойственная по Понтрягину группа должна быть дискретной абелевой группой. ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$

Фактически, двойственная по Понтрягину абелева группа, снабженная дискретной топологией (обратите внимание, что это не топология подмножества, унаследованная от , которая не является дискретной). Двойственный Понтрягину явно строится по функции ^[2] ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$

$${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \times {\widehat {\mathbb {Z} }}\to U(1),\,(q,a)\mapsto \chi (qa)}$$

^[3] ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {Q} ,f}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \to U(1),\,\alpha \mapsto e^{2\pi i\alpha }}$

Отношения с Адель

Тензорное произведение представляет собой кольцо конечных аделей. ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$

$${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {Q} ,f}={\prod _{p}}'\mathbb {Q} _{p}}$$

ограниченный продукт^[4] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle '}$

$${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {Q} }\cong \mathbb {R} \times ({\hat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )}$$

Приложения в теории Галуа и теории гомотопий Этала

Для алгебраического замыкания конечного поля порядка q группу Галуа можно вычислить явно. Из того факта , что автоморфизмы задаются эндоморфизмом Фробениуса , группа Галуа алгебраического замыкания задается обратным пределом групп , поэтому ее группа Галуа изоморфна группе бесконечных целых чисел ^[5] ${\displaystyle {\overline {\mathbf {F} }}_{q}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$ ${\displaystyle {\text{Gal}}(\mathbf {F} _{q^{n}}/\mathbf {F} _{q})\cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

$${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {\mathbf {F} }}_{q}/\mathbf {F} _{q})\cong {\widehat {\mathbb {Z} }}}$$

абсолютной группы Галуа

Связь с этальными фундаментальными группами алгебраических торов

Эту конструкцию можно интерпретировать по-разному. Один из них взят из теории гомотопий Этале , которая определяет фундаментальную группу Этале как бесконечное пополнение автоморфизмов. ${\displaystyle \pi _{1}^{et}(X)}$

$${\displaystyle \pi _{1}^{et}(X)=\lim _{i\in I}{\text{Aut}}(X_{i}/X)}$$

кавер ${\displaystyle X_{i}\to X}$

$${\displaystyle \pi _{1}^{et}({\text{Spec}}(\mathbf {F} _{q}))\cong {\hat {\mathbb {Z} }}}$$

тора.

$${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}\hookrightarrow \pi _{1}^{et}(\mathbb {G} _{m})}$$

полиномиальных отображений

$${\displaystyle (\cdot )^{n}:\mathbb {G} _{m}\to \mathbb {G} _{m}}$$

коммутативных колец

$${\displaystyle f:\mathbb {Z} [x,x^{-1}]\to \mathbb {Z} [x,x^{-1}]}$$

фундаментальной точной последовательности ${\displaystyle x\mapsto x^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}={\text{Spec}}(\mathbb {Z} [x,x^{-1}])}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \pi _{1}^{et}(\mathbb {G} _{m}/{\text{Spec(k)}})}$ ${\displaystyle {\text{Gal}}({\overline {k}}/k)}$

Теория полей классов и бесконечные целые числа

Теория полей классов — это раздел теории алгебраических чисел , изучающий абелевы расширения поля. Учитывая глобальное поле , абелианизация его абсолютной группы Галуа ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

$${\displaystyle {\text{Gal}}({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )^{ab}}$$

картой Артина ^[6] ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$

$${\displaystyle \Psi _{\mathbb {Q} }:\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times }\to {\text{Gal}}({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )^{ab}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times }&\cong (\mathbb {R} \times {\hat {\mathbb {Z} }})/\mathbb {Z} \\&={\underset {\leftarrow }{\lim }}\mathbb {(} {\mathbb {R} }/m\mathbb {Z} )\\&={\underset {x\mapsto x^{m}}{\lim }}S^{1}\\&={\hat {\mathbb {Z} }}\end{aligned}}}$$

давая желаемое отношение. Аналогичное утверждение существует и для локальной теории полей классов, поскольку каждое конечное абелево расширение индуцируется из конечного расширения поля . ${\displaystyle K/\mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}/\mathbb {F} _{p}}$

Смотрите также

• p-адическое число
• Кольцо Адели
• Сверхъестественное число

Примечания

1. Ленстра, Хендрик. «Теория проконечных чисел» (PDF) . Математическая ассоциация Америки . Проверено 11 августа 2022 г.
2. Конн и Консани 2015, § 2.4.
3. К. Конрад, Группа символов Q
4. Вопросы о некоторых картах, включающих кольца конечных аделей и их единичные группы.
5. Милн 2013, гл. I Пример А. 5.
6. "Теория полей классов - lccs" . www.math.columbia.edu . Проверено 25 сентября 2020 г.

Рекомендации

• Конн, Ален; Консани, Катерина (2015). «Геометрия арифметического узла». arXiv : 1502.05580 [math.AG].
• Милн, Дж. С. (23 марта 2013 г.). «Теория полей классов» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 19 июня 2013 г. Проверено 7 июня 2020 г.

Внешние ссылки

• http://ncatlab.org/nlab/show/profinite+completion+of+the+целые числа
• https://web.archive.org/web/20150401092904/http://www.noncommutative.org/supernatural-numbers-and-adeles/
• https://euro-math-soc.eu/system/files/news/Hendrik%20Lenstra_Profinite%20number%20theory.pdf