Личность Безу

В математике тождество Безу (также называемое леммой Безу ), названное в честь Этьена Безу , который доказал его для многочленов, представляет собой следующую теорему :

Тождество Безу. Пусть $a$ и $b$ — целые числа с наибольшим общим делителем $d$ . Тогда существуют целые числа $x$ и $y$ такие, что $ax$ $+$ $by$ $=$ $d$ . Более того, целые числа вида $az$ $+$ $bt$ в точности кратны $d$ .

Здесь наибольший общий делитель $0$ и $0$ принимается равным $0$ . Целые числа $x$ и $y$ называются коэффициентами Безу для $(a, b)$ ; они не уникальны. Пара коэффициентов Безу может быть вычислена с помощью расширенного алгоритма Евклида , и эта пара в случае целых чисел является одной из двух пар, таких что и равенство происходит только в том случае, если один из $a$ и $b$ кратен другому. $|x|\leq |b/d|$ $|y|\leq |a/d|;$

Например, наибольший общий делитель 15 и 69 равен 3, а 3 можно записать как комбинацию 15 и 69 как $3 = 15 \times (-9) + 69 \times 2$ с коэффициентами Безу —9 и 2.

Многие другие теоремы элементарной теории чисел, такие как лемма Евклида или китайская теорема об остатках , вытекают из тождества Безу.

Домен Безу — это целостная область , в которой сохраняется тождество Безу. В частности, тождество Безу справедливо в областях главных идеалов . Таким образом, каждая теорема, вытекающая из тождества Безу, верна во всех областях главных идеалов.

Структура решений

Если $a$ и $b$ не равны нулю и одна пара коэффициентов Безу $(x, y)$ была вычислена (например, с использованием расширенного алгоритма Евклида ), все пары могут быть представлены в виде

\left(xk{\frac {b}{d}},\ y+k{\frac {a}{d}}\right),

k

d

a

b

Если $a$ и $b$ оба отличны от нуля, то ровно две из этих пар коэффициентов Безу удовлетворяют условиям

|x|\leq \left|{\frac {b}{d}}\right|\quad {\text{and}}\quad |y|\leq \left|{\frac {a} d}}\вправо|,

a

b

Это основано на свойстве евклидова деления : для двух ненулевых целых чисел $c$ и $d$ , если $d$ не делит $c$ , существует ровно одна пара $(q, r)$ такая, что и и еще одна такая, что и $c=dq+r$ $0<r<|d|,$ $c=dq+r$ $-|d|<r<0.$

Две пары малых коэффициентов Безу получаются из заданного $(x, y)$ путем выбора в качестве $k$ в приведенной выше формуле любого из двух целых чисел рядом с . ${\frac {x}{b/d}}$

Расширенный алгоритм Евклида всегда создает одну из этих двух минимальных пар.

Пример

Пусть $a = 12$ и $b = 42$ , тогда $НОД (12, 42) = 6$ . Тогда получаются следующие тождества Безу с коэффициентами Безу, написанными красным для минимальных пар и синим для остальных.

{\begin{aligned}\vdots \\12&\times ({\color {blue}{-10}})&+\;\;42&\times \color {blue}{3}&=6\\12&\times ({\color {red}{-3}})&+\;\;42&\times \color {red}{1}&=6\\12&\times \color {red}{4}&+\;\;42&\times ({\color {red}{-1}})&=6\\12&\times \color {blue}{11}&+\;\;42&\times ({\color {blue}{-3}})&=6\\12&\times \color {blue}{18}&+\;\;42&\times ({\color {blue}{-5}})&=6\\\vdots \end{aligned}}

Если — исходная пара коэффициентов Безу, то получается минимальная пара через $k$ $= 2$ , соответственно $k$ $= 3$ ; то есть $(18 - 2 \cdot 7, -5 + 2 \cdot 2) = (4, -1)$ и $(18 - 3 \cdot 7, -5 + 3 \cdot 2) = (-3, 1)$ . $(x,y)=(18,-5)$ ${\frac {18}{42/6}}\in [2,3]$

Доказательство

Для любых ненулевых целых чисел $a$ и $b$ пусть множество $S$ непусто, поскольку оно содержит либо $a$ , либо $-$ $a$ (с и ). Поскольку $S$ — непустой набор положительных целых чисел, он имеет минимальный элемент по принципу хорошего порядка . Чтобы доказать, что $d$ является наибольшим общим делителем $a$ и $b$ , необходимо доказать, что $d$ является общим делителем $a$ и $b$ и что для любого другого общего делителя $c$ выполнено равенство $S=\{ax+by:x,y\in \mathbb {Z} {\text{ and }}ax+by>0\}.$ $x=\pm 1$ $y=0$ $d=as+bt$ $c\leq d.$

Евклидово деление a на $d$ можно записать $как$

a=dq+r\quad {\text{with}}\quad 0\leq r<d.

r

S\cup \{0\}

{\begin{aligned}r&=a-qd\\&=a-q(as+bt)\\&=a(1-qs)-bqt.\end{aligned}}

r

d

S

r

S

r

d

a

d

b

d

a

b

ax+by

r\in S\cup \{0\}.

0\leq r<d,

Теперь пусть $c$ — любой общий делитель $a$ и $b$ ; то есть существуют $u$ и $v$ такие, что и $a=cu$ $b=cv.$

{\begin{aligned}d&=as+bt\\&=cus+cvt\\&=c(us+vt).\end{aligned}}

c

d

d>0,

c\leq d.

Обобщения

Для трех и более целых чисел

Тождество Безу можно расширить до более чем двух целых чисел: если

\gcd(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=d

x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}

d=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}

d - наименьшее целое положительное число этой формы
каждое число этой формы кратно d

Для полиномов

Тождество Безу не всегда справедливо для полиномов. Например, при работе с кольцом полиномов целых чисел: наибольший общий делитель $2 x$ и $x 2$ равен x , но не существует полиномов с целочисленными коэффициентами p и q , удовлетворяющих условию $2 xp + x 2 q = x$ .

Однако тождество Безу работает для одномерных многочленов над полем точно так же, как и для целых чисел. В частности, коэффициенты Безу и наибольший общий делитель могут быть вычислены с помощью расширенного алгоритма Евклида .

Поскольку общие корни двух многочленов являются корнями их наибольшего общего делителя, тождество Безу и основная теорема алгебры влекут за собой следующий результат:

Для одномерных многочленов

f

g

с коэффициентами в поле существуют многочлены a и b такие, что

af + bg = 1

тогда и только тогда, когда

f

g

не имеют общего корня ни в каком алгебраически замкнутом поле (обычно в поле комплексных чисел ).

Обобщение этого результата на любое количество полиномов и неопределённых чисел — это Nullstellensatz Гильберта .

Для главных идеальных областей

Как отмечалось во введении, тождество Безу работает не только в кольце целых чисел, но и в любой другой области главного идеала (PID). То есть, если $R$ — это PID, $a$ и $b$ — элементы $R$ , а $d$ — наибольший общий делитель $a$ и $b$ , то в $R$ существуют элементы $x$ и $y$ такие, что Причина в том, что идеал является главным и равно $ax+by=d.$ $Ra+Rb$ $Rd.$

Область целостности, в которой выполняется тождество Безу, называется областью Безу .

История

Французский математик Этьен Безу (1730–1783) доказал это тождество для многочленов. ^[1] Это утверждение для целых чисел можно найти уже в работе более раннего французского математика Клода Гаспара Баше де Мезириака (1581–1638). ^[2]^[3]^[4]

Смотрите также

Теорема AF + BG - об алгебраических кривых, проходящих через все точки пересечения двух других кривых, аналог тождества Безу для однородных многочленов от трех неопределенных.
Диофантово уравнение - Полиномиальное уравнение, целочисленные решения которого ищутся.
Лемма Евклида . Простой делитель произведения делит один из множителей.
Основная теорема арифметики : целые числа имеют уникальные простые факторизации.

Примечания

^ Безу, Э. (1779). Общая теория алгебраических уравнений. Париж, Франция: доктор философии. Пьер.
^ Тиньоль, Жан-Пьер (2001). Теория алгебраических уравнений Галуа . Сингапур: World Scientific. ISBN 981-02-4541-6.
^ Клод Гаспар Баше (сьер де Мезириак) (1624). Problèmes plaisants & délectables qui se font par les nombres (2-е изд.). Лион, Франция: Pierre Rigaud & Associates. стр. 18–33. На этих страницах Баше доказывает (без уравнений) «Предложение XVIII. Deux nombres premiers entre eux estant donnez, treuver le moindre Multiple de chascun d'iceux, превосходящее de l'unité un Multiple de l'autre». (Дано два числа, [которые] относительно простые, найти наименьшее кратное каждого из них, [такое, чтобы] одно кратное превышало другое на единицу (1).) Эта проблема (а именно, ax - by = 1) является частным случаем уравнения Безу и был использован Баше для решения проблем, появляющихся на страницах 199 и далее.
↑ См. также: Мартен Буллинк (февраль 2009 г.). «Модулярная арифметика до К. Ф. Гаусса: систематизация и обсуждение проблем остатка в Германии 18-го века» (PDF) . История Математики . 36 (1): 48–72. дои : 10.1016/j.hm.2008.08.009 . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.

Внешние ссылки

Онлайн-калькулятор личности Безу.
Вайсштейн, Эрик В. «Личность Безу». Математический мир .