Оценочное кольцо

Понятие в алгебре

В абстрактной алгебре кольцо нормирования — это область целостности D такая, что для каждого ненулевого элемента x его поля частных F хотя бы один из x или x ⁻¹ принадлежит D.

Для данного поля F , если D является подкольцом F таким , что либо x , либо x ⁻¹ принадлежит D для каждого ненулевого x в F , то D называется кольцом нормирования для поля F или местом в F. Поскольку F в этом случае действительно является полем частных D , кольцо нормирования поля является кольцом нормирования. Другой способ охарактеризовать кольца нормирования поля F состоит в том, что кольца нормирования D поля F имеют F в качестве поля частных, а их идеалы полностью упорядочены путем включения ; или, что то же самое, их главные идеалы полностью упорядочены путем включения. В частности, каждое нормированное кольцо является локальным кольцом .

Кольца нормирования поля — это максимальные элементы множества локальных подколец в поле, частично упорядоченных по доминированию или уточнению , ^[1] где

${\displaystyle (A,{\mathfrak {m}}_{A})}$доминирует , если и . ^[2] ${\displaystyle (B,{\mathfrak {m}}_{B})}$ ${\displaystyle A\supseteq B}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{A}\cap B={\mathfrak {m}}_{B}}$

Каждое локальное кольцо в поле K мажорируется некоторым кольцом нормирования поля K.

Область целостности, локализация которой в любом простом идеале является кольцом нормирования, называется областью Прюфера .

Определения

Существует несколько эквивалентных определений кольца оценок (характеристику с точки зрения доминирования см. ниже). Для области целостности D и ее поля частных K следующие условия эквивалентны:

1. Для каждого ненулевого x в K хотя бы один из x или x − ¹ находится в D.
2. Идеалы D полностью упорядочены по включению.
3. Главные идеалы D полностью упорядочены по включению (т.е. элементы в D полностью упорядочены с точностью до единиц по делимости ).
4. Существует полностью упорядоченная абелева группа Γ (называемая группой значений ) и нормирование ν: K → Γ ∪ {∞} с D = {  x ∈ K | ν( х ) ≥ 0 }.

Эквивалентность первых трех определений легко вытекает. Теорема (Крулл, 1939) утверждает, что любое кольцо , удовлетворяющее первым трем условиям, удовлетворяет четвертому: возьмем Γ как фактор K × / ^D × единичной ^группы K по единичной группе D и возьмем ν как естественная проекция. Мы можем превратить Γ в полностью упорядоченную группу , объявив вычетные классы элементов группы D «положительными». ^[а]

Более того, для любой вполне упорядоченной абелевой группы Γ существует кольцо нормирования D с группой значений Γ (см. ряд Хана ).

Из того факта, что идеалы кольца нормирования полностью упорядочены, можно заключить, что кольцо нормирования является локальной областью и что каждый конечно порожденный идеал кольца нормирования является главным (т. е. кольцо нормирования является областью Безу ). Фактически, это теорема Крулля о том, что область целостности является кольцом нормирования тогда и только тогда, когда она является локальной областью Безу. ^[3] Из этого также следует, что кольцо нормирования нётерово тогда и только тогда, когда оно является областью главных идеалов . В этом случае оно либо является полем, либо имеет ровно один ненулевой простой идеал; в последнем случае оно называется кольцом дискретного нормирования . (По соглашению поле не является кольцом дискретного нормирования.)

Группа значений называется дискретной, если она изоморфна аддитивной группе целых чисел , а кольцо нормирования имеет группу дискретного нормирования тогда и только тогда, когда оно является кольцом дискретного нормирования . ^[4]

Очень редко кольцо оценки может относиться к кольцу, которое удовлетворяет второму или третьему условию, но не обязательно является доменом. Более распространенный термин для этого типа колец — однорядное кольцо .

Примеры

• Любое поле представляет собой кольцо оценок. Например, поле рациональных функций на алгебраическом многообразии . ^{[5] [6]} ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} (X)}$ ${\displaystyle X}$
• Простой не-пример — это область целостности, поскольку обратным обобщению является . ${\displaystyle \mathbb {C} [X]}$ ${\displaystyle f/g\in \mathbb {C} (X)}$ ${\displaystyle g/f\not \in \mathbb {C} [X]}$
• Поле силового ряда :

${\displaystyle \mathbb {F} ((X))=\left\{f(X)=\!\sum _{i>-\infty }^{\infty }a_{i}X^{i}\,:\ a_{i}\in \mathbb {F} \right\}}$

имеет оценку . Подкольцо также является кольцом оценок. ${\displaystyle v(f)=\inf \nolimits _{a_{n}\neq 0}n}$ ${\displaystyle \mathbb {F} [[X]]}$

• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)},}$локализация целых чисел в простом идеале ( p ), состоящая из отношений, где числитель — любое целое число , а знаменатель не делится на p . Поле дробей – это поле рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$
• Кольцо мероморфных функций на всей комплексной плоскости , имеющих ряд Маклорена ( разложение в ряд Тейлора в нуле), является кольцом нормирования. Полем дробей являются функции, мероморфные на всей плоскости. Если f не имеет ряда Маклорена, то он есть у 1/ f .
• Любое кольцо целых p -адических чисел для данного простого числа p является локальным кольцом с полем частных p -адических чисел . Целое замыкание целых p -адических чисел также является локальным кольцом с полем частных ( алгебраическое замыкание p -адических чисел). Оба и являются оценочными кольцами. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\text{cl}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\text{cl}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\text{cl}}}$
• Пусть k — упорядоченное поле . Элемент k называется конечным, если он лежит между двумя целыми числами n < x < m ; в противном случае его называют бесконечным. Множество D конечных элементов поля k является кольцом нормирования. Множество элементов x таких, что x ∈ D и x ⁻¹ ∉ D , является множеством бесконечно малых элементов; а элемент x такой, что x ∉ D и x ⁻¹ ∈ D , называется бесконечным.
• Кольцо F конечных элементов гипервещественного поля * R (упорядоченное поле, содержащее действительные числа ) является кольцом нормирования * R . F состоит из всех гипердействительных чисел, отличающихся от стандартного вещественного на бесконечно малую величину, что эквивалентно высказыванию гипердействительного числа x такого, что − n < x < n для некоторого стандартного целого числа n . Поле вычетов , конечные гипердействительные числа по модулю идеала бесконечно малых гипердействительных чисел, изоморфно действительным числам.
• Типичный геометрический пример — алгебраические плоские кривые . Рассмотрим кольцо многочленов и неприводимый многочлен в этом кольце. Тогда кольцо является кольцом полиномиальных функций на кривой . Выберите точку такую, что и это обычная точка на кривой; т. е. локальное кольцо R в точке является регулярным локальным кольцом размерности Крулля один или кольцом дискретного нормирования . ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(f)}$ ${\displaystyle \{(x,y):f(x,y)=0\}}$ ${\displaystyle P=(P_{x},P_{y})\in \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle f(P)=0}$
• Например, рассмотрим включение . Все это подкольца в области ограниченных снизу степенных рядов . ${\displaystyle (\mathbb {C} [[X^{2}]],(X^{2}))\hookrightarrow (\mathbb {C} [[X]],(X))}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ((X))}$

Доминирование и интегральная замкнутость

Единицы , или обратимые элементы, кольца нормирования — это элементы x в D такие , что x  ⁻¹ также является членом D. Другие элементы D , называемые неединицами, не имеют обратного в D и образуют идеал M. Этот идеал является максимальным среди ( полностью упорядоченных) идеалов D. Поскольку M — максимальный идеал , факторкольцо D / M является полем, называемым полем вычетов D.

В общем, мы говорим, что локальное кольцо доминирует над локальным кольцом, если и ; другими словами, включение является локальным кольцевым гомоморфизмом . Каждое локальное кольцо в поле K мажорируется некоторым кольцом нормирования поля K. Действительно, множество, состоящее из всех подколец R кольца K , содержащих A , непусто и индуктивно; таким образом, имеет максимальный элемент по лемме Цорна . Мы утверждаем, что R — кольцо нормирования. R — локальное кольцо с максимальным идеалом, содержащим по максимальности. Опять же по максимальности оно также целозамкнуто. Теперь, если , то по максимальности и таким образом можно написать: ${\displaystyle (S,{\mathfrak {m}}_{S})}$ ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}}_{R})}$ ${\displaystyle S\supseteq R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{S}\cap R={\mathfrak {m}}_{R}}$ ${\displaystyle R\subseteq S}$ ${\displaystyle (A,{\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle 1\not \in {\mathfrak {p}}R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}R}$ ${\displaystyle x\not \in R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}R[x]=R[x]}$

${\displaystyle 1=r_{0}+r_{1}x+\cdots +r_{n}x^{n},\quad r_{i}\in {\mathfrak {p}}R}$.

Поскольку это единичный элемент, это означает, что он целочислен по R ; таким образом, это в R . Это доказывает, что R является кольцом нормирования. ( R доминирует над A , поскольку его максимальный идеал содержит по построению.) ${\displaystyle 1-r_{0}}$ ${\displaystyle x^{-1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Локальное кольцо R в поле K является кольцом нормирования тогда и только тогда, когда оно является максимальным элементом множества всех локальных колец, содержащихся в K , частично упорядоченных по доминантности. Это легко следует из вышесказанного. ^[б]

Пусть A — подкольцо поля K и гомоморфизм колец в алгебраически замкнутое поле k . Тогда f продолжается до гомоморфизма колец , D — некоторое кольцо нормирования поля K , содержащее A. (Доказательство: пусть — максимальное расширение, которое, очевидно, существует по лемме Цорна. По максимальности R — локальное кольцо с максимальным идеалом, содержащим ядро ​​f . Если S — локальное кольцо, доминирующее над R , то S алгебраично над R ; если не, содержит кольцо полиномов , до которого продолжается g , что противоречит максимальности. Отсюда следует , что это расширение алгебраического поля . Таким образом, расширяет g , следовательно, S = R .) ${\displaystyle f:A\to k}$ ${\displaystyle g:D\to k}$ ${\displaystyle g:R\to k}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle S/{\mathfrak {m}}_{S}}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}_{R}}$ ${\displaystyle S\to S/{\mathfrak {m}}_{S}\hookrightarrow k}$

Если подкольцо R поля K содержит кольцо нормирования D поля K , то, согласно определению 1, R также является кольцом нормирования поля K . В частности, R локально и его максимальный идеал стягивается к некоторому простому идеалу D , скажем, . Тогда поскольку доминирует , которое является кольцом нормирования, поскольку идеалы полностью упорядочены. Это наблюдение сводится к следующему: ^[7] существует биективное соответствие множества всех подколец кольца K , содержащих D . В частности, D целозамкнуто ^{[8] [c]} и размерность Крулля D есть число собственных подколец кольца K , содержащих D . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R=D_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle D_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mapsto D_{\mathfrak {p}},\operatorname {Spec} (D)\to }$

В действительности, целочисленное замыкание области целостности A в поле частных K A есть пересечение всех колец нормирования K , содержащих A . ^[9] Действительно, целое замыкание содержится в пересечении, поскольку кольца нормирования целозамкнуты. Обратно, пусть x принадлежит K , но не является целым по A. Поскольку идеал не , ^[d] он содержится в максимальном идеале . Тогда существует кольцо нормирования R , которое доминирует в локализации at . С , . ${\displaystyle x^{-1}A[x^{-1}]}$ ${\displaystyle A[x^{-1}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle A[x^{-1}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle x^{-1}\in {\mathfrak {m}}_{R}}$ ${\displaystyle x\not \in R}$

Доминирование используется в алгебраической геометрии . Пусть X — алгебраическое многообразие над полем k . Тогда мы говорим, что кольцо нормирования R имеет «центр x на X  », если оно доминирует над локальным кольцом структурного пучка в точке x . ^[10] ${\displaystyle k(X)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x,X}}$

Идеалы в оценочных кольцах

Мы можем описать идеалы в кольце нормирования посредством его группы ценностей.

Пусть Г — вполне упорядоченная абелева группа . Подмножество Δ из Γ называется сегментом , если оно непусто и для любого α из Δ любой элемент между −α и α также находится в Δ (включая конечные точки). Подгруппа группы Γ называется изолированной подгруппой, если она является сегментом и является собственной подгруппой.

Пусть D — кольцо нормирования со нормированием v и группой значений Γ. Для любого подмножества A из D мы позволяем быть дополнением объединения и в . Если I — собственный идеал, то — сегмент . Фактически, отображение определяет инвертирующую включение биекцию между множеством собственных идеалов D и множеством сегментов . ^[11] При этом соответствии ненулевые простые идеалы группы D биективно соответствуют изолированным подгруппам группы Γ. ${\displaystyle \Gamma _{A}}$ ${\displaystyle v(A-0)}$ ${\displaystyle -v(A-0)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma _{I}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle I\mapsto \Gamma _{I}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Пример: Кольцо p -адических целых чисел является кольцом оценки с группой значений . Нулевая подгруппа соответствует единственному максимальному идеалу , а вся группа — нулевому идеалу . Максимальный идеал — единственная изолированная подгруппа группы . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (p)\subseteq \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Множество изолированных подгрупп полностью упорядочено по включению. Высота или ранг r (Γ ) группы Γ определяется как мощность множества изолированных подгрупп группы Γ. Поскольку ненулевые простые идеалы полностью упорядочены и соответствуют изолированным подгруппам группы Γ, высота Γ равна размерности Крулля кольца нормирования D , связанного с Γ.

Наиболее важным частным случаем является высота один, что эквивалентно тому, что Γ является подгруппой действительных чисел ℝ при сложении (или, что то же самое, положительных действительных чисел ℝ ⁺ при умножении). Кольцо нормирования с нормированием высоты единица имеет соответствующее абсолютное значение , определяющее ультраметрическое место . Особым случаем являются кольца дискретного нормирования, упомянутые ранее.

Рациональный ранг rr (Γ) определяется как ранг группы значений как абелевой группы:

${\displaystyle \mathrm {dim} _{\mathbb {Q} }(\Gamma \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} ).}$

Места

Общее определение

Местом поля K называется гомоморфизм колец p кольца нормирования D поля K в некоторое поле такое, что для любого , .  Образ места — это поле, называемое полем вычетов p . Например, каноническая карта — это место. ${\displaystyle x\not \in D}$ ${\displaystyle p(1/x)=0}$ ${\displaystyle D\to D/{\mathfrak {m}}_{D}}$

Пример

Пусть A — дедекиндова область и простой идеал. Тогда каноническая карта — это место. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}\to k({\mathfrak {p}})}$

Специализация мест

Мы говорим, что место p специализируется на месте p' , обозначаемом , если кольцо нормирования p содержит кольцо нормирования p ' . В алгебраической геометрии мы говорим, что простой идеал специализируется на том, если . Эти два понятия совпадают: тогда и только тогда, когда простой идеал, соответствующий p, специализируется на простой идеал, соответствующий p' в некотором кольце нормирования (напомним, что если кольца нормирования одного и того же поля, то D соответствует простому идеалу .) ${\displaystyle p\rightsquigarrow p'}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}'}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subseteq {\mathfrak {p}}'}$ ${\displaystyle p\rightsquigarrow p'}$ ${\displaystyle D\supseteq D'}$ ${\displaystyle D'}$

Пример

Например, в функциональном поле некоторого алгебраического многообразия каждый простой идеал, содержащийся в максимальном идеале, дает специализацию . ${\displaystyle \mathbb {F} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}(R)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\rightsquigarrow {\mathfrak {m}}}$

Примечания

Можно показать: если , то для некоторой позиции q поля вычетов p . (Наблюдение — кольцо нормирования и пусть q — соответствующее место; остальное механическое.) Если D — кольцо нормирования p , то его размерность Крулля — это мощность специализаций, отличных от p к p . Таким образом, для любой точки p с кольцом нормирования D поля K над полем k имеем: ${\displaystyle p\rightsquigarrow p'}$ ${\displaystyle p'=q\circ p|_{D'}}$ ${\displaystyle k(p)}$ ${\displaystyle p(D')}$ ${\displaystyle k(p)}$

${\displaystyle \operatorname {tr.deg} _{k}k(p)+\dim D\leq \operatorname {tr.deg} _{k}K}$.

Если p — место и A — подкольцо кольца нормирования p , то оно называется центром p в A. ${\displaystyle \operatorname {ker} (p)\cap A}$

Места в бесконечности

Для функционального поля на аффинном многообразии существуют значения, не связанные ни с одним из простых чисел . Эти оценки называются местами на бесконечности .[1] Например, аффинная линия имеет функциональное поле . Место, связанное с локализацией ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{1}}$ ${\displaystyle k(x)}$

${\displaystyle k\left[{\frac {1}{x}}\right]}$

в максимальном идеале

${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\left({\frac {1}{x}}\right)}$

это место в бесконечности.

Примечания

1. Точнее, Γ полностью упорядочен по определению тогда и только тогда, когда где [ x ] и [ y ] являются классами эквивалентности в Γ. ср. Эфрат (2006), с. 39 ${\displaystyle [x]\geq [y]}$ ${\displaystyle xy^{-1}\in D}$
2. Доказательство: если R — максимальный элемент, то он доминируется кольцом нормирования; таким образом, оно само должно быть оценочным кольцом. Обратно, пусть R — кольцо нормирования, а S — локальное кольцо, которое доминирует над R , но не доминирует над R . Существует x , который находится в S , но не находится в R. Тогда находится в R и фактически в максимальном идеале R . Но тогда это абсурд. Следовательно, такого S быть не может . ${\displaystyle x^{-1}}$ ${\displaystyle x^{-1}\in {\mathfrak {m}}_{S}}$
3. Чтобы более наглядно увидеть, что кольца нормирования целозамкнуты, предположим, что x ⁿ  +  a ₁ x ^{n −1}  + ... +  a ₀  = 0. Тогда деление на x ^{n −1} дает нам x = − a ₁  − .. . -  а ₀ Икс ^{- п  +1} . Если бы x не было в D , то x ⁻¹ было бы в D , и это выражало бы x как конечную сумму элементов в D , так что x был бы в D , противоречие.
4. В общем случае является целым по A тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x^{-1}}$ ${\displaystyle xA[x]=A[x].}$

Цитаты

1. Хартсхорн 1977, Теорема I.6.1A.
2. Эфрат 2006, с. 55.
3. Кон 1968, Предложение 1.5.
4. Эфрат 2006, с. 43.
5. Роль колец нормирования в алгебраической геометрии
6. Существует ли риманова поверхность, соответствующая каждому расширению поля? Нужна ли еще какая-нибудь гипотеза?
7. Зариски и Сэмюэл 1975, гл. VI, Теорема 3.
8. Эфрат 2006, с. 38.
9. Мацумура 1989, Теорема 10.4.
10. Хартсхорн 1977, Глава II. Упражнение 4.5.
11. Зариски и Сэмюэл 1975, гл. VI, Теорема 15.

Источники

• Бурбаки, Николя (1972). Коммутативная алгебра . Элементы математики (Первое изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN 978-020100644-5.
• Кон, П.М. (1968), «Кольца Безу и их подкольца» (PDF) , Proc. Кембриджская философия. Соц. , 64 (2): 251–264, Бибкод : 1968PCPS...64..251C, doi : 10.1017/s0305004100042791, ISSN  0008-1981, MR  0222065, S2CID  123667384, Zbl  0157.08401
• Эфрат, Идо (2006), Оценки, упорядочения и К -теория Милнора , Математические обзоры и монографии, том. 124, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 0-8218-4041-Х, Збл  1103.12002
• Фукс, Ласло; Сальсе, Луиджи (2001), Модули над ненетеровыми областями , Математические обзоры и монографии, том. 84, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-1963-0, МР  1794715, Збл  0973.13001
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9, МР  0463157
• Крулль, Вольфганг (1939), "Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche. VI. Der allgemeine Diskriminantensatz. Unverzweigte Ringerweiterungen", Mathematische Zeitschrift , 45 (1): 1–19, doi : 10.1007/BF01580269, ISSN  0025-5 874, МР  1545800, S2CID  121374449, Збл  0020.34003
• Мацумура, Хидеюки (1989), Коммутативная теория колец, Кембриджские исследования по высшей математике, том. 8, Перевод с японского Майлза Рида (второе изд.), ISBN 0-521-36764-6, Збл  0666.13002
• Зариски, Оскар ; Сэмюэл, Пьер (1975), Коммутативная алгебра. Том. II , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90171-8, МР  0389876