Прюферский домен

В математике область Прюфера — это тип коммутативного кольца , которое обобщает области Дедекинда в ненетеровом контексте . Эти кольца обладают прекрасными идеальными и теоретико -модульными свойствами дедекиндовых областей, но обычно только для конечно порожденных модулей . Домены Прюфера названы в честь немецкого математика Хайнца Прюфера .

Примеры

Кольцо целых функций на открытой комплексной плоскости образует область Прюфера. Кольцо целочисленных многочленов с рациональными коэффициентами является областью Прюфера, а кольцо целочисленных многочленов - нет (Наркевич 1995, стр. 56). Хотя каждое числовое кольцо является дедекиндовой областью , их объединение, кольцо алгебраических целых чисел , является областью Прюфера. Точно так же, как область Дедекинда является локально кольцом дискретного нормирования , область Прюфера является локально кольцом нормирования , так что области Прюфера действуют как ненетеровы аналоги областей Дедекинда. Действительно, домен , который является прямым пределом подколец , являющихся доменами Прюфера , является доменом Прюфера (Fuchs & Salce 2001, стр. 93–94). $C$ $\mathbb {Z} [X]$

Многие области Прюфера также являются областями Безу , то есть не только конечно порожденные идеалы проективны , но даже свободны (то есть являются главными ). Например, кольцо аналитических функций на любой некомпактной римановой поверхности является областью Безу (Хельмер, 1940), а кольцо целых алгебраических чисел — областью Безу.

Определения

Область Прюфера — это полунаследственная область целостности . Эквивалентно, область Прюфера можно определить как коммутативное кольцо без делителей нуля , в котором каждый ненулевой конечно порожденный идеал обратим. Известно множество различных характеристик доменов Прюфера. Бурбаки перечисляет четырнадцать из них, (Gilmer 1972) — около сорока, а (Fontana, Huckaba & Papick 1997, стр. 2) — девять.

Например, следующие условия для области целостности R эквивалентны тому, что R является областью Прюфера, т. е. каждый конечно порожденный идеал R является проективным :

Идеальная арифметика

Каждый ненулевой конечно порожденный идеал I кольца R обратим : т.е. где и - поле частных R . Эквивалентно, каждый ненулевой идеал, порожденный двумя элементами, обратим. $\ I\cdot I^{-1}=R$ $I^{-1}=\{r\in q(R):rI\subseteq R\}$ ${\ displaystyle q (R)}$
Для любых (конечно порожденных) ненулевых идеалов I , J , K из R справедливо следующее свойство дистрибутивности:

I\cap (J+K)=(I\cap J)+(I\cap K).

Для любых (конечно порожденных) идеалов I , J , K из R справедливо следующее свойство дистрибутивности:

I(J\cap K)=IJ\cap IK.

Для любых (конечно порожденных) ненулевых идеалов I , J из R справедливо следующее свойство:

(I+J)(I\cap J)=IJ.

Для любых конечно порожденных идеалов I , J , K из R , если IJ = IK , то J = K или I = 0.

Локализации

Для каждого простого идеала P кольца R локализация R _P в P является областью нормирования .
Для каждого максимального идеала m в R локализация R m _R в m является областью нормирования.
R целозамкнуто , и каждое надкольцо R (то есть кольцо, содержащееся между R и его полем частных) является пересечением локализаций R.

Плоскостность

Любой R - модуль без кручения является плоским .
Любой R -модуль без кручения является плоским.
Каждый идеал R плоский
Каждое перекольцо R является R -плоским.
Каждый подмодуль плоского R -модуля плоский.
Если M и N — R -модули без кручения, то их тензорное произведение M ⊗ _RN не имеет кручения.
Если I и J — два идеала кольца R , то I ⊗ _R J не имеет кручения.
Подмодуль кручения каждого конечно порожденного модуля является прямым слагаемым (Капланский, 1960).

Интегральное закрытие

Каждое перекрытие является целостно замкнутым. $R$
$R$ является целозамкнутым и существует некоторое положительное целое число такое, что для каждого в одном имеется . $п$ $а$ $б$ $R$ $(a,b)^{n}=(a^{n},b^{n})$
$R$ является целозамкнутым, и каждый элемент поля частных является корнем многочлена , коэффициенты которого порождают как -модуль (Гилмер и Хоффманн 1975, стр. 81). $K$ $R$ $R[x]$ $R$ $R$

Характеристики

Коммутативное кольцо является дедекиндовой областью тогда и только тогда, когда оно является прюферовой областью и нетерово .
Хотя области Прюфера не обязательно должны быть нетеровыми, они должны быть когерентными , поскольку конечно порожденные проективные модули конечно связаны .
Хотя идеалы областей Дедекинда могут быть порождены двумя элементами, для каждого положительного целого числа n существуют области Прюфера с конечно порожденными идеалами, которые не могут быть порождены менее чем n элементами (Swan 1984). Однако конечно порожденные максимальные идеалы областей Прюфера являются двупорожденными (Fontana, Huckaba & Papick 1997, стр. 31).
Если R — прюферова область и K — ее поле частных , то любое кольцо S такое, что R ⊆ S ⊆ K, является прюферовой областью.
Если R — область Прюфера, K — ее поле частных и L — поле алгебраического расширения K , то интегральное замыкание R в L является областью Прюфера (Fuchs & Salce 2001, стр. 93) .
Конечно порожденный модуль M над областью Прюфера проективен тогда и только тогда, когда он не имеет кручения. Фактически это свойство характеризует домены Прюфера.
(Теорема Гилмера – Хоффмана) Предположим, что это область целостности, ее поле частных и целое замыкание в . Тогда это область Прюфера тогда и только тогда, когда каждый элемент является корнем многочлена, по крайней мере, один из коэффициентов которого является единицей ( Гилмер и Хоффманн 1975, теорема 2). $R$ $K$ $S$ $R$ $K$ $S$ $K$ $R[X]$ $R$
Коммутативная область является дедекиндовой областью тогда и только тогда, когда подмодуль кручения является прямым слагаемым всякий раз, когда он ограничен ( ограниченность M означает rM = 0 для некоторого r в R ) (Чейз, 1960). Аналогично, коммутативная область является областью Прюфера тогда и только тогда, когда подмодуль кручения является прямым слагаемым всякий раз, когда он конечно порожден (Капланский 1960).

Обобщения

В более общем смысле, кольцо Прюфера — это коммутативное кольцо, в котором каждый ненулевой конечно порожденный идеал, содержащий ненулевой делитель, обратим (то есть проективен).

Коммутативное кольцо называется арифметическим, если для каждого максимального идеала m в R локализация Rm _кольца R в точке m является цепным кольцом . Согласно этому определению, домен Прюфера является арифметической областью. Фактически арифметическая область — это то же самое, что и область Прюфера.

Некоммутативные правые или левые полунаследственные области также можно рассматривать как обобщения областей Прюфера.

Смотрите также