Кольцо целых чисел

В математике кольцо целых чисел алгебраического числового поля — это кольцо всех целых алгебраических чисел, содержащихся в . ^[1] Целое алгебраическое число — это корень монического многочлена с целыми коэффициентами : . ^[2] Это кольцо часто обозначается как или . Поскольку любое целое число принадлежит и является целым элементом , кольцо всегда является подкольцом . $K$ $K$ $x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{0}$ $O_{K}$ ${\mathcal {O}}_{K}$ $K$ $K$ $\mathbb {Z}$ $O_{K}$

Кольцо целых чисел является простейшим возможным кольцом целых чисел. ^[a] А именно, где — поле рациональных чисел . ^[3] И действительно, в алгебраической теории чисел элементы часто называют «рациональными целыми числами» из-за этого. $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} =O_{\mathbb {Q} }$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$

Следующий простейший пример — кольцо гауссовых целых чисел , состоящее из комплексных чисел , действительные и мнимые части которых являются целыми числами. Это кольцо целых чисел в числовом поле гауссовых рациональных чисел , состоящее из комплексных чисел, действительные и мнимые части которых являются рациональными числами. Подобно рациональным целым числам, является евклидовой областью . $\mathbb {Z} [i]$ $\mathbb {Q} (i)$ $\mathbb {Z} [i]$

Кольцо целых чисел алгебраического числового поля — это единственный максимальный порядок в поле. Это всегда дедекиндова область . ^[4]

Характеристики

Кольцо целых чисел $O K$ является конечно-порождённым $Z$ -модулем . Действительно, это свободный $Z$ -модуль , и, таким образом, имеет целочисленный базис $,$ то есть базис $b$ $1$ $, ...,$ $b$ $n$ $\in O$ $K$ Q $-векторного$ пространства K такой, что каждый элемент $x$ в $O$ $K$ может быть единственным образом представлен в виде

x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i},

при $a i \in Z.$ [ ⁵ $]$ Ранг $n$ модуля $O$ K как свободного $Z$ -модуля равен степени K $над$ $Q.$

Примеры

Вычислительный инструмент

Полезным инструментом для вычисления целочисленного замыкания кольца целых чисел в алгебраическом поле $K / Q$ является дискриминант . Если $K$ имеет степень $n$ над $Q$ и образует базис $K$ над $Q$ , положим . Тогда, является подмодулем Z -модуля, $натянутого$ на . ^[6]^{стр. 33} Фактически, если $d$ является свободным от квадратов, то образует целочисленный базис для . ^[6]^{стр. 35} $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in {\mathcal {O}}_{K}$ $d=\Delta _{K/\mathbb {Q} }(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ ${\mathcal {O}}_{K}$ $\alpha _{1}/d,\ldots ,\alpha _{n}/d$ $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ ${\mathcal {O}}_{K}$

Циклотомические расширения

Если $p$ — простое число , $ζ$ — корень степени $p$ из единицы , а $K = Q (ζ)$ — соответствующее циклотомическое поле , то целочисленный базис $O K = Z [ζ]$ задается формулой $(1, ζ, ζ 2, ..., ζ p -2)$ . ^[7]

Квадратичные расширения

Если — целое число, свободное от квадратов , и — соответствующее квадратичное поле , то — кольцо квадратных целых чисел , и его интегральный базис задается выражением $(1, (1 +$ $\sqrt$ $d$ $) /2),$ если $d$ $\equiv 1 ($ $mod$ $4)$ , и выражением $(1,$ $\sqrt$ $d$ $)$ , если $d$ $\equiv 2, 3 (mod 4)$ . ^[8] Его можно найти, вычислив минимальный многочлен произвольного элемента , где . $d$ $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,)$ ${\mathcal {O}}_{K}$ $a+b{\sqrt {d}}\in \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})$ $a,b\in \mathbf {Q}$

Мультипликативная структура

В кольце целых чисел каждый элемент имеет разложение на неприводимые элементы , но кольцо не обязано обладать свойством однозначной факторизации : например, в кольце целых чисел $Z [\sqrt -5]$ элемент 6 имеет два существенно различных разложения на неприводимые элементы: ^[4]^[9]

6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}}).

Кольцо целых чисел всегда является дедекиндовой областью , и поэтому имеет уникальную факторизацию идеалов на простые идеалы . ^[10]

Единицы кольца целых чисел $O$ $K$ являются конечно порожденной абелевой группой по теореме Дирихле о единицах . Подгруппа кручения состоит из корней единицы K. $Набор$ свободных от кручения генераторов называется набором фундаментальных единиц . ^[11]

Обобщение

Кольцо целых чисел неархимедова локального поля $F$ определяется как множество всех элементов $F$ с абсолютным значением $\leq 1$ ; это кольцо из-за сильного неравенства треугольника. ^[12] Если $F$ является пополнением алгебраического числового поля, его кольцо целых чисел является пополнением последнего кольца целых чисел. Кольцо целых чисел алгебраического числового поля может быть охарактеризовано как элементы, которые являются целыми числами в каждом неархимедовом пополнении. ^[3]

Например, целые $p$ -адические числа $Z p$ представляют собой кольцо целых $p$ -адических чисел $Q p$ .

Смотрите также

Минимальный многочлен (теория поля)
Интегральное замыкание – дает метод вычисления интегральных замыканий.

Примечания

^ Кольцо целых чисел , без указания поля, относится к кольцу «обычных» целых чисел, прототипическому объекту для всех этих колец. Это следствие неоднозначности слова «целое число» в абстрактной алгебре. $\mathbb {Z}$

Цитаты

^ Alaca & Williams 2003, стр. 110, определения 6.1.2-3.
^ Alaca & Williams 2003, стр. 74, определения 4.1.1-2.
^ ab Cassels 1986, стр. 192.
^ ab Samuel 1972, стр. 49.
^ Касселс (1986) стр. 193
^ ab Baker. «Алгебраическая теория чисел» (PDF) . стр. 33–35.
↑ Сэмюэл 1972, стр. 43.
↑ Сэмюэл 1972, стр. 35.
^ Артин, Майкл (2011). Алгебра . Прентис Холл. п. 360. ИСБН 978-0-13-241377-0.
↑ Сэмюэл 1972, стр. 50.
↑ Сэмюэл 1972, стр. 59–62.
^ Касселс 1986, стр. 41.

Ссылки

Алака, Сабан; Уильямс, Кеннет С. (2003). Введение в алгебраическую теорию чисел. Cambridge University Press . ISBN 9780511791260.
Cassels, JWS (1986). Локальные поля. Тексты для студентов Лондонского математического общества. Том 3. Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 0-521-31525-5. Збл 0595.12006.
Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория теории . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Том. 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.
Сэмюэл, Пьер (1972). Алгебраическая теория чисел . Герман/Кершоу.