Местное поле

Локально компактное топологическое поле

В математике поле K называется неархимедовым локальным полем , если оно полно относительно метрики, индуцированной дискретной оценкой v , и если его поле вычетов k конечно. ^[1] В общем случае локальное поле является локально компактным топологическим полем относительно недискретной топологии . ^[2] Действительные числа R и комплексные числа C (с их стандартными топологиями) являются архимедовыми локальными полями. Для локального поля определенная на нем оценка может быть одного из двух типов, каждый из которых соответствует одному из двух основных типов локальных полей: тем, в которых оценка архимедова , и тем, в которых она не является таковой. В первом случае локальное поле называют архимедовым локальным полем , во втором случае его называют неархимедовым локальным полем . ^[3] Локальные поля естественным образом возникают в теории чисел как пополнения глобальных полей . ^[4]

Хотя архимедовы локальные поля достаточно хорошо известны в математике уже по меньшей мере 250 лет, первые примеры неархимедовых локальных полей, полей p -адических чисел для положительного простого целого числа p , были введены Куртом Гензелем в конце XIX века.

Каждое локальное поле изоморфно (как топологическое поле) одному из следующих: ^[3]

• Архимедовы локальные поля ( характеристика ноль ) : действительные числа R и комплексные числа C.
• Неархимедовы локальные поля нулевой характеристики: конечные расширения p -адических чисел Q p ₍ где p — любое простое число ).
• Неархимедовы локальные поля характеристики p (для p — любого заданного простого числа): поле формальных рядов Лорана F _q (( T )) над конечным полем F _q , где q — степень числа p .

В частности, в теории чисел важны классы локальных полей, которые проявляются как пополнения алгебраических числовых полей относительно их дискретного оценивания, соответствующего одному из их максимальных идеалов . Научные работы по современной теории чисел часто рассматривают более общее понятие, требуя только, чтобы поле вычетов было совершенным с положительной характеристикой, не обязательно конечным. ^[5] В этой статье используется предыдущее определение.

Индуцированное абсолютное значение

Учитывая такое абсолютное значение поля K , на K можно определить следующую топологию : для положительного действительного числа m определим подмножество B _m поля K следующим образом:

${\displaystyle B_{m}:=\{a\in K:|a|\leq m\}.}$

Тогда b+Bm _{образуют} базис окрестностей b в K.

Наоборот, топологическое поле с недискретной локально компактной топологией имеет абсолютное значение, определяющее его топологию. Его можно построить с помощью меры Хаара аддитивной группы поля.

Основные черты неархимедовых локальных полей

Для неархимедова локального поля F (абсолютное значение которого обозначается |·|) важны следующие объекты:

• его кольцо целых чисел , которое является кольцом дискретного оценивания , является замкнутым единичным шаром F и компактно ; ${\displaystyle {\mathcal {O}}=\{a\in F:|a|\leq 1\}}$
• единицы в его кольце целых чисел , которое образует группу и является единичной сферой F ; ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }=\{a\in F:|a|=1\}}$
• единственный ненулевой простой идеал в его кольце целых чисел, который является его открытым единичным шаром ; ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle \{a\in F:|a|<1\}}$
• генератор , называемый униформизатором ;​ ​ ${\displaystyle \varpi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle F}$
• его поле вычетов , которое конечно (поскольку оно компактно и дискретно ). ${\displaystyle k={\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}}$

Каждый ненулевой элемент a из F может быть записан как a = ϖ ⁿ u , где u — единица, а n — уникальное целое число. Нормализованная оценка F — это сюръективная функция v : F  → Z ∪ { ∞}, определяемая путем отправки ненулевого a в уникальное целое число n, такое что a = ϖ ⁿ u , где u — единица, и отправки 0 в ∞. Если q — мощность поля вычетов, то абсолютное значение на F, индуцированное его структурой как локального поля, задается как: ^[6]

${\displaystyle |a|=q^{-v(a)}.}$

Эквивалентное и очень важное определение неархимедова локального поля состоит в том, что это поле, которое является полным относительно дискретного оценивания и поле вычетов которого конечно.

Примеры

1. P -адические числа : кольцо целых чисел Q _p есть кольцо p -адических целых чисел Z _p . Его простой идеал есть p Z _p , а его поле вычетов есть Z / p Z . Каждый ненулевой элемент Q _p можно записать как u p ^{n ,} где u — единица в Z _{p ,} а n — целое число, тогда v ( u p ⁿ ) = n для нормализованной оценки.
2. Формальный ряд Лорана над конечным полем : кольцо целых чисел F _q (( T )) — это кольцо формальных степенных рядов F _q [[ T ]]. Его максимальный идеал — это ( T ) (т. е. степенной ряд , свободный член которого равен нулю), а его поле вычетов — это F _q . Его нормализованная оценка связана с (нижней) степенью формального ряда Лорана следующим образом:

   ${\displaystyle v\left(\sum _{i=-m}^{\infty }a_{i}T^{i}\right)=-m}$(где a _{− m} не равно нулю).

3. Формальный ряд Лорана над комплексными числами не является локальным полем. Например, его поле вычетов равно C [[ T ]]/( T ) = C , что не является конечным.

Группы более высокого уровня

Группа n- ^й высшей единицы неархимедова локального поля F равна

${\displaystyle U^{(n)}=1+{\mathfrak {m}}^{n}=\left\{u\in {\mathcal {O}}^{\times }:u\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,{\mathfrak {m}}^{n})\right\}}$

для n  ≥ 1. Группа U ⁽¹⁾ называется группой главных единиц , а любой ее элемент называется главной единицей . Полная группа единиц обозначается U ⁽⁰⁾ . ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }}$

Более высокие группы единиц образуют убывающую фильтрацию группы единиц

${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }\supseteq U^{(1)}\supseteq U^{(2)}\supseteq \cdots }$

чьи частные определяются как

${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }/U^{(n)}\cong \left({\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}^{n}\right)^{\times }{\text{ and }}\,U^{(n)}/U^{(n+1)}\approx {\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}}$

для n  ≥ 1. ^[7] (Здесь « » означает неканонический изоморфизм.) ${\displaystyle \approx }$

Структура группы подразделений

Мультипликативная группа ненулевых элементов неархимедова локального поля F изоморфна

${\displaystyle F^{\times }\cong (\varpi )\times \mu _{q-1}\times U^{(1)}}$

где q — порядок поля вычетов, а μ _{q −1} — группа корней ( q −1)-й степени из единицы (в F ). Его структура как абелевой группы зависит от его характеристики :

• Если F имеет положительную характеристику p , то

${\displaystyle F^{\times }\cong \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /{(q-1)}\oplus \mathbf {Z} _{p}^{\mathbf {N} }}$

где N обозначает натуральные числа ;

• Если F имеет нулевую характеристику (т.е. является конечным расширением Q _p степени d ), то

${\displaystyle F^{\times }\cong \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /(q-1)\oplus \mathbf {Z} /p^{a}\oplus \mathbf {Z} _{p}^{d}}$

где a  ≥ 0 определяется так, что группа корней степени p из единицы в F равна . ^[8] ${\displaystyle \mu _{p^{a}}}$

Теория локальных полей

Эта теория включает в себя изучение типов локальных полей, расширений локальных полей с использованием леммы Гензеля , расширений Галуа локальных полей, групп ветвления , фильтраций групп Галуа локальных полей, поведения отображения нормы на локальных полях, локального гомоморфизма взаимности и теоремы существования в локальной теории полей классов , локального соответствия Ленглендса , теории Ходжа-Тейта (также называемой p -адической теорией Ходжа ), явных формул для символа Гильберта в локальной теории полей классов, см., например, ^[9]

Многомерные локальные поля

Локальное поле иногда называют одномерным локальным полем .

Неархимедово локальное поле можно рассматривать как поле дробей пополнения локального кольца одномерной арифметической схемы ранга 1 в ее неособой точке.

Для неотрицательного целого числа n n -мерное локальное поле является полным дискретным полем оценки, поле вычетов которого является ( n − 1)-мерным локальным полем. ^[5] В зависимости от определения локального поля нуль-мерное локальное поле является либо конечным полем (с определением , используемым в этой статье), либо совершенным полем положительной характеристики.

С геометрической точки зрения n -мерные локальные поля с последним конечным полем вычетов естественным образом связаны с полным флагом подсхем n -мерной арифметической схемы.

Смотрите также

• Лемма Гензеля
• Группа разветвления
• Теория полей локальных классов
• Высшее локальное поле

Цитаты

1. Кассельс и Фрелих 1967, с. 129, гл. VI, Введение..
2. Вайль 1995, стр. 20.
3. Milne 2020, стр. 127, Примечание 7.49.
4. Нойкирх 1999, стр. 134, раздел 5.
5. Фесенко и Востоков 2002, Def. 1.4.6.
6. Вайль 1995, Гл. I, Теорема 6.
7. Нойкирх 1999, стр. 122.
8. Нойкирх 1999, Теорема II.5.7.
9. Фесенко и Востоков 2002, главы 1-4, 7.

Ссылки

• Касселс, Дж. В. С .; Фрелих, Альбрехт , ред. (1967), Алгебраическая теория чисел , Academic Press , Zbl  0153.07403
• Фесенко, Иван Б.; Востоков, Сергей В. (2002), Локальные поля и их расширения , Переводы математических монографий, т. 121 (Второе издание), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3259-2, г-н  1915966
• Милн, Джеймс С. (2020), Алгебраическая теория чисел (3.08-е изд.)
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Том. 322. Перевод Шаппахера, Норберта. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. MR  1697859. Zbl  0956.11021.
• Вайль, Андре (1995), Основы теории чисел , Классика математики, Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag , ISBN 3-540-58655-5
• Серр, Жан-Пьер (1979), Локальные поля , Тексты для выпускников по математике, том. 67 (первое издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 0-387-90424-7

Внешние ссылки

• «Локальное поле», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]