Группа разветвления

Фильтрация группы Галуа локального расширения поля

В теории чисел , а точнее в локальной теории полей классов , группы ветвления представляют собой фильтрацию группы Галуа локального расширения поля , которая дает подробную информацию о явлениях ветвления расширения.

Теория разветвления оценок

В математике теория ветвления оценок изучает множество расширений оценки v поля K до расширения L поля K. Это обобщение теории ветвления областей Дедекинда. ^[1] [ 2 ^]

Структура множества расширений известна лучше, когда L / K является Галуа .

Группа разложения и группа инерции

Пусть ( K ,  v ) — нормированное поле , а L — конечное расширение Галуа поля K . Пусть S _v — множество классов эквивалентности расширений v до L , а G — группа Галуа поля L над K . Тогда G действует на S _v следующим образом: σ[ w ] = [ w  ∘ σ] (т. е. w является представителем класса эквивалентности [ w ] ∈  S _v , а [ w ] отправляется в класс эквивалентности композиции w с автоморфизмом σ : L → L ; это не зависит от выбора w в [ w ]). Фактически, это действие транзитивно .

При фиксированном расширении w группы v до L группа разложения группы w ​​является стабилизирующей подгруппой G _w группы [ w ], т.е. это подгруппа группы G, состоящая из всех элементов, которые фиксируют класс эквивалентности [ w ] ∈  S _v .

Пусть m _w обозначает максимальный идеал w внутри кольца нормирования R _w кольца w . Группа инерции w — это подгруппа I _w кольца G _{w ,} состоящая из элементов σ таких, что σ x  ≡  x  (mod  m _w ) для всех x из R _w . Другими словами, I _w состоит из элементов группы разложения, которые действуют тривиально на поле вычетов w . Это нормальная подгруппа G _w .

Приведенный индекс ветвления e ( w / v ) не зависит от w и обозначается e ( v ). Аналогично, относительная степень f ( w / v ) также не зависит от w и обозначается f ( v ).

Группы разветвления в нижней нумерации

Группы ветвления являются уточнением группы Галуа конечного расширения Галуа локальных полей . Мы будем записывать для оценки, кольца целых чисел и его максимального идеала для . Как следствие леммы Гензеля , можно записать для некоторого , где есть кольцо целых чисел . ^[3] (Это сильнее теоремы о примитивном элементе .) Затем для каждого целого числа мы определяем как множество всех , удовлетворяющих следующим эквивалентным условиям. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle w,{\mathcal {O}}_{L},{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}={\mathcal {O}}_{K}[\alpha ]}$ ${\displaystyle \alpha \in L}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle i\geq -1}$ ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle s\in G}$

• (i) действует тривиально на ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}^{i+1}.}$
• (ii) для всех ${\displaystyle w(s(x)-x)\geq i+1}$ ${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}_{L}}$
• (iii) ${\displaystyle w(s(\alpha )-\alpha )\geq i+1.}$

Группа называется -й группой ветвления . Они образуют убывающую фильтрацию , ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle G_{-1}=G\supset G_{0}\supset G_{1}\supset \dots \{*\}.}$

На самом деле, являются нормальными по (i) и тривиальными для достаточно больших по (iii). Для самых низких индексов принято называть подгруппу инерции из -за ее связи с расщеплением простых идеалов , в то время как дикая подгруппа инерции из . Фактор называется ручным фактором. ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle G_{0}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G_{1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G_{0}/G_{1}}$

Группа Галуа и ее подгруппы изучаются с использованием вышеуказанной фильтрации или, более конкретно, соответствующих факторов. В частности, ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G_{i}}$

• ${\displaystyle G/G_{0}=\operatorname {Gal} (l/k),}$где — (конечные) поля вычетов . ^[4] ${\displaystyle l,k}$ ${\displaystyle L,K}$
• ${\displaystyle G_{0}=1\Leftrightarrow L/K}$неразветвленный .​
• ${\displaystyle G_{1}=1\Leftrightarrow L/K}$умеренно разветвлен ( т.е. индекс разветвления является простым по отношению к характеристике остатка).

Изучение групп ветвления сводится к полностью разветвленному случаю, поскольку для . ${\displaystyle G_{i}=(G_{0})_{i}}$ ${\displaystyle i\geq 0}$

Также определяется функция . (ii) в приведенном выше примере не зависит от выбора и, более того, изучение фильтрации по существу эквивалентно изучению . ^[5] удовлетворяет следующему: для , ${\displaystyle i_{G}(s)=w(s(\alpha )-\alpha ),s\in G}$ ${\displaystyle i_{G}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle i_{G}}$ ${\displaystyle i_{G}}$ ${\displaystyle s,t\in G}$

• ${\displaystyle i_{G}(s)\geq i+1\Leftrightarrow s\in G_{i}.}$
• ${\displaystyle i_{G}(tst^{-1})=i_{G}(s).}$
• ${\displaystyle i_{G}(st)\geq \min\{i_{G}(s),i_{G}(t)\}.}$

Зафиксируем униформизатор . Затем индуцируем инъекцию , где . (Отображение на самом деле не зависит от выбора униформизатора. ^[6] ) Из этого следует ^[7] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle s\mapsto s(\pi )/\pi }$ ${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}\to U_{L,i}/U_{L,i+1},i\geq 0}$ ${\displaystyle U_{L,0}={\mathcal {O}}_{L}^{\times },U_{L,i}=1+{\mathfrak {p}}^{i}}$

• ${\displaystyle G_{0}/G_{1}}$является циклическим порядка, простого с ${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}}$является произведением циклических групп порядка . ${\displaystyle p}$

В частности , является p -группой и разрешима . ${\displaystyle G_{1}}$ ${\displaystyle G_{0}}$

Группы ветвления можно использовать для вычисления разницы между расширением и подрасширением: ^[8] ${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{L/K}}$ ${\displaystyle L/K}$

${\displaystyle w({\mathfrak {D}}_{L/K})=\sum _{s\neq 1}i_{G}(s)=\sum _{i=0}^{\infty }(|G_{i}|-1).}$

Если — нормальная подгруппа группы , то для , . ^[9] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \sigma \in G}$ ${\displaystyle i_{G/H}(\sigma )={1 \over e_{L/K}}\sum _{s\mapsto \sigma }i_{G}(s)}$

Объединяя это с вышесказанным, получаем: для подрасширения, соответствующего , ${\displaystyle F/K}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle v_{F}({\mathfrak {D}}_{F/K})={1 \over e_{L/F}}\sum _{s\not \in H}i_{G}(s).}$

Если , то . ^[10] В терминологии Лазара это можно понимать так, что алгебра Ли абелева. ${\displaystyle s\in G_{i},t\in G_{j},i,j\geq 1}$ ${\displaystyle sts^{-1}t^{-1}\in G_{i+j+1}}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} (G_{1})=\sum _{i\geq 1}G_{i}/G_{i+1}}$

Пример: циклотомическое расширение

Группы ветвления для циклотомического расширения , где - примитивный корень степени -1 из единицы , можно описать явно: ^[11] ${\displaystyle K_{n}:=\mathbf {Q} _{p}(\zeta )/\mathbf {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle p^{n}}$

${\displaystyle G_{s}=\operatorname {Gal} (K_{n}/K_{e}),}$

где e выбрано таким образом, что . ${\displaystyle p^{e-1}\leq s<p^{e}}$

Пример: расширение четвертой степени

Пусть K — расширение Q _2, порожденное . Сопряженными являются , , . ${\displaystyle x_{1}={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}={\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$ ${\displaystyle x_{3}=-x_{1}}$ ${\displaystyle x_{4}=-x_{2}}$

Небольшое вычисление показывает, что частное любых двух из них равно единице . Следовательно, все они порождают один и тот же идеал; назовем его π . порождает π ² ; (2)= π ⁴ . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Теперь , что находится в π ⁵ . ${\displaystyle x_{1}-x_{3}=2x_{1}}$

и который находится в π ³ . ${\displaystyle x_{1}-x_{2}={\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}},}$

Различные методы показывают, что группа Галуа K является циклической четвертого порядка. Также: ${\displaystyle C_{4}}$

${\displaystyle G_{0}=G_{1}=G_{2}=C_{4}.}$

и ${\displaystyle G_{3}=G_{4}=(13)(24).}$

${\displaystyle w({\mathfrak {D}}_{K/Q_{2}})=3+3+3+1+1=11,}$так что разные ${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{K/Q_{2}}=\pi ^{11}}$

${\displaystyle x_{1}}$удовлетворяет условию X ⁴ − 4 X ² + 2, дискриминант которого равен 2048 = 2 ¹¹ .

Группы разветвления в верхней нумерации

Если - действительное число , обозначим где i - наименьшее целое число . Другими словами, Определим по ^[12] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \geq -1}$ ${\displaystyle G_{u}}$ ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle \geq u}$ ${\displaystyle s\in G_{u}\Leftrightarrow i_{G}(s)\geq u+1.}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi (u)=\int _{0}^{u}{dt \over (G_{0}:G_{t})}}$

где, по соглашению, равно , если и равно для . ^[13] Тогда для . Непосредственно оказывается, что является непрерывным и строго возрастающим, и, таким образом, имеет непрерывную обратную функцию, определенную на . Определим . тогда называется v -й группой ветвления в верхней нумерации. Другими словами, . Примечание . Верхняя нумерация определена так, чтобы быть совместимой с переходом к факторам: ^[14] если является нормальным в , то ${\displaystyle (G_{0}:G_{t})}$ ${\displaystyle (G_{-1}:G_{0})^{-1}}$ ${\displaystyle t=-1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1<t\leq 0}$ ${\displaystyle \phi (u)=u}$ ${\displaystyle -1\leq u\leq 0}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle [-1,\infty )}$ ${\displaystyle G^{v}=G_{\psi (v)}}$ ${\displaystyle G^{v}}$ ${\displaystyle G^{\phi (u)}=G_{u}}$ ${\displaystyle G^{-1}=G,G^{0}=G_{0}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle (G/H)^{v}=G^{v}H/H}$для всех ${\displaystyle v}$

(тогда как меньшая нумерация совместима с переходом к подгруппам.)

Теорема Эрбрана

Теорема Эрбрана утверждает, что группы ветвления в нижней нумерации удовлетворяют (для где — подрасширение, соответствующее ), а группы ветвления в верхней нумерации удовлетворяют . ^{[15] [16]} Это позволяет определить группы ветвления в верхней нумерации для бесконечных расширений Галуа (таких как абсолютная группа Галуа локального поля) из обратной системы групп ветвления для конечных подрасширений. ${\displaystyle G_{u}H/H=(G/H)_{v}}$ ${\displaystyle v=\phi _{L/F}(u)}$ ${\displaystyle L/F}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G^{u}H/H=(G/H)^{u}}$

Верхняя нумерация для абелева расширения важна из-за теоремы Хассе–Арфа . Она утверждает, что если является абелевым, то скачки в фильтрации являются целыми числами; т. е. всякий раз, когда не является целым числом. ^[17] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G^{v}}$ ${\displaystyle G_{i}=G_{i+1}}$ ${\displaystyle \phi (i)}$

Верхняя нумерация совместима с фильтрацией группы норменных вычетов по группам единиц при изоморфизме Артина . Изображение при изоморфизме ${\displaystyle G^{n}(L/K)}$

${\displaystyle G(L/K)^{\mathrm {ab} }\leftrightarrow K^{*}/N_{L/K}(L^{*})}$

просто ^[18]

${\displaystyle U_{K}^{n}/(U_{K}^{n}\cap N_{L/K}(L^{*}))\ .}$

Смотрите также

• Конечные расширения локальных полей

Примечания

1. Фрёлих, А .; Тейлор, М.Дж. (1991). Алгебраическая теория чисел . Кембриджские исследования в области высшей математики. Том 27. Cambridge University Press . ISBN 0-521-36664-X. Збл  0744.11001.
2. Зариски, Оскар ; Сэмюэл, Пьер (1976) [1960]. Коммутативная алгебра, Том II . Graduate Texts in Mathematics . Том 29. Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag. Глава VI. ISBN 978-0-387-90171-8. Збл  0322.13001.
3. Нойкирх (1999) стр.178
4. поскольку канонически изоморфна группе разложения. ${\displaystyle G/G_{0}}$
5. Серр (1979) стр.62
6. Конрад
7. Использование и ${\displaystyle U_{L,0}/U_{L,1}\simeq l^{\times }}$ ${\displaystyle U_{L,i}/U_{L,i+1}\approx l^{+}}$
8. Серр (1979) 4.1 Prop.4, стр.64
9. Серр (1979) 4.1. Положение 3, стр.63
10. Серр (1979) 4.2. Предложение 10.
11. Серр, местный корпус . Ч. IV, § 4, предложение 18
12. Серр (1967) стр.156
13. Нойкирх (1999) стр.179
14. Серр (1967) стр.155
15. Нойкирх (1999) стр.180
16. Серр (1979) стр.75
17. Нойкирх (1999) стр.355
18. Снайт (1994) стр.30-31

Ссылки

• Б. Конрад, Математика 248А. Высшие группы ветвления
• Фрёлих, А.; Тейлор , М.Дж. (1991). Алгебраическая теория чисел . Кембриджские исследования в области высшей математики. Том 27. Cambridge University Press . ISBN 0-521-36664-X. Збл  0744.11001.
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория теории . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Том. 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. MR  1697859. Zbl  0956.11021.
• Serre, Jean-Pierre (1967). "VI. Локальная теория полей классов". В Cassels, JWS ; Fröhlich, A. (ред.). Алгебраическая теория чисел. Труды учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институт передовых исследований НАТО) при поддержке Международного математического союза . Лондон: Academic Press. стр. 128–161. Zbl  0153.07403.
• Серр, Жан-Пьер (1979). Локальные поля . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 67. Перевод Гринберга, Марвина Джея . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-90424-7. MR  0554237. Zbl  0423.12016.
• Snaith, Victor P. (1994). Структура модуля Галуа . Монографии Института Филдса. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-0264-X. Збл  0830.11042.