Умножение

Арифметическая операция

Четыре мешка по три шарика в каждом дают двенадцать шариков (4 × 3 = 12).

Умножение также можно рассматривать как масштабирование . Здесь 2 умножается на 3 с использованием масштабирования, в результате чего получается 6.

Анимация на умножение 2×3=6

4 × 5 = 20. Большой прямоугольник состоит из 20 квадратов, каждый размером 1 на 1 единицу.

Площадь полотна 4,5м×2,5м = ^11,25м2 ; 41/2× 21/2= 111/4

Умножение (часто обозначается крестиком × , оператором-точкой в ​​средней строке ⋅ , сопоставлением или, на компьютерах , звездочкой * ) — одна из четырёх элементарных математических операций арифметики , остальные — сложение . вычитание и деление . Результат операции умножения называется произведением .

Умножение целых чисел можно рассматривать как многократное сложение ; то есть умножение двух чисел эквивалентно добавлению такого количества копий одного из них, множимого , как количество другого, множителя ; оба числа можно назвать факторами .

${\displaystyle a\times b=\underbrace {b+\cdots +b} _{a{\text{ times}}}}$

Например, число 4, умноженное на 3, которое часто пишется и произносится как «3×4», можно вычислить, сложив 3 копии числа 4 вместе: ${\displaystyle 3\times 4}$

${\displaystyle 3\times 4=4+4+4=12}$

Здесь 3 ( множитель ) и 4 ( множимое ) — множители , а 12 — произведение .

Одним из основных свойств умножения является свойство коммутативности , которое в данном случае гласит, что добавление 3 копий 4 дает тот же результат, что и добавление 4 копий 3:

${\displaystyle 4\times 3=3+3+3+3=12}$

Таким образом, обозначение множителя и множимого не влияет на результат умножения. ^[1]

Систематические обобщения этого базового определения определяют умножение целых чисел (включая отрицательные), рациональных чисел (дробей) и действительных чисел.

Умножение также можно представить как подсчет объектов, расположенных в прямоугольнике (для целых чисел), или как нахождение площади прямоугольника , стороны которого имеют заданную длину . Площадь прямоугольника не зависит от того, какая сторона измеряется первой — следствие свойства коммутативности.

Произведение двух измерений (или физических величин ) — это новый тип измерения, обычно с производной единицей . Например, умножение длин (в метрах или футах) двух сторон прямоугольника дает его площадь (в квадратных метрах или квадратных футах). Такой продукт является предметом размерного анализа .

Обратная операция умножения – деление . Например, поскольку 4, умноженное на 3, равно 12, 12, разделенное на 3, равно 4. Действительно, умножение на 3 с последующим делением на 3 дает исходное число. Деление числа, отличного от 0, само по себе равно 1.

Некоторые математические концепции расширяют фундаментальную идею умножения. Произведение последовательности, векторное умножение , комплексные числа и матрицы — все это примеры, где это можно увидеть. Эти более сложные конструкции имеют тенденцию влиять на основные свойства по-своему, например, становятся некоммутативными в матрицах и некоторых формах векторного умножения или изменении знака комплексных чисел.

Обозначения

В арифметике умножение часто записывается с использованием знака умножения (либо × , либо ) между членами (то есть в инфиксной записи ). ^[2] Например, ${\displaystyle \times }$

${\displaystyle 2\times 3=6}$(«дважды три равно шести»)

${\displaystyle 3\times 4=12}$

${\displaystyle 2\times 3\times 5=6\times 5=30}$

${\displaystyle 2\times 2\times 2\times 2\times 2=32}$

Существуют и другие математические обозначения умножения:

• Чтобы уменьшить путаницу между знаком умножения × и общей переменной x , умножение также обозначается точками, ^[3] обычно точкой в ​​средней позиции (реже точкой ):

${\displaystyle 5\cdot 2}$или ${\displaystyle 5\,.\,3}$

Нотация средней точки или оператор точки , закодированная в Юникоде как U+22C5 ⋅ DOT OPERATOR , теперь является стандартной в США и других странах, где точка используется в качестве десятичной точки . Когда символ оператора точки недоступен,  используется точка (·). В других странах, где в качестве десятичного знака используется запятая , для умножения используется точка или средняя точка. ^{[ нужна цитата ]}

Исторически сложилось так, что в Соединенном Королевстве и Ирландии средняя точка иногда использовалась для десятичной дроби, чтобы она не исчезла в линейке, а точка/точка использовалась для умножения. Однако, поскольку в 1968 году Министерство технологий постановило использовать точку в качестве десятичной точки ^[4] и стандарт Международной системы единиц (СИ) с тех пор получил широкое распространение, такое использование теперь встречается только в более традиционных журналах, таких как как «Ланцет» . ^[5]

• В алгебре умножение с участием переменных часто записывается как сопоставление (например, на раз или на пять раз ), также называемое подразумеваемым умножением . ^[6] Это обозначение также можно использовать для величин, заключенных в круглые скобки (например, , или пять раз два). Такое неявное использование умножения может вызвать двусмысленность, когда объединенные переменные совпадают с именем другой переменной, когда имя переменной перед скобками можно спутать с именем функции или при правильном определении порядка операций . ^{[7] [8]} ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 5x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 5(2)}$ ${\displaystyle (5)2}$ ${\displaystyle (5)(2)}$
• При векторном умножении существует различие между символами креста и точки. Символ креста обычно обозначает скалярное произведение двух векторов , в результате чего получается вектор, а точка обозначает скалярное произведение двух векторов, в результате чего получается скаляр .

В компьютерном программировании звездочка (например, )5*2 по-прежнему является наиболее распространенным обозначением. Это связано с тем, что большинство компьютеров исторически были ограничены небольшими наборами символов (такими как ASCII и EBCDIC ), в которых отсутствовал знак умножения (например, ⋅или ×), в то время как звездочка появлялась на каждой клавиатуре. ^{[ необходима цитация ]} Это использование возникло в языке программирования FORTRAN . ^[9]

Числа, которые нужно умножить, обычно называются «множителями» (как при факторизации ). Число, которое нужно умножить, называется «множимым», а число, на которое оно умножается, — «множителем». Обычно множитель ставится первым, а множимое — вторым; ^[1] однако иногда первым фактором является множимое, а вторым - множитель. ^[10] Кроме того, поскольку результат умножения не зависит от порядка множителей, различие между «множимым» и «множителем» полезно только на самом элементарном уровне и в некоторых алгоритмах умножения , таких как длинное умножение . Поэтому в некоторых источниках термин «множимое» рассматривается как синоним слова «множитель». ^[11] В алгебре число, которое является множителем переменной или выражения (например, 3 в ), называется коэффициентом . ${\displaystyle 3xy^{2}}$

Результат умножения называется произведением . Когда один множитель является целым числом, произведение кратно другому или произведению остальных. Таким образом, кратно , как и . Произведение целых чисел кратно каждому множителю; например, 15 является произведением 3 и 5 и кратно 3 и кратно 5. ${\displaystyle 2\times \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 5133\times 486\times \pi }$

Определения

Произведение двух чисел или умножение двух чисел можно определить для общих особых случаев: целых чисел, натуральных чисел, дробей, действительных чисел, комплексных чисел и кватернионов.

Произведение двух натуральных чисел

3 на 4 — 12.

Размещение нескольких камней в прямоугольном узоре с рядами и столбцами дает ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle r\cdot s=\sum _{i=1}^{s}r=\underbrace {r+r+\cdots +r} _{s{\text{ times}}}=\sum _{j=1}^{r}s=\underbrace {s+s+\cdots +s} _{r{\text{ times}}}}$

камни.

Произведение двух целых чисел

Целое число может быть нулем, положительным или отрицательным числом. Произведение нуля и другого целого числа всегда равно нулю. Произведение двух ненулевых целых чисел определяется произведением их положительных сумм в сочетании со знаком, полученным по следующему правилу:

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c c|}\hline \times &-&+\\\hline -&+&-\\+&-&+\\\hline \end{array}}}$

(Это правило является следствием распределительности умножения по сравнению с сложением и не является дополнительным правилом .)

В словах:

• Отрицательное число, умноженное на отрицательное число, является положительным,
• Отрицательное число, умноженное на положительное, является отрицательным,
• Положительное число, умноженное на отрицательное, является отрицательным,
• Положительное число, умноженное на положительное число, является положительным.

Продукт двух фракций

Две дроби можно умножить, перемножив их числители и знаменатели:

${\displaystyle {\frac {z}{n}}\cdot {\frac {z'}{n'}}={\frac {z\cdot z'}{n\cdot n'}}}$

Произведение двух действительных чисел

Существует несколько эквивалентных способов формального определения действительных чисел; см. Построение действительных чисел . Определение умножения является частью всех этих определений.

Фундаментальным аспектом этих определений является то, что каждое действительное число может быть аппроксимировано с любой точностью рациональными числами . Стандартный способ выразить это состоит в том, что каждое действительное число является наименьшей верхней границей множества рациональных чисел. В частности, каждое положительное действительное число является наименьшей верхней границей усечения его бесконечного десятичного представления ; например, это наименьшая верхняя граница ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \{3,\;3.1,\;3.14,\;3,141,\ldots \}.}$

Фундаментальным свойством действительных чисел является то, что рациональные приближения совместимы с арифметическими операциями и, в частности, с умножением. Это означает, что если a и b - положительные действительные числа такие, что и тогда В частности, произведение двух положительных действительных чисел является наименьшей верхней границей почленного произведения последовательностей их десятичных представлений. ${\displaystyle a=\sup _{x\in A}x}$ ${\displaystyle b=\sup _{y\in B}y,}$ ${\displaystyle a\cdot b=\sup _{x\in A,y\in B}x\cdot y.}$

Поскольку изменение знаков преобразует наименьшие верхние границы в максимальные нижние, самый простой способ справиться с умножением одного или двух отрицательных чисел — использовать правило знаков, описанное выше в § Произведение двух целых чисел. Часто предпочитают построение действительных чисел с помощью последовательностей Коши , чтобы избежать рассмотрения четырех возможных конфигураций знаков.

Произведение двух комплексных чисел

Два комплексных числа можно умножить на основании закона распределения и того факта , что следующим образом: ${\displaystyle i^{2}=-1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b\,i)\cdot (c+d\,i)&=a\cdot c+a\cdot d\,i+b\,i\cdot c+b\cdot d\cdot i^{2}\\&=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,i\end{aligned}}}$

Комплексное число в полярных координатах

Геометрический смысл комплексного умножения можно понять, переписав комплексные числа в полярных координатах :

${\displaystyle a+b\,i=r\cdot (\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))=r\cdot e^{i\varphi }}$

Более того,

${\displaystyle c+d\,i=s\cdot (\cos(\psi )+i\sin(\psi ))=s\cdot e^{i\psi },}$

из чего получается

${\displaystyle (a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)i=r\cdot s\cdot e^{i(\varphi +\psi )}.}$

Геометрический смысл состоит в том, что величины умножаются, а аргументы складываются.

Произведение двух кватернионов

Произведение двух кватернионов можно найти в статье о кватернионах . Обратите внимание, что в данном случае и в целом различны. ${\displaystyle a\cdot b}$ ${\displaystyle b\cdot a}$

Вычисление

«Образованная обезьяна» — оловянная игрушка 1918 года, использовавшаяся в качестве «калькулятора» умножения. Например: установите ноги обезьяны на 4 и 9 и возьмите в руки продукт — 36.

Многие распространенные методы умножения чисел с использованием карандаша и бумаги требуют таблицы умножения заученных или проверенных произведений небольших чисел (обычно любых двух чисел от 0 до 9). Однако один из методов — алгоритм крестьянского умножения — этого не делает. Пример ниже иллюстрирует «длинное умножение» («стандартный алгоритм», «школьное умножение»):

 23958233× 5830——————————————— 00000000 (= 23 958 233 × 0) 71874699 (= 23 958 233 × 30) 191665864 (= 23 958 233 × 800)+ 119791165 (= 23 958 233 × 5 000)——————————————— 139676498390 (= 139 676 498 390)

В некоторых странах, таких как Германия , вышеуказанное умножение изображается аналогичным образом, но исходное произведение остается горизонтальным, а вычисления начинаются с первой цифры множителя: ^[12]

23958233 · 5830——————————————— 119791165 191665864 71874699 00000000——————————————— 139676498390

Умножать числа вручную более чем на пару десятичных знаков утомительно и подвержено ошибкам. Десятичные логарифмы были придуманы для упрощения таких вычислений, поскольку сложение логарифмов эквивалентно умножению. Логарифмическая линейка позволяла быстро умножать числа примерно с точностью до трех знаков. Начиная с начала 20-го века механические калькуляторы , такие как Marchant , автоматизировали умножение чисел длиной до 10 цифр. Современные электронные компьютеры и калькуляторы значительно сократили необходимость умножения вручную.

Исторические алгоритмы

Методы умножения были задокументированы в трудах древнеегипетской , греческой, индийской ^{, китайской и} китайской цивилизаций .

Кость Ишанго , датируемая примерно 18 000–20 000 гг. до н. э., может намекать на знания о размножении в эпоху верхнего палеолита в Центральной Африке , но это предположение. ^{[13] [ нужна проверка ]}

Египтяне

Египетский метод умножения целых чисел и дробей, описанный в Математическом папирусе Ринда , заключался в последовательном сложении и удвоении. Например, чтобы найти произведение 13 и 21, нужно было удвоить 21 три раза, получив 2 × 21 = 42 , 4 × 21 = 2 × 42 = 84 , 8 × 21 = 2 × 84 = 168 . Полный продукт затем можно найти, добавив соответствующие члены, найденные в последовательности удвоения: ^[14]

13×21 = (1+4+8)×21 = (1×21) + (4×21) + (8×21) = 21 + 84 + 168 = 273.

вавилоняне

Вавилоняне использовали шестидесятеричную позиционную систему счисления , аналогичную современной десятичной системе . Таким образом, вавилонское умножение было очень похоже на современное десятичное умножение. Из-за относительной трудности запоминания различных произведений размера 60×60 вавилонские математики использовали таблицу умножения . Эти таблицы состояли из списка первых двадцати кратных некоторого главного числа n : n , 2 n , ..., 20 n ; за которыми следуют числа, кратные 10 n : 30 n , 40 n и 50 n . Тогда, чтобы вычислить любое шестидесятеричное произведение, скажем, 53 n , нужно всего лишь сложить 50 n и 3 n, вычисленные по таблице. ^{[ нужна цитата ]}

Китайский

38 × 76 = 2888

В математическом тексте Чжоуби Суаньцзин , датированном до 300 г. до н. э., и в « Девяти главах математического искусства » вычисления умножения были записаны словами, хотя ранние китайские математики использовали исчисление Рода , включающее сложение, вычитание, умножение и деление. К концу периода Воюющих царств китайцы уже использовали десятичную таблицу умножения . ^[15]

Современные методы

Произведение чисел 45 и 256. Обратите внимание, что порядок цифр в числе 45 в левом столбце обратный. Шаг переноса умножения можно выполнить на заключительном этапе расчета (выделено жирным шрифтом), вернув конечное произведение 45×256 = 11520 . Это вариант решетчатого умножения .

Современный метод умножения, основанный на индуистско-арабской системе счисления, был впервые описан Брахмагуптой . Брахмагупта дал правила сложения, вычитания, умножения и деления. Генри Берчард Файн , в то время профессор математики в Принстонском университете , написал следующее:

Индейцы являются изобретателями не только самой позиционной десятичной системы, но и большинства процессов, связанных с элементарным счетом с ее помощью. Сложение и вычитание они производили совершенно так же, как и теперь; умножение они производили разными способами, в том числе и наш, но деление делали с трудом. ^[16]

Эти алгоритмы десятичной арифметики с разрядными значениями были представлены в арабских странах Аль-Хорезми в начале 9 века и популяризированы в западном мире Фибоначчи в 13 веке. ^[17]

Сетчатый метод

Метод умножения сетки , или метод коробки, используется в начальных школах Англии и Уэльса, а также в некоторых регионах ^{[ каких? ]} США, чтобы помочь научить понимать, как работает многозначное умножение. Примером умножения 34 на 13 может служить размещение чисел в сетке следующим образом:

а затем добавьте записи.

Компьютерные алгоритмы

Классический метод умножения двух n -значных чисел требует n ^{двузначных} умножений. Были разработаны алгоритмы умножения , которые значительно сокращают время вычислений при умножении больших чисел. Методы, основанные на дискретном преобразовании Фурье , снижают вычислительную сложность до O ( n log n log log n ) . В 2016 году коэффициент log log n был заменен функцией, которая растет гораздо медленнее, хотя и не является постоянной. ^[18] В марте 2019 года Дэвид Харви и Йорис ван дер Хувен представили статью, в которой представлен алгоритм целочисленного умножения со сложностью ^[19]. Предполагается, что алгоритм, также основанный на быстром преобразовании Фурье, является асимптотически оптимальным. ^[20] Алгоритм практически бесполезен, поскольку он становится быстрее только при умножении чрезвычайно больших чисел (имеющих более 2 ^{1729 12} бит). ^[21] ${\displaystyle O(n\log n).}$

Продукты измерений

Осмысленно складывать или вычитать можно только количества одного типа, а вот количества разных типов можно без проблем умножать или делить. Например, четыре мешка по три шарика в каждом можно рассматривать как: ^[1]

[4 мешка] × [3 шарика в мешке] = 12 шариков.

Когда два измерения умножаются вместе, продукт имеет тип, зависящий от типа измерений. Общая теория дается анализом размерностей . Этот анализ обычно применяется в физике, но он также имеет приложения в финансах и других прикладных областях.

Типичным примером в физике является тот факт, что умножение скорости на время дает расстояние . Например:

50 километров в час × 3 часа = 150 километров.

В этом случае часовые единицы сокращаются, в результате чего в произведении остаются только километры.

Другие примеры умножения с использованием единиц включают:

2,5 метра × 4,5 метра = 11,25 квадратных метра.

11 метров/секунд × 9 секунд = 99 метров.

4,5 жителей на дом × 20 домов = 90 жителей

Продукт последовательности

Обозначение заглавной буквы Пи

Произведение последовательности факторов можно записать с помощью символа произведения , который происходит от заглавной буквы Π (пи) греческого алфавита (во многом аналогично тому, как символ суммирования происходит от греческой буквы Σ (сигма)). ^{[22] [23]} Смысл этих обозначений определяется формулой ${\displaystyle \textstyle \prod }$ ${\displaystyle \textstyle \sum }$

${\displaystyle \prod _{i=1}^{4}(i+1)=(1+1)\,(2+1)\,(3+1)\,(4+1),}$

что приводит к

${\displaystyle \prod _{i=1}^{4}(i+1)=120.}$

В таких обозначениях переменная i представляет собой изменяющееся целое число , называемое индексом умножения, которое начинается от нижнего значения 1 , указанного в нижнем индексе, до верхнего значения 4, заданного верхним индексом. Продукт получается путем умножения всех коэффициентов, полученных путем замены индекса умножения на целое число между нижним и верхним значениями (включая границы) в выражении, которое следует за оператором произведения.

В более общем смысле обозначение определяется как

${\displaystyle \prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \,\,\cdots \,\,\cdot x_{n-1}\cdot x_{n},}$

где m и n — целые числа или выражения, которые оцениваются как целые числа. В случае, когда m = n , значение произведения такое же, как и у одного фактора x _m ; если m > n , продукт является пустым продуктом , значение которого равно 1 — независимо от выражения для факторов.

Свойства обозначения заглавной буквы «пи»

По определению,

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}.}$

Если все факторы идентичны, произведение n факторов эквивалентно возведению в степень :

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x=x\cdot x\cdot \ldots \cdot x=x^{n}.}$

Ассоциативность и коммутативность умножения предполагают

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\prod _{i=1}^{n}y_{i}\right)}$и

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{a}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{a}}$

если a — неотрицательное целое число или если все — положительные действительные числа , и ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x^{a_{i}}=x^{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}$

если все они являются неотрицательными целыми числами или если x — положительное действительное число. ${\displaystyle a_{i}}$

Бесконечные продукты

Можно также рассматривать произведения бесконечного числа членов; они называются бесконечными произведениями . В условном смысле это заключается в замене n выше на символ бесконечности ∞. Продукт такой бесконечной последовательности определяется как предел произведения первых n членов, поскольку n неограниченно растет. То есть,

${\displaystyle \prod _{i=m}^{\infty }x_{i}=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}.}$

Аналогичным образом можно заменить m на отрицательную бесконечность и определить:

${\displaystyle \prod _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}=\left(\lim _{m\to -\infty }\prod _{i=m}^{0}x_{i}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right),}$

при условии, что оба предела существуют. ^{[ нужна цитата ]}

Возведение в степень

Когда умножение повторяется, результирующая операция известна как возведение в степень . Например, произведение трех делителей на два (2×2×2) — это «два, возведенные в третью степень», и обозначается 2 ³ , двойкой с верхним индексом три. В этом примере число два — это основание , а три — показатель степени . ^[24] В общем, показатель степени (или верхний индекс) указывает, сколько раз основание появляется в выражении, чтобы выражение

${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}}$

указывает, что n копий основания a необходимо перемножить. Это обозначение можно использовать всякий раз, когда известно, что умножение является степенным ассоциативным .

Характеристики

Умножение чисел 0–10. Метки строк = множимое. Ось X = множитель. Ось Y = продукт.
Распространение этой закономерности на другие квадранты объясняет, почему отрицательное число, умноженное на отрицательное число, дает положительное число.
Обратите также внимание на то, как умножение на ноль приводит к уменьшению размерности, как и умножение на сингулярную матрицу , где определитель равен 0. В этом процессе информация теряется и не может быть восстановлена.

Для действительных и комплексных чисел, к которым относятся, например, натуральные числа , целые числа и дроби , умножение имеет определенные свойства:

Коммутативное свойство

Порядок умножения двух чисел не имеет значения:

${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x.}$^{[25] [26]}

Ассоциативное свойство

Выражения, включающие только умножение или сложение, инвариантны относительно порядка операций :

${\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)}$^{[25] [26]}

Распределительное свойство

Справедливо в отношении умножения над сложением. Это тождество имеет первостепенное значение для упрощения алгебраических выражений:

${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z}$^{[25] [26]}

Элемент идентификации

Мультипликативное тождество равно 1; все, что умножено на 1, является самим собой. Эта особенность 1 известна как свойство идентичности :

${\displaystyle x\cdot 1=x}$^{[25] [26]}

Свойство 0

Любое число, умноженное на 0, равно 0. Это известно как свойство нуля умножения:

${\displaystyle x\cdot 0=0}$^[25]

Отрицание

-1 раз любое число равно аддитивному обратному этому числу.

${\displaystyle (-1)\cdot x=(-x)}$где ${\displaystyle (-x)+x=0}$

–1 раз –1 равно 1.

${\displaystyle (-1)\cdot (-1)=1}$

Обратный элемент

Каждое число x , кроме 0 , имеет мультипликативное обратное , такое, что . ^[27] ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle x\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)=1}$

Сохранение заказа

Умножение на положительное число сохраняет порядок :

Для a > 0 , если b > c , то ab > ac .

Умножение на отрицательное число меняет порядок:

Для a <0 , если b > c , то ab < ac .

Комплексные числа не имеют порядка, совместимого как со сложением, так и с умножением. ^[28]

Другие математические системы, включающие операцию умножения, могут не обладать всеми этими свойствами. Например, умножение, как правило, не является коммутативным для матриц и кватернионов . ^[25]

Аксиомы

В книге «Принципы арифметики, новый метод экспозита» Джузеппе Пеано предложил аксиомы арифметики, основанные на его аксиомах для натуральных чисел. Арифметика Пеано имеет две аксиомы умножения:

${\displaystyle x\times 0=0}$

${\displaystyle x\times S(y)=(x\times y)+x}$

Здесь S ( y ) представляет преемника y ; т. е. натуральное число, следующее за y . Различные свойства, такие как ассоциативность, могут быть доказаны на основе этих и других аксиом арифметики Пеано, включая индукцию . Например, S (0), обозначаемый 1, является мультипликативным тождеством, поскольку

${\displaystyle x\times 1=x\times S(0)=(x\times 0)+x=0+x=x.}$

Аксиомы целых чисел обычно определяют их как классы эквивалентности упорядоченных пар натуральных чисел. Модель основана на рассмотрении ( x , y ) как эквивалента x − y , когда x и y рассматриваются как целые числа. Таким образом, и (0,1), и (1,2) эквивалентны −1. Определенная таким образом аксиома умножения целых чисел такова:

${\displaystyle (x_{p},\,x_{m})\times (y_{p},\,y_{m})=(x_{p}\times y_{p}+x_{m}\times y_{m},\;x_{p}\times y_{m}+x_{m}\times y_{p}).}$

Тогда правило −1 × −1 = 1 можно вывести из

${\displaystyle (0,1)\times (0,1)=(0\times 0+1\times 1,\,0\times 1+1\times 0)=(1,0).}$

Умножение аналогичным образом распространяется на рациональные числа , а затем и на действительные числа . ^{[ нужна цитата ]}

Умножение с теорией множеств

Произведение неотрицательных целых чисел можно определить с помощью теории множеств с использованием кардинальных чисел или аксиом Пеано . Ниже показано, как распространить это на умножение произвольных целых чисел, а затем на произвольные рациональные числа. Произведение действительных чисел определяется как произведение рациональных чисел; см. построение действительных чисел . ^[29]

Умножение в теории групп

Существует множество множеств, которые при операции умножения удовлетворяют аксиомам, определяющим структуру группы . Этими аксиомами являются замыкание, ассоциативность, включение единичного и обратного элементов.

Простой пример — набор ненулевых рациональных чисел . Здесь имеется тождество 1, в отличие от групп при сложении, где тождество обычно равно 0. Обратите внимание, что из рациональных чисел ноль необходимо исключить, потому что при умножении он не имеет обратного: не существует рационального числа, которое можно было бы умножить. на ноль, чтобы получить 1. В этом примере используется абелева группа , но это не всегда так.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим набор обратимых квадратных матриц заданной размерности над заданным полем . Здесь легко проверить замыкание, ассоциативность и включение единицы ( тождественной матрицы ) и обратных значений. Однако умножение матриц не является коммутативным, что показывает, что эта группа неабелева.

Еще один факт, на который стоит обратить внимание, заключается в том, что целые числа при умножении не образуют группу, даже если исключить ноль. В этом легко убедиться по отсутствию обратного для всех элементов, кроме 1 и −1.

Умножение в теории групп обычно обозначается либо точкой, либо сопоставлением (пропуск символа операции между элементами). Таким образом , умножение элемента a на элемент b можно обозначить как b или ab . При обращении к группе посредством указания набора и операции используется точка. Например, наш первый пример может быть обозначен . ^[30] ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} /\{0\},\,\cdot \right)}$

Умножение разных видов чисел

Числа могут считать (3 яблока), упорядочивать (третье яблоко) или измерять (высота 3,5 фута); По мере того как история математики развивалась от счета на пальцах к моделированию квантовой механики, умножение было распространено на более сложные и абстрактные типы чисел, а также на вещи, которые не являются числами (например, матрицы ) или не очень похожи на числа ( такие как кватернионы ).

Целые числа

${\displaystyle N\times M}$представляет собой сумму N копий M , когда N и M — положительные целые числа. Это дает количество элементов в массиве N в ширину и M в высоту. Обобщение на отрицательные числа можно выполнить с помощью

${\displaystyle N\times (-M)=(-N)\times M=-(N\times M)}$и

${\displaystyle (-N)\times (-M)=N\times M}$

Те же правила знаков применимы к рациональным и действительным числам.

Рациональное число

Обобщение на дроби осуществляется путем умножения числителей и знаменателей соответственно: . Это дает площадь прямоугольника большую и широкую и равняется количеству элементов в массиве, когда рациональные числа оказываются целыми числами. ^[25] ${\displaystyle {\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}}$ ${\displaystyle {\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}={\frac {(A\times C)}{(B\times D)}}}$ ${\displaystyle {\frac {A}{B}}}$ ${\displaystyle {\frac {C}{D}}}$

Вещественные числа

Действительные числа и их произведения можно определить как последовательности рациональных чисел .

Комплексные числа

Учитывая комплексные числа и упорядоченные пары действительных чисел и , произведение равно . Это то же самое, что и для вещественных чисел , когда мнимые части и равны нулю. ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle z_{2}}$ ${\displaystyle (a_{1},b_{1})}$ ${\displaystyle (a_{2},b_{2})}$ ${\displaystyle z_{1}\times z_{2}}$ ${\displaystyle (a_{1}\times a_{2}-b_{1}\times b_{2},a_{1}\times b_{2}+a_{2}\times b_{1})}$ ${\displaystyle a_{1}\times a_{2}}$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle b_{2}}$

Эквивалентно, обозначив как , ^[25] ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle z_{1}\times z_{2}=(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}\times a_{2})+(a_{1}\times b_{2}i)+(b_{1}\times a_{2}i)+(b_{1}\times b_{2}i^{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})i.}$

Альтернативно, в тригонометрической форме, если , то ^[25] ${\displaystyle z_{1}=r_{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1}),z_{2}=r_{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})}$ ${\textstyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\phi _{1}+\phi _{2})+i\sin(\phi _{1}+\phi _{2})).}$

Дальнейшие обобщения

См. раздел «Умножение в теории групп» выше и «Мультипликативная группа» , которая, например, включает умножение матриц. Очень общая и абстрактная концепция умножения — это «мультипликативно обозначенная» (вторая) бинарная операция в кольце . Примером кольца, не относящегося ни к одной из вышеперечисленных систем счисления, является кольцо многочленов (многочлены можно складывать и умножать, но многочлены не являются числами в обычном смысле).

Разделение

Часто деление , совпадает с умножением на обратное . Умножение для некоторых типов «числ» может иметь соответствующее деление без обратных чисел; в области целостности x может не иметь обратного " ", но может быть определен. В теле есть обратные значения, но они могут быть неоднозначными в некоммутативных кольцах, поскольку не обязательно должны быть такими же, как . ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$ ${\displaystyle x\left({\frac {1}{y}}\right)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$ ${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$ ${\displaystyle x\left({\frac {1}{y}}\right)}$ ${\displaystyle \left({\frac {1}{y}}\right)x}$

Смотрите также

• Размерный анализ
• Алгоритм умножения
  • Алгоритм Карацубы , для больших чисел
  • Умножение Тума – Кука для очень больших чисел.
  • Алгоритм Шёнхаге – Штрассена для огромных чисел.
• Таблица умножения
• Двоичный умножитель , как умножают компьютеры
  • Алгоритм умножения Бута
  • Арифметика с плавающей запятой
  • Операция умножения-накопления
    • Слитое умножение-сложение
  • Дерево Уоллеса
• Мультипликативный обратный , взаимный
• Факториал
• Правители Женайя-Лукаса
• Лунная арифметика
• кости Нейпира
• Крестьянское умножение
• Продукт (математика) , для обобщений
• Логарифмическая линейка

Рекомендации

1. Девлин, Кейт (январь 2011 г.). «Что такое умножение?». Математическая ассоциация Америки . Архивировано из оригинала 27 мая 2017 г. Проверено 14 мая 2017 г. При умножении у вас есть множимое (написанное вторым), умноженное на множитель (написанное первым).
2. Академия Хана (14 августа 2015 г.), Введение в умножение | Умножение и деление | Арифметика | Академия Хана, заархивировано из оригинала 24 марта 2017 г. , получено 7 марта 2017 г.
3. Академия Хана (06 сентября 2012 г.), Почему мы не используем знак умножения? | Введение в алгебру | Алгебра I | Академия Хана, заархивировано из оригинала 27 марта 2017 г. , получено 7 марта 2017 г.
4. «Победа по очкам». Природа . 218 (5137): 111. 1968. Бибкод : 1968Natur.218S.111.. doi : 10.1038/218111c0 .
5. «The Lancet – Рекомендации по форматированию рукописей в электронном виде» (PDF) . Проверено 25 апреля 2017 г.
6. Анонсируем TI Programmable 88! (PDF) . Инструменты Техаса . 1982. Архивировано (PDF) из оригинала 3 августа 2017 г. Проверено 3 августа 2017 г. Теперь подразумеваемое умножение распознается AOS , и за квадратным корнем, логарифмическими и тригонометрическими функциями могут следовать их аргументы, как при работе с карандашом и бумагой.(Примечание. TI-88 существовал только как прототип и никогда не был представлен широкой публике.)
7. Петерсон, Дэйв (14 октября 2019 г.). «Порядок операций: неявное умножение?». Алгебра / ПЕМДАС. Доктора-математики. Архивировано из оригинала 24 сентября 2023 г. Проверено 25 сентября 2023 г.
8. Петерсон, Дэйв (18 августа 2023 г.). «Неявное умножение 1: не так плохо, как вы думаете». Алгебра/Неоднозначность, PEMDAS. Доктора-математики. Архивировано из оригинала 24 сентября 2023 г. Проверено 25 сентября 2023 г.; Петерсон, Дэйв (25 августа 2023 г.). «Неявное умножение 2: существует ли стандарт?». Алгебра, Арифметика/Неоднозначность, PEMDAS. Доктора-математики. Архивировано из оригинала 24 сентября 2023 г. Проверено 25 сентября 2023 г.; Петерсон, Дэйв (01 сентября 2023 г.). «Неявное умножение 3: это невозможно доказать». Алгебра / ПЕМДАС. Доктора-математики. Архивировано из оригинала 24 сентября 2023 г. Проверено 25 сентября 2023 г.
9. Фуллер, Уильям Р. (1977). Программирование на FORTRAN: дополнение к курсам математического анализа. Университеттекст. Спрингер. п. 10. дои : 10.1007/978-1-4612-9938-7. ISBN 978-0-387-90283-8.
10. Рамон, Крютон. «Множимое и множитель». Дом математики Крютона Рамона. Архивировано из оригинала 26 октября 2015 г. Проверено 10 ноября 2015 г..
11. Литвин, Честер (2012). Предварительная стимуляция мозга посредством психокондукции. Траффорд. стр. 2–3, 5–6. ISBN 978-1-4669-0152-0– через Поиск книг Google .
12. «Умножение». mathematische-basteleien.de . Проверено 15 марта 2022 г.
13. Плетцер, Владимир (4 апреля 2012 г.). «Указывает ли кость Ишанго на знание основания 12? Интерпретация доисторического открытия, первого математического инструмента человечества». arXiv : 1204.1019 [math.HO].
14. «Крестьянское размножение». Cut-the-knot.org . Проверено 29 декабря 2021 г.
15. Цю, Джейн (7 января 2014 г.). «Таблица древних времен, спрятанная в полосках китайского бамбука». Природа . дои : 10.1038/nature.2014.14482 . S2CID  130132289. Архивировано из оригинала 22 января 2014 г. Проверено 22 января 2014 г.
16. Хорошо, Генри Б. (1907). Система счисления в алгебре - теоретическое и историческое рассмотрение (PDF) (2-е изд.). п. 90.
17. Бернхард, Адриенн. «Как современная математика возникла из утраченной исламской библиотеки». bbc.com . Проверено 22 апреля 2022 г.
18. Харви, Дэвид; ван дер Хувен, Йорис; Лесерф, Грегуар (2016). «Еще быстрее целочисленное умножение». Журнал сложности . 36 : 1–30. arXiv : 1407.3360 . doi : 10.1016/j.jco.2016.03.001. ISSN  0885-064X. S2CID  205861906.
19. Дэвид Харви, Йорис Ван дер Хувен (2019). Умножение целых чисел за время O(n log n). Архивировано 8 апреля 2019 г. на Wayback Machine.
20. Хартнетт, Кевин (11 апреля 2019 г.). «Математики открывают идеальный способ умножения». Журнал Кванта . Проверено 25 января 2020 г.
21. Кларрайх, Эрика. «Умножение достигает предела скорости». cacm.acm.org . Архивировано из оригинала 31 октября 2020 г. Проверено 25 января 2020 г.
22. Вайсштейн, Эрик В. «Продукт». mathworld.wolfram.com . Проверено 16 августа 2020 г.
23. «Суммирование и обозначение произведения». math.illinoisstate.edu . Проверено 16 августа 2020 г.
24. Вайсштейн, Эрик В. «Возведение в степень». mathworld.wolfram.com . Проверено 29 декабря 2021 г.
25. «Умножение - Математическая энциклопедия». энциклопедияofmath.org . Проверено 29 декабря 2021 г.
26. Биггс, Норман Л. (2002). Дискретная математика . Издательство Оксфордского университета. п. 25. ISBN 978-0-19-871369-2.
27. Вайсштейн, Эрик В. «Мультипликативная инверсия». mathworld.wolfram.com . Проверено 19 апреля 2022 г.
28. Энджелл, Дэвид. «ЗАКАЗ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ... НЕ*» (PDF) . web.maths.unsw.edu.au . Проверено 29 декабря 2021 г.
29. «10.2: Построение реальных чисел» . Математика LibreTexts . 11 апреля 2018 г. Проверено 23 июня 2023 г.
30. Бернс, Джеральд (1977). Введение в теорию групп с приложениями . Нью-Йорк: Академическая пресса. ISBN 9780121457501.

дальнейшее чтение

• Бойер, Карл Б. (редакция Мерцбаха, Уты К. ) (1991). История математики . Джон Уайли и сыновья, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

Внешние ссылки

• Умножение и арифметические действия в различных системах счисления .
• Современные китайские методы умножения на счетах