Заказал кольцо

Действительные числа представляют собой упорядоченное кольцо, которое также является упорядоченным полем . Целые числа , подмножество действительных чисел, представляют собой упорядоченное кольцо, которое не является упорядоченным полем.

В абстрактной алгебре упорядоченное кольцо — это (обычно коммутативное ) кольцо R с общим порядком ≤ такое, что для всех a , b и c в R : ^[1]

• если a ≤ b , то a + c ≤ b + c .
• если 0 ≤ a и 0 ≤ b , то 0 ≤ ab .

Примеры

Упорядоченные кольца известны из арифметики . Примеры включают целые , рациональные и действительные числа . ^[2] (Рациональные и действительные числа на самом деле образуют упорядоченные поля .) Комплексные числа , напротив, не образуют упорядоченное кольцо или поле, потому что между элементами 1 и i нет внутреннего отношения порядка .

Положительные элементы

По аналогии с действительными числами элемент c упорядоченного кольца R назовем положительным, если 0 < c , и отрицательным , если c < 0. 0 не считается ни положительным, ни отрицательным.

Множество положительных элементов упорядоченного кольца R часто обозначается R ₊ . Альтернативное обозначение, предпочитаемое в некоторых дисциплинах, — использовать R ₊ для множества неотрицательных элементов и R ₊₊ для множества положительных элементов.

Абсолютная величина

Если является элементом упорядоченного кольца R , то абсолютное значение , обозначаемое , определяется следующим образом: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|}$

${\displaystyle |a|:={\begin{cases}a,&{\mbox{if }}0\leq a,\\-a,&{\mbox{otherwise}},\end{cases}}}$

где – аддитивный обратный элемент , а 0 – аддитивный единичный элемент . ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle a}$

Дискретно упорядоченные кольца

Дискретное упорядоченное кольцо или дискретно упорядоченное кольцо — это упорядоченное кольцо, в котором нет элементов между 0 и 1. Целые числа являются дискретным упорядоченным кольцом, а рациональные числа — нет.

Основные свойства

Для всех a , b и c в R :

• Если a ⩽ b и 0 ⩽ c , то ac ⩽ bc . ^[3] Это свойство иногда используется для определения упорядоченных колец вместо второго свойства в определении выше.
• | аб | = | а | | б |. ^[4]
• Упорядоченное кольцо, не являющееся тривиальным , бесконечно. ^[5]
• Верно ровно одно из следующих утверждений: a положительно, − a положительно или a = 0. ^[6] Это свойство следует из того факта, что упорядоченные кольца являются абелевыми , линейно упорядоченными группами относительно сложения.
• В упорядоченном кольце ни один отрицательный элемент не является квадратом: ^[7] Во-первых, 0 является квадратом. Теперь, если a ≠ 0 и a = b ² , то b ≠ 0 и a = (− b ) ² ; поскольку либо b , либо − b положительны, a должно быть неотрицательным.

Смотрите также

• Упорядоченное поле  – алгебраический объект с упорядоченной структурой.
• Упорядоченная группа  - группа с совместимым частичным порядком.Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Упорядоченное топологическое векторное пространство
• Упорядоченное векторное пространство  - векторное пространство с частичным порядком.
• Частично упорядоченное кольцо  - Кольцо с совместимым частичным порядком.
• Частично упорядоченное пространство  - Частично упорядоченное топологическое пространство.
• Пространство Рисса  - частично упорядоченное векторное пространство, упорядоченное в виде решетки, также называемое векторной решеткой.
• Заказал полукольца

Примечания

В приведенный ниже список включены ссылки на теоремы, формально проверенные проектом IsarMathLib.

1. Лам, Тай (1983), Порядки, оценки и квадратичные формы , Серия региональных конференций CBMS по математике, том. 52, Американское математическое общество , ISBN. 0-8218-0702-1, Збл  0516.12001
2. * Лам, Тай (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам , Тексты для выпускников по математике, том. 131 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xx+385, ISBN. 0-387-95183-0, МР  1838439, Збл  0980.16001
3. OrdRing_ZF_1_L9
4. OrdRing_ZF_2_L5
5. ord_ring_infinite
6. OrdRing_ZF_3_L2, см. также OrdGroup_decomp.
7. OrdRing_ZF_1_L12