Теорема о простых числах

Characterization of how many integers are prime

В математике теорема о простых числах ( PNT ) описывает асимптотическое распределение простых чисел среди положительных целых чисел. Она формализует интуитивную идею о том, что простые числа становятся менее распространенными по мере их увеличения, точно определяя скорость, с которой это происходит. Теорема была доказана независимо Жаком Адамаром ^[1] и Шарлем Жаном де ла Валле Пуссеном ^[2] в 1896 году с использованием идей, введенных Бернхардом Риманом (в частности, дзета-функции Римана ).

Первое такое распределение найдено: π ( N ) ~ ⁠Н/лог( N )⁠ , где π ( N ) — функция подсчета простых чисел (количество простых чисел, меньших или равных N ), а log( N ) — натуральный логарифм N . Это означает, что для достаточно большого N вероятность того , что случайное целое число, не превышающее N , является простым, очень близка к 1 / log( N ) . Следовательно, случайное целое число с не более чем 2 n цифрами (для достаточно большого n ) примерно в два раза менее вероятно будет простым, чем случайное целое число с не более чем n цифрами. Например, среди положительных целых чисел, содержащих не более 1000 цифр, примерно одно из 2300 является простым ( log(10 ¹⁰⁰⁰ ) ≈ 2302,6 ), тогда как среди положительных целых чисел, содержащих не более 2000 цифр, примерно одно из 4600 является простым ( log(10 ²⁰⁰⁰ ) ≈ 4605,2 ). Другими словами, средний разрыв между последовательными простыми числами среди первых N целых чисел составляет примерно log( N ) . ^[3]

Заявление

График, показывающий отношение функции подсчета простых чисел π ( x ) к двум ее приближениям, x / log x и Li( x ) . По мере увеличения x (обратите внимание, что ось x логарифмическая), оба отношения стремятся к 1. Отношение для x / log x сходится сверху очень медленно, в то время как отношение для Li( x ) сходится быстрее снизу.

Логарифмический график, показывающий абсолютную погрешность x / log x и Li( x ) , двух приближений к функции подсчета простых чисел π ( x ) . В отличие от отношения, разница между π ( x ) и x / log x неограниченно возрастает с ростом x . С другой стороны, Li( x ) − π ( x ) меняет знак бесконечно много раз.

Пусть π ( x ) будет функцией подсчета простых чисел, определенной как число простых чисел, меньших или равных x , для любого действительного числа  x . Например, π (10) = 4 , потому что существует четыре простых числа (2, 3, 5 и 7), меньших или равных 10. Теорема о простых числах утверждает, что x / log x является хорошим приближением к π ( x ) (где log здесь означает натуральный логарифм), в том смысле, что предел частного двух функций π ( x ) и x / log x при неограниченном увеличении x равен 1:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\;\pi (x)\;}{\;\left[{\frac {x}{\log(x)}}\right]\;}}=1,}$

известный как асимптотический закон распределения простых чисел . Используя асимптотическую запись, этот результат можно переформулировать как

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\log x}}.}$

Эта нотация (и теорема) ничего не говорит о пределе разности двух функций при неограниченном увеличении x . Вместо этого теорема утверждает, что x / log x приближает π ( x ) в том смысле, что относительная погрешность этого приближения стремится к 0 при неограниченном увеличении x .

Теорема о простых числах эквивалентна утверждению, что n- е простое число p _n удовлетворяет условию

${\displaystyle p_{n}\sim n\log(n),}$

асимптотическая запись означает, что относительная ошибка этого приближения стремится к 0 по мере неограниченного увеличения n . Например,2 × 10 ¹⁷ -е простое число8 512 677 386 048 191 063 , ^[4] и (2 × 10 ¹⁷ )log(2 × 10 ¹⁷ ) округляется до7 967 418 752 291 744 388 , относительная погрешность около 6,4%.

С другой стороны, следующие асимптотические соотношения логически эквивалентны: ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)\log x}{x}}&=1,\\\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)\log \pi (x)}{x}}&=1.\end{aligned}}}$

Как указано ниже, теорема о простых числах также эквивалентна

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\vartheta (x)}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\psi (x)}{x}}=1,}$

где ϑ и ψ — первая и вторая функции Чебышева соответственно, а

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {M(x)}{x}}=0,}$^[6]

где — функция Мертенса . ${\displaystyle M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}$

История доказательства асимптотического закона простых чисел

Основываясь на таблицах Антона Фелькеля и Юрия Веги , Адриен-Мари Лежандр в 1797 или 1798 году предположил, что π ( a ) аппроксимируется функцией a / ( A log a + B ) , где A и B — неопределенные константы. Во втором издании своей книги по теории чисел (1808) он затем выдвинул более точную гипотезу , приняв A = 1 и B = −1,08366 . Карл Фридрих Гаусс рассматривал тот же вопрос в возрасте 15 или 16 лет «в 1792 или 1793 году», согласно его собственным воспоминаниям в 1849 году. ^[7] В 1838 году Петер Густав Лежен Дирихле придумал свою собственную аппроксимирующую функцию, логарифмический интеграл li( x ) (в несколько иной форме ряда, которую он сообщил Гауссу). Формулы Лежандра и Дирихле подразумевают одну и ту же предполагаемую асимптотическую эквивалентность π ( x ) и x / log( x ), указанную выше, хотя оказалось, что приближение Дирихле значительно лучше, если рассматривать разности вместо частных.

В двух работах 1848 и 1850 годов русский математик Пафнутий Чебышев попытался доказать асимптотический закон распределения простых чисел. Его работа примечательна использованием дзета-функции ζ ( s ) для действительных значений аргумента « s », как в работах Леонарда Эйлера , еще в 1737 году. Работы Чебышева предшествовали знаменитому мемуару Римана 1859 года, и ему удалось доказать несколько более слабую форму асимптотического закона, а именно, что если предел при стремлении x к бесконечности у π ( x ) / ( x / log( x )) вообще существует, то он обязательно равен единице. ^[8] Он смог безусловно доказать, что это отношение ограничено сверху и снизу числами 0,92129 и 1,10555 для всех достаточно больших x . ^{[9] [10]} Хотя работа Чебышева не доказала теорему о простых числах, его оценки для π ( x ) были достаточно сильными, чтобы доказать постулат Бертрана о том, что существует простое число между n и 2 n для любого целого числа n ≥ 2 .

Важной работой, посвященной распределению простых чисел, был мемуар Римана 1859 года « О числе простых чисел, меньших заданной величины », единственная работа, когда-либо написанная им по этой теме. Риман внес новые идеи в эту тему, главным образом, что распределение простых чисел тесно связано с нулями аналитически расширенной дзета-функции Римана комплексной переменной. В частности, именно в этой работе берет начало идея применить методы комплексного анализа к изучению действительной функции π ( x ) . Расширяя идеи Римана, два доказательства асимптотического закона распределения простых чисел были найдены независимо Жаком Адамаром ^[1] и Шарлем Жаном де ла Валле Пуссеном ^[2] и появились в том же году (1896). Оба доказательства использовали методы комплексного анализа, устанавливая в качестве основного шага доказательства, что дзета-функция Римана ζ ( s ) отлична от нуля для всех комплексных значений переменной s , которые имеют вид s = 1 + it при t > 0. [ ^11]

В 20 веке теорема Адамара и Валле-Пуссена также стала известна как теорема о простых числах. Было найдено несколько различных доказательств, включая «элементарные» доказательства Атле Сельберга ^[12] и Пауля Эрдёша ^[13] (1949). Первоначальные доказательства Адамара и Валле-Пуссена длинные и сложные; более поздние доказательства ввели различные упрощения посредством использования тауберовских теорем, но остались трудными для восприятия. Короткое доказательство было обнаружено в 1980 году американским математиком Дональдом Дж. Ньюманом . ^{[14] [15]} Доказательство Ньюмана, возможно, является самым простым известным доказательством теоремы, хотя оно не является элементарным в том смысле, что использует интегральную теорему Коши из комплексного анализа.

Эскиз доказательства

Вот набросок доказательства, упомянутого в одной из лекций Теренса Тао . ^[16] Как и большинство доказательств PNT, оно начинается с переформулировки проблемы в терминах менее интуитивной, но лучше ведущей себя функции подсчета простых чисел. Идея состоит в том, чтобы подсчитать простые числа (или связанный набор, такой как набор степеней простых чисел) с весами , чтобы получить функцию с более гладким асимптотическим поведением. Наиболее распространенной такой обобщенной функцией подсчета является функция Чебышева ψ ( x ) , определяемая как

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{k\geq 1}\!\!\sum _{\stackrel {p^{k}\leq x,}{p{\text{ is prime}}}}\!\!\!\!\log p\;.}$

Иногда это записывается как

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\;,}$

где Λ ( n ) — функция фон Мангольдта , а именно

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{ if }}n=p^{k}{\text{ for some prime }}p{\text{ and integer }}k\geq 1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Теперь относительно легко проверить, что PNT эквивалентен утверждению, что

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\psi (x)}{x}}=1\;.}$

Действительно, это следует из простых оценок

${\displaystyle \psi (x)=\!\!\!\!\sum _{\stackrel {p\leq x}{p{\text{ is prime}}}}\!\!\!\!\log p\left\lfloor {\frac {\log x}{\log p}}\right\rfloor \leq \!\!\!\!\sum _{\stackrel {p\leq x}{p{\text{ is prime}}}}\!\!\!\!\log x=\pi (x)\log x}$

и (используя большую нотацию O ) для любого ε > 0 ,

${\displaystyle \psi (x)\geq \!\!\!\!\sum _{\stackrel {x^{1-\varepsilon }\leq p\leq x}{p{\text{ is prime}}}}\!\!\!\!\log p\geq \!\!\!\!\sum _{\stackrel {x^{1-\varepsilon }\leq p\leq x}{p{\text{ is prime}}}}\!\!\!\!(1-\varepsilon )\log x=(1-\varepsilon )\left(\pi (x)+O\left(x^{1-\varepsilon }\right)\right)\log x\;.}$

Следующий шаг — найти полезное представление для ψ ( x ) . Пусть ζ ( s ) — дзета-функция Римана. Можно показать, что ζ ( s ) связана с функцией фон Мангольдта Λ ( n ) , а следовательно, и с ψ ( x ) , через соотношение

${\displaystyle -{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\,n^{-s}\;.}$

Тонкий анализ этого уравнения и связанных с ним свойств дзета-функции с использованием преобразования Меллина и формулы Перрона показывает, что для нецелых x уравнение

${\displaystyle \psi (x)=x\;-\;\log(2\pi )\;-\!\!\!\!\sum \limits _{\rho :\,\zeta (\rho )=0}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}}$

справедливо, где сумма берется по всем нулям (тривиальным и нетривиальным) дзета-функции. Эта поразительная формула является одной из так называемых явных формул теории чисел и уже предполагает результат, который мы хотим доказать, поскольку член x (утверждаемый как правильный асимптотический порядок ψ ( x ) ) появляется в правой части, за которым следуют (предположительно) асимптотические члены более низкого порядка.

Следующий шаг доказательства включает изучение нулей дзета-функции. Тривиальные нули −2, −4, −6, −8, ... могут быть обработаны отдельно:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n\,x^{2n}}}=-{\frac {1}{2}}\log \left(1-{\frac {1}{x^{2}}}\right),}$

который исчезает при больших x . Нетривиальные нули, а именно те, что на критической полосе 0 ≤ Re( s ) ≤ 1 , потенциально могут иметь асимптотический порядок, сравнимый с главным членом x, если Re( ρ ) = 1 , поэтому нам нужно показать, что все нули имеют действительную часть строго меньше 1.

Неисчезающий наРе( с ) = 1

Для этого мы предполагаем, что ζ ( s ) мероморфна в полуплоскости Re( s ) > 0 и аналитична там, за исключением простого полюса при s = 1 , и что существует формула произведения

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$

для Re( s ) > 1. Эта формула произведения следует из существования уникального разложения целых чисел на простые множители и показывает, что ζ ( s ) никогда не равно нулю в этой области, так что ее логарифм определен там и

${\displaystyle \log \zeta (s)=-\sum _{p}\log \left(1-p^{-s}\right)=\sum _{p,n}{\frac {p^{-ns}}{n}}\;.}$

Запишите s = x + iy  ; тогда

${\displaystyle {\big |}\zeta (x+iy){\big |}=\exp \left(\sum _{n,p}{\frac {\cos ny\log p}{np^{nx}}}\right)\;.}$

Теперь обратите внимание на идентичность

${\displaystyle 3+4\cos \phi +\cos 2\phi =2(1+\cos \phi )^{2}\geq 0\;,}$

так что

${\displaystyle \left|\zeta (x)^{3}\zeta (x+iy)^{4}\zeta (x+2iy)\right|=\exp \left(\sum _{n,p}{\frac {3+4\cos(ny\log p)+\cos(2ny\log p)}{np^{nx}}}\right)\geq 1}$

для всех x > 1. Предположим теперь, что ζ (1 + iy ) = 0. Конечно, y не равен нулю, так как ζ ( s ) имеет простой полюс при s = 1. Предположим, что x > 1 , и пусть x стремится к 1 сверху. Так как имеет простой полюс при s = 1 и ζ ( x + 2 iy ) остается аналитической, левая часть в предыдущем неравенстве стремится к 0, противоречие. ${\displaystyle \zeta (s)}$

Наконец, мы можем заключить, что PNT эвристически верна. Для строгого завершения доказательства все еще необходимо преодолеть серьезные технические трудности, связанные с тем, что суммирование по нулям дзета в явной формуле для ψ ( x ) сходится не абсолютно, а только условно и в смысле «главного значения». Есть несколько способов обойти эту проблему, но многие из них требуют довольно тонких комплексно-аналитических оценок. Книга Эдвардса ^[17] содержит подробности. Другой метод — использовать тауберову теорему Икехары , хотя сама эта теорема довольно сложна для доказательства. DJ Newman заметил, что для теоремы о простых числах не требуется полная сила теоремы Икехары, и можно обойтись частным случаем, который доказать гораздо проще.

Доказательство Ньюмена теоремы о простых числах

DJ Newman дает быстрое доказательство теоремы о простых числах (PNT). Доказательство является «неэлементарным» в силу того, что опирается на комплексный анализ, но использует только элементарные методы из первого курса по предмету: интегральная формула Коши , интегральная теорема Коши и оценки комплексных интегралов. Вот краткий набросок этого доказательства. См. ^[15] для полных подробностей.

Доказательство использует те же предварительные сведения, что и в предыдущем разделе, за исключением того, что вместо функции используется функция Чебышёва , которая получается отбрасыванием некоторых членов ряда для . Легко показать, что ЧНТ эквивалентна . Аналогично вместо используется функция , которая получается отбрасыванием некоторых членов ряда для . Функции и отличаются функцией , голоморфной на . Поскольку, как было показано в предыдущем разделе, не имеет нулей на прямой , не имеет особенностей на . ${\textstyle \psi }$ ${\textstyle \quad \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p}$ ${\textstyle \psi }$ ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\vartheta (x)/x=1}$ ${\displaystyle -{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}}$ ${\displaystyle \Phi (s)=\sum _{p\leq x}\log p\,\,p^{-s}}$ ${\displaystyle -{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}}$ ${\displaystyle \Phi (s)}$ ${\displaystyle -\zeta '(s)/\zeta (s)}$ ${\displaystyle \Re s=1}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle \Re s=1}$ ${\displaystyle \Phi (s)-{\frac {1}{s-1}}}$ ${\displaystyle \Re s=1}$

Еще одна часть информации, необходимая для доказательства Ньюмена, и которая является ключом к оценкам в его простом методе, заключается в том, что ограничено. Это доказывается с помощью остроумного и простого метода Чебышева. ${\displaystyle \vartheta (x)/x}$

Интеграция по частям показывает, как связаны и . Для , ${\displaystyle \vartheta (x)}$ ${\displaystyle \Phi (s)}$ ${\displaystyle \Re s>1}$

${\displaystyle \Phi (s)=\int _{1}^{\infty }x^{-s}d\vartheta (x)=s\int _{1}^{\infty }\vartheta (x)x^{-s-1}\,dx=s\int _{0}^{\infty }\vartheta (e^{t})e^{-st}\,dt.}$

Метод Ньюмена доказывает теорему о равенстве противоположностей, показывая интеграл

${\displaystyle I=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\vartheta (e^{t})}{e^{t}}}-1\right)\,dt.}$

сходится, и поэтому подынтегральное выражение стремится к нулю при , что является PNT. В общем случае сходимость несобственного интеграла не означает, что подынтегральное выражение стремится к нулю на бесконечности, поскольку оно может колебаться, но поскольку возрастает, это легко показать в этом случае. ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle \vartheta }$

Чтобы показать сходимость , пусть ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \Re z>0}$

${\displaystyle g_{T}(z)=\int _{0}^{T}f(t)e^{-zt}\,dt}$ и где ${\displaystyle g(z)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-zt}\,dt}$ ${\displaystyle f(t)={\frac {\vartheta (e^{t})}{e^{t}}}-1}$

затем

${\displaystyle \lim _{T\to \infty }g_{T}(z)=g(z)={\frac {\Phi (s)}{s}}-{\frac {1}{s-1}}\quad \quad {\text{where}}\quad z=s-1}$

которая равна функции, голоморфной на прямой . ${\displaystyle \Re z=0}$

Сходимость интеграла и, следовательно, теоремы о равенстве, доказывается, показывая, что . Это влечет за собой изменение порядка пределов, поскольку ее можно записать и, следовательно, классифицировать как тауберову теорему. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \lim _{T\to \infty }g_{T}(0)=g(0)}$ ${\textstyle \lim _{T\to \infty }\lim _{z\to 0}g_{T}(z)=\lim _{z\to 0}\lim _{T\to \infty }g_{T}(z)}$

Разница выражается с помощью интегральной формулы Коши , а затем показывается, что она мала при больших значениях, путем оценки подынтегрального выражения. Зафиксируем и такое, что является голоморфным в области, где , и пусть будет границей этой области. Поскольку 0 находится внутри области, интегральная формула Коши дает ${\displaystyle g(0)-g_{T}(0)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R>0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle g(z)}$ ${\displaystyle |z|\leq R{\text{ and }}\Re z\geq -\delta }$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle g(0)-g_{T}(0)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\left(g(z)-g_{T}(z)\right){\frac {dz}{z}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\left(g(z)-g_{T}(z)\right)F(z){\frac {dz}{z}}}$

где — множитель, введенный Ньюменом, который не меняет интеграл, поскольку является целым и . ${\displaystyle F(z)=e^{zT}\left(1+{\frac {z^{2}}{R^{2}}}\right)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(0)=1}$

Чтобы оценить интеграл, разобьем контур на две части, где и . Тогда где . Так как , и, следовательно , ограничено, пусть будет верхней границей для абсолютного значения . Эта граница вместе с оценкой для дает, что первый интеграл по абсолютному значению равен . Подынтегральное выражение над во втором интеграле является целым , поэтому по интегральной теореме Коши контур можно преобразовать в полуокружность радиуса в левой полуплоскости без изменения интеграла, и тот же аргумент, что и для первого интеграла, дает абсолютное значение второго интеграла равное . Наконец, допуская , третий интеграл стремится к нулю, так как и, следовательно, стремится к нулю на контуре. Объединяя две оценки и предел, получаем ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C=C_{+}+C_{-}}$ ${\displaystyle C_{+}=C\cap \left\{z\,\vert \,\Re z>0\right\}}$ ${\displaystyle C_{-}\cap \left\{\Re z\leq 0\right\}}$ ${\displaystyle g(0)-g_{T}(0)=\int _{C_{+}}\int _{T}^{\infty }H(t,z)dtdz-\int _{C_{-}}\int _{0}^{T}H(t,z)dtdz+\int _{C_{-}}g(z)F(z){\frac {dz}{2\pi iz}}}$ ${\displaystyle H(t,z)=f(t)e^{-tz}F(z)/2\pi i}$ ${\displaystyle \vartheta (x)/x}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle |F|\leq 2\exp(T\Re z)|\Re z|/R}$ ${\displaystyle |z|=R}$ ${\displaystyle \leq B/R}$ ${\displaystyle C_{-}}$ ${\displaystyle C_{-}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \leq B/R}$ ${\displaystyle T\to \infty }$ ${\displaystyle e^{zT}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \limsup _{T\to \infty }|g(0)-g_{T}(0)|\leq {\frac {2B}{R}}.}$

Это справедливо для любого so , и отсюда следует PNT. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \lim _{T\to \infty }g_{T}(0)=g(0)}$

Функция подсчета простых чисел в терминах логарифмического интеграла

В рукописной заметке к перепечатке своей статьи 1838 года « Об использовании бесконечных рядов в теории чисел », которую он отправил Гауссу, Дирихле высказал гипотезу (в несколько иной форме, обращаясь к рядам, а не к интегралам), что еще лучшее приближение к π ( x ) дается смещенной логарифмической интегральной функцией Li( x ) , определяемой как

${\displaystyle \operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\log t}}=\operatorname {li} (x)-\operatorname {li} (2).}$

Действительно, этот интеграл настоятельно предполагает идею о том, что «плотность» простых чисел вокруг t должна быть 1 / log t . Эта функция связана с логарифмом асимптотическим разложением

${\displaystyle \operatorname {Li} (x)\sim {\frac {x}{\log x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\log x)^{k}}}={\frac {x}{\log x}}+{\frac {x}{(\log x)^{2}}}+{\frac {2x}{(\log x)^{3}}}+\cdots }$

Итак, теорему о простых числах можно также записать как π ( x ) ~ Li( x ) . Фактически, в другой статье ^[18] в 1899 году де ла Валле Пуссен доказал, что

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {Li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty }$

для некоторой положительной константы a , где O (...) — это большая нотация O. Это было улучшено до

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(x\exp \left(-{\frac {A(\log x)^{\frac {3}{5}}}{(\log \log x)^{\frac {1}{5}}}}\right)\right)}$где . ^[19] ${\displaystyle A=0.2098}$

В 2016 году Трудян доказал явную верхнюю границу для разницы между и : ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$

${\displaystyle {\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}\leq 0.2795{\frac {x}{(\log x)^{3/4}}}\exp \left(-{\sqrt {\frac {\log x}{6.455}}}\right)}$

для . ^[20] ${\displaystyle x\geq 229}$

Связь между дзета-функцией Римана и π ( x ) является одной из причин, по которой гипотеза Римана имеет большое значение в теории чисел: если она будет установлена, она даст гораздо лучшую оценку ошибки, связанной с теоремой о простых числах, чем та, которая доступна сегодня. Более конкретно, Хельге фон Кох показал в 1901 году ^[21] , что если гипотеза Римана верна, то ошибка в приведенном выше соотношении может быть улучшена до

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {Li} (x)+O\left({\sqrt {x}}\log x\right)}$

(последняя оценка фактически эквивалентна гипотезе Римана). Константа, входящая в большую нотацию O, была оценена в 1976 году Лоуэллом Шенфельдом ^[22] , предполагающим гипотезу Римана:

${\displaystyle {\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}<{\frac {{\sqrt {x}}\log x}{8\pi }}}$

для всех x ≥ 2657. Он также вывел аналогичную границу для функции подсчета простых чисел Чебышева ψ :

${\displaystyle {\big |}\psi (x)-x{\big |}<{\frac {{\sqrt {x}}(\log x)^{2}}{8\pi }}}$

для всех x ≥ 73,2  . Было показано, что эта последняя граница выражает дисперсию к среднему степенному закону (если рассматривать ее как случайную функцию по целым числам) и ⁠1/ ф ⁠  шума и также соответствовать сложному распределению Пуассона Твиди . (Распределения Твиди представляют собой семейство масштабно-инвариантных распределений, которые служат фокусами сходимости для обобщения центральной предельной теоремы . ^[23] )

Логарифмический интеграл li( x ) больше, чем π ( x ) для «малых» значений x . Это потому, что он (в некотором смысле) учитывает не простые числа, а степени простых чисел, где степень p ⁿ простого числа p считается как ⁠1/ н ⁠ простого числа. Это говорит о том, что li( x ) обычно должно быть больше π ( x ) примерно на , и в частности всегда должно быть больше π ( x ) . Однако в 1914 году Дж. Э. Литтлвуд доказал, что меняет знак бесконечно часто. ^[24] Первое значение x , при котором π ( x ) превышает li( x ) , вероятно, составляет около x ~ 10 ${\displaystyle \ {\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x}})\ ,}$ ${\displaystyle \ \pi (x)-\operatorname {li} (x)\ }$³¹⁶ ; более подробную информацию см. в статье очисле Скьюза. (С другой стороны,смещенный логарифмический интеграл Li( x )меньше π ( x )уже для x = 2; действительно,Li(2) = 0, тогда как π (2) = 1.)

Элементарные доказательства

В первой половине двадцатого века некоторые математики (в частности, Г. Х. Харди ) считали, что в математике существует иерархия методов доказательства в зависимости от того, какие виды чисел ( целые , действительные , комплексные ) требуются для доказательства, и что теорема о распределении простых чисел (PNT) является «глубокой» теоремой в силу того, что требует комплексного анализа . ^[10] Это убеждение было несколько поколеблено доказательством PNT, основанным на тауберовой теореме Винера , хотя доказательство Винера в конечном счете опирается на свойства дзета-функции Римана на прямой , где должен использоваться комплексный анализ. ${\displaystyle {\text{re}}(s)=1}$

В марте 1948 года Атле Сельберг установил «элементарными» средствами асимптотическую формулу

${\displaystyle \vartheta (x)\log(x)+\sum \limits _{p\leq x}{\log(p)}\ \vartheta \left({\frac {x}{p}}\right)=2x\log(x)+O(x)}$

где

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum \limits _{p\leq x}{\log(p)}}$

для простых чисел p . ^[12] К июлю того же года Сельберг и Пол Эрдёш ^[13] получили элементарные доказательства ТРП, оба используя асимптотическую формулу Сельберга в качестве отправной точки. ^{[10] [25]} Эти доказательства фактически положили конец представлению о том, что ТРП была «глубокой» в этом смысле, и показали, что технически «элементарные» методы были более мощными, чем считалось ранее. Об истории элементарных доказательств ТРП, включая спор о приоритете Эрдёша–Сельберга , см. статью Дориана Голдфельда . ^[10]

Существуют некоторые споры о значимости результата Эрдёша и Сельберга. Не существует строгого и общепринятого определения понятия элементарного доказательства в теории чисел, поэтому неясно, в каком именно смысле их доказательство является «элементарным». Хотя оно не использует комплексный анализ, на самом деле оно гораздо более технично, чем стандартное доказательство PNT. Одним из возможных определений «элементарного» доказательства является «то, которое может быть выполнено в арифметике Пеано первого порядка ». Существуют утверждения теории чисел (например, теорема Париса–Харрингтона ), доказуемые с использованием методов второго порядка , но не первого порядка , но такие теоремы на сегодняшний день редки. Доказательство Эрдёша и Сельберга, безусловно, может быть формализовано в арифметике Пеано, и в 1994 году Хараламбос Корнарос и Костас Димитракопулос доказали, что их доказательство может быть формализовано в очень слабом фрагменте PA, а именно I Δ ₀ + exp . ^[26] Однако это не решает вопрос о том, может ли стандартное доказательство PNT быть формализовано в PA.

Более позднее «элементарное» доказательство теоремы о простых числах использует эргодическую теорию , предложенную Флорианом Рихтером. ^[27] Теорема о простых числах получена там в эквивалентной форме, что сумма Чезаро значений функции Лиувилля равна нулю. Функция Лиувилля равна , где — число простых множителей с кратностью целого числа . Затем Бергельсон и Рихтер (2022) получают эту форму теоремы о простых числах из эргодической теоремы, которую они доказывают: ${\displaystyle (-1)^{\omega (n)}}$ ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle n}$

Пусть будет компактным метрическим пространством, непрерывным отображением себя и -инвариантной борелевской вероятностной мерой, для которой является однозначно эргодической . Тогда для любого , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f\in C(X)}$

$${\displaystyle {\tfrac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f(T^{\omega (n)}x)\to \int _{X}f\,d\mu ,\quad \forall x\in X.}$$Эту эргодическую теорему можно также использовать для «мягких» доказательств результатов, связанных с теоремой о простых числах, таких как теорема Пиллаи–Сельберга и теорема Эрдёша–Деланжа .

Компьютерные проверки

В 2005 году Авигад и др. использовали доказатель теоремы Изабеллы для разработки компьютерно-проверенного варианта доказательства Эрдёша–Сельберга для ТРП. ^[28] Это было первое машинно-проверенное доказательство ТРП. Авигад решил формализовать доказательство Эрдёша–Сельберга, а не аналитическое, поскольку, хотя библиотека Изабеллы в то время могла реализовать понятия предела, производной и трансцендентной функции , в ней почти не было теории интегрирования, о которой можно было бы говорить. ^{[28] : 19}

В 2009 году Джон Харрисон использовал HOL Light для формализации доказательства, применяющего комплексный анализ . ^[29] Разработав необходимый аналитический аппарат, включая интегральную формулу Коши , Харрисон смог формализовать «прямое, современное и элегантное доказательство вместо более сложного «элементарного» аргумента Эрдёша–Сельберга».

Теорема о простых числах для арифметических прогрессий

Пусть π _{d , a} ( x ) обозначает количество простых чисел в арифметической прогрессии a , a + d , a + 2 d , a + 3 d , ... , которые меньше x . Дирихле и Лежандр выдвинули гипотезу, а Валле-Пуссен доказал, что если a и d взаимно просты , то

${\displaystyle \pi _{d,a}(x)\sim {\frac {\operatorname {Li} (x)}{\varphi (d)}}\ ,}$

где φ — это функция Эйлера . Другими словами, простые числа равномерно распределены по классам вычетов [ a ] ​​по модулю d с gcd( a , d ) = 1  . Это сильнее теоремы Дирихле об арифметических прогрессиях (которая утверждает только, что в каждом классе существует бесконечность простых чисел) и может быть доказано с использованием аналогичных методов, использованных Ньюманом для его доказательства теоремы о простых числах. ^[30]

Теорема Зигеля –Вальфиса дает хорошую оценку распределения простых чисел в классах вычетов.

Беннетт и др. ^[31] доказали следующую оценку, которая имеет явные константы A и B (теорема 1.3): Пусть d — целое число, а a — целое число, взаимно простое с d . Тогда существуют положительные константы A и B, такие что ${\displaystyle \geq 3}$

${\displaystyle \left|\pi _{d,a}(x)-{\frac {\ \operatorname {Li} (x)\ }{\ \varphi (d)\ }}\right|<{\frac {A\ x}{\ (\log x)^{2}\ }}\quad {\text{ for all }}\quad x\geq B\ ,}$

где

${\displaystyle A={\frac {1}{\ 840\ }}\quad {\text{ if }}\quad 3\leq d\leq 10^{4}\quad {\text{ and }}\quad A={\frac {1}{\ 160\ }}\quad {\text{ if }}\quad d>10^{4}~,}$

и

${\displaystyle B=8\cdot 10^{9}\quad {\text{ if }}\quad 3\leq d\leq 10^{5}\quad {\text{ and }}\quad B=\exp(\ 0.03\ {\sqrt {d\ }}\ (\log {d})^{3}\ )\quad {\text{ if }}\quad d>10^{5}\ .}$

Гонка за простыми числами

График функции для n ≤ 30000 ${\displaystyle \ \pi (x;4,3)-\pi (x;4,1)\ }$

Хотя у нас есть, в частности,

${\displaystyle \pi _{4,1}(x)\sim \pi _{4,3}(x)\ ,}$

эмпирически простые числа, конгруэнтные 3, более многочисленны и почти всегда впереди в этой «гонке за простыми числами»; первый разворот происходит при x = 26861. [ ^{32] : 1–2} Однако Литтлвуд показал в 1914 году ^{[32] : 2} , что существует бесконечно много изменений знака для функции

${\displaystyle \pi _{4,1}(x)-\pi _{4,3}(x)~,}$

поэтому лидерство в гонке переходит туда и обратно бесконечное количество раз. Явление, при котором π _4,3 ( x ) оказывается впереди большую часть времени, называется смещением Чебышева . Гонка за простыми числами обобщается на другие модули и является предметом многих исследований; Пал Туран спросил, всегда ли π ( x ; a , c ) и π ( x ; b , c ) меняются местами, когда a и b взаимно просты с c . ^[33] Грэнвилл и Мартин дают подробное изложение и обзор. ^[32]

График количества простых чисел, оканчивающихся на 1, 3, 7 и 9 до n для n < 10 000

Другим примером является распределение последней цифры простых чисел. За исключением 2 и 5, все простые числа заканчиваются на 1, 3, 7 или 9. Теорема Дирихле утверждает, что асимптотически 25% всех простых чисел заканчиваются на каждую из этих четырех цифр. Однако эмпирические данные показывают, что количество простых чисел, которые заканчиваются на 3 или 7, меньшие n, имеет тенденцию быть немного больше, чем количество простых чисел, которые заканчиваются на 1 или 9, меньшие n (поколение смещения Чебышева). ^[34] Из этого следует, что 1 и 9 являются квадратичными вычетами по модулю 10, а 3 и 7 являются квадратичными невычетами по модулю 10.

Неасимптотические границы функции подсчета простых чисел

Теорема о простых числах является асимптотическим результатом. Она дает неэффективную границу для π ( x ) как прямое следствие определения предела: для всех ε > 0 существует S такое, что для всех x > S ,

${\displaystyle (1-\varepsilon ){\frac {x}{\log x}}\;<\;\pi (x)\;<\;(1+\varepsilon ){\frac {x}{\log x}}\;.}$

Однако известны и лучшие оценки π ( x ) , например, оценка Пьера Дюсара

${\displaystyle {\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}\right)\;<\;\pi (x)\;<\;{\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2.51}{(\log x)^{2}}}\right)\;.}$

Первое неравенство справедливо для всех x ≥ 599 , а второе — для x ≥ 355991. [ ^35]

Более слабая, но иногда полезная граница для x ≥ 55 — ^[36]

${\displaystyle {\frac {x}{\log x+2}}\;<\;\pi (x)\;<\;{\frac {x}{\log x-4}}\;.}$

В диссертации Пьера Дюсара есть более сильные версии этого типа неравенства, которые справедливы для больших x . Позднее в 2010 году Дюсар доказал: ^[37]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x}{\log x-1}}\;&<\;\pi (x)&&{\text{ for }}x\geq 5393\;,{\text{ and }}\\\pi (x)\;&<\;{\frac {x}{\log x-1.1}}&&{\text{ for }}x\geq 60184\;.\end{aligned}}}$

Доказательство де ла Валле Пуссена подразумевает следующее: для каждого ε > 0 существует S такое, что для всех x > S

${\displaystyle {\frac {x}{\log x-(1-\varepsilon )}}\;<\;\pi (x)\;<\;{\frac {x}{\log x-(1+\varepsilon )}}\;.}$

Приближения длянпростое число

В результате теоремы о простых числах получается асимптотическое выражение для n- го простого числа, обозначаемое как p _n :

${\displaystyle p_{n}\sim n\log n.}$^{[ необходима ссылка ]}

Лучшим приближением является ^[38]

${\displaystyle {\frac {p_{n}}{n}}=\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2}{\log n}}-{\frac {(\log \log n)^{2}-6\log \log n+11}{2(\log n)^{2}}}+o\left({\frac {1}{(\log n)^{2}}}\right).}$

Опять же, учитывая2 × 10 ¹⁷ -е простое число8 512 677 386 048 191 063 , это дает оценку8 512 681 315 554 715 386 ; первые 5 цифр совпадают, относительная погрешность составляет около 0,00005%.

Теорема Россера утверждает, что

${\displaystyle p_{n}>n\log n.}$

Это можно улучшить с помощью следующей пары ограничений: ^{[36] [39]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\log n+\log \log n-1\;&<\;{\frac {p_{n}}{n}}&&{\text{ for }}n\geq 6\;,{\text{ and }}\\{\frac {p_{n}}{n}}\;&<\;\log n+\log \log n-0.9484&&{\text{ for }}n\geq 39017\;.\end{aligned}}}$

Таблицаπ ( х ),х / лог х, или( х )

Таблица сравнивает точные значения π ( x ) с двумя приближениями x / log x и li( x ) . Последний столбец, x / π ( x ) , представляет собой средний простой промежуток ниже  x .

Значение π (10 ²⁴ ) было первоначально вычислено, предполагая гипотезу Римана ; ^[40] с тех пор оно было проверено безоговорочно. ^[41]

Аналог для неприводимых многочленов над конечным полем

Существует аналог теоремы о простых числах, описывающий «распределение» неприводимых многочленов в конечном поле ; форма, которую он принимает, поразительно похожа на случай классической теоремы о простых числах.

Чтобы сформулировать это точно, пусть F = GF( q ) будет конечным полем с q элементами, для некоторого фиксированного q , и пусть N _n будет числом монических неприводимых многочленов над F , степень которых равна n . То есть, мы рассматриваем многочлены с коэффициентами, выбранными из F , которые не могут быть записаны как произведения многочленов меньшей степени. В этой ситуации эти многочлены играют роль простых чисел, поскольку все другие монические многочлены построены из их произведений. Тогда можно доказать, что

${\displaystyle N_{n}\sim {\frac {q^{n}}{n}}.}$

Если мы сделаем замену x = q ⁿ , то правая часть будет просто

${\displaystyle {\frac {x}{\log _{q}x}},}$

что делает аналогию более ясной. Поскольку существует ровно q ⁿ монических многочленов степени n (включая приводимые), это можно перефразировать следующим образом: если монический многочлен степени n выбран случайным образом, то вероятность того, что он будет неприводимым, составляет около  ⁠1/н⁠ .

Можно даже доказать аналог гипотезы Римана, а именно, что

${\displaystyle N_{n}={\frac {q^{n}}{n}}+O\left({\frac {q^{\frac {n}{2}}}{n}}\right).}$

Доказательства этих утверждений гораздо проще, чем в классическом случае. Они включают в себя короткий комбинаторный аргумент, ^[42] суммированный следующим образом: каждый элемент степени n расширения F является корнем некоторого неприводимого многочлена, степень d которого делит n ; подсчитывая эти корни двумя различными способами, можно установить, что

${\displaystyle q^{n}=\sum _{d\mid n}dN_{d},}$

где сумма берется по всем делителям d числа n . Тогда инверсия Мёбиуса дает

${\displaystyle N_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)q^{d},}$

где μ ( k ) — функция Мёбиуса . (Эта формула была известна Гауссу.) Главный член возникает при d = n , и нетрудно ограничить оставшиеся члены. Утверждение «гипотезы Римана» зависит от того факта, что наибольший собственный делитель n не может быть больше ⁠н/2⁠ .

Смотрите также

• Абстрактная аналитическая теория чисел для получения информации об обобщениях теоремы.
• Теорема Ландау о простых идеалах для обобщения на простые идеалы в полях алгебраических чисел.
• гипотеза Римана

Цитаты

1. Адамар, Жак (1896), «Sur la Distribution des Zéros de la fonction ζ (s) et ses conséquences arithmétiques.», Bulletin de la Société Mathématique de France , 24 , Société Mathématique de France: 199–220, заархивировано из оригинал от 10 сентября 2024 г.
2. de la Vallée Poussin, Шарль-Жан (1896), «Аналитические исследования по теории премьер-министров», Annales de la Société scientifique de Bruxelles , 20 B, 21 B, Imprimeur de l'Académie Royale de Belgique: 183 –256, 281–352, 363–397, 351–368
3. Хоффман, Пол (1998). Человек, который любил только цифры . Нью-Йорк: Hyperion Books. стр. 227. ISBN 978-0-7868-8406-3. МР  1666054.
4. "Prime Curios!: 8512677386048191063". Prime Curios! . Университет Теннесси в Мартине. 2011-10-09.
5. М. Апостол, Том (1976). Введение в аналитическую теорию чисел. Undergraduate Texts in Mathematics (1-е изд.). Springer. стр. 80–82. doi :10.1007/978-1-4757-5579-4. ISBN 978-1-4757-5579-4.
6. М. Апостол, Том (1976). Введение в аналитическую теорию чисел. Undergraduate Texts in Mathematics (1-е изд.). Springer. стр. 92–94. doi :10.1007/978-1-4757-5579-4. ISBN 978-1-4757-5579-4.
7. Гаусс, CF (1863), Werke, том. 2 (1-е изд.), Геттинген: Тойбнер, стр. 444–447..
8. Коста Перейра, Н. (август–сентябрь 1985 г.). «Краткое доказательство теоремы Чебышева». American Mathematical Monthly . 92 (7): 494–495. doi :10.2307/2322510. JSTOR  2322510.
9. Nair, M. (февраль 1982 г.). «О неравенствах типа Чебышева для простых чисел». American Mathematical Monthly . 89 (2): 126–129. doi :10.2307/2320934. JSTOR  2320934.
10. Goldfeld, Dorian (2004). "Элементарное доказательство теоремы о простых числах: историческая перспектива" (PDF) . В Chudnovsky, David; Chudnovsky, Gregory; Nathanson, Melvyn (ред.). Теория чисел (Нью-Йорк, 2003) . Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 179–192. doi :10.1007/978-1-4419-9060-0_10. ISBN 978-0-387-40655-8. МР  2044518.
11. Ингхэм, А.Е. (1990). Распределение простых чисел . Cambridge University Press. С. 2–5. ISBN 978-0-521-39789-6.
12. Selberg, Atle (1949), «Элементарное доказательство теоремы о простых числах», Annals of Mathematics , 50 (2): 305–313, doi :10.2307/1969455, JSTOR  1969455, MR  0029410, S2CID  124153092
13. Erdős, Paul (1949-07-01), «О новом методе в элементарной теории чисел, который приводит к элементарному доказательству теоремы о простых числах» (PDF) , Труды Национальной академии наук , 35 (7), США: Национальная академия наук: 374–384, Bibcode : 1949PNAS...35..374E, doi : 10.1073/pnas.35.7.374 , PMC 1063042 , PMID  16588909 
14. Ньюман, Дональд Дж. (1980). «Простое аналитическое доказательство теоремы о простых числах». American Mathematical Monthly . 87 (9): 693–696. doi :10.2307/2321853. JSTOR  2321853. MR  0602825.
15. Zagier, Don (1997). «Краткое доказательство Ньюмена теоремы о простых числах». American Mathematical Monthly . 104 (8): 705–708. doi :10.2307/2975232. JSTOR  2975232. MR  1476753.
16. Тао, Теренс (10 декабря 2014 г.). "254A, Notes 2: Complex-analytic multiplicative number theory". Блог Теренса Тао .
17. Эдвардс, Гарольд М. (2001). Дзета-функция Римана . Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-41740-0.
18. де ла Валле Пуссен, Шарль-Жан (1899), «Sur la fonction ζ (s) de Riemann et le nombre des nombres premiers inférieurs a une limite donnée», Mémoires couronnés de l'Académie de Belgique , 59 , Imprimeur de Королевская академия Бельгии: 1–74
19. Кевин Форд (2002). «Интеграл Виноградова и оценки для дзета-функции Римана» (PDF) . Proc. London Math. Soc . 85 (3): 565–633. arXiv : 1910.08209 . doi :10.1112/S0024611502013655. S2CID  121144007.
20. Тим Труджиан (февраль 2016 г.). «Обновление ошибочного члена в теореме о простых числах». Ramanujan Journal . 39 (2): 225–234. arXiv : 1401.2689 . doi : 10.1007/s11139-014-9656-6. S2CID  11013503.
21. фон Кох, Хельге (1901). "Sur la distribution des nombres premiers" [О распределении простых чисел]. Acta Mathematica (на французском). 24 (1): 159–182. doi : 10.1007/BF02403071 . MR  1554926. S2CID  119914826.
22. Шенфельд, Лоуэлл (1976). «Более точные оценки функций Чебышева ϑ ( x ) и ψ ( x ) . II». Математика вычислений . 30 (134): 337–360. doi :10.2307/2005976. JSTOR  2005976. MR  0457374.
23. Йоргенсен, Бент; Мартинес, Хосе Рауль; Цао, Мин (1994). «Асимптотическое поведение функции дисперсии». Scandinavian Journal of Statistics . 21 (3): 223–243. JSTOR  4616314. MR  1292637.
24. Литтлвуд, Дж. Э. (1914). «Сюр-ла-распространение имен премьер-министров». Комптес Рендус . 158 : 1869–1872. ЯФМ  45.0305.01.
25. Baas, Nils A.; Skau, Christian F. (2008). «Властелин чисел, Атле Сельберг. О его жизни и математике» (PDF) . Bull. Amer. Math. Soc . 45 (4): 617–649. doi : 10.1090/S0273-0979-08-01223-8 . MR  2434348.
26. Корнарос, Хараламбос; Димитракопулос, Костас (1994). "Теорема о простых числах и фрагменты PA" (PDF) . Архив для Mathematical Logic . 33 (4): 265–281. doi :10.1007/BF01270626. MR  1294272. S2CID  29171246. Архивировано из оригинала (PDF) 2011-07-21.
27. Бергельсон, В. и Рихтер, Ф. К. (2022). Динамические обобщения теоремы о простых числах и дизъюнктность аддитивных и мультипликативных полугрупповых действий. Duke Mathematical Journal, 171(15), 3133-3200.
28. Авигад, Джереми; Доннелли, Кевин; Грей, Дэвид; Рафф, Пол (2008). «Формально проверенное доказательство теоремы о простых числах». ACM Transactions on Computational Logic . 9 (1): 2. arXiv : cs/0509025 . doi :10.1145/1297658.1297660. MR  2371488. S2CID  7720253.
29. Харрисон, Джон (2009). «Формализация аналитического доказательства теоремы о простых числах». Журнал автоматизированного рассуждения . 43 (3): 243–261. CiteSeerX 10.1.1.646.9725 . doi :10.1007/s10817-009-9145-6. MR  2544285. S2CID  8032103. 
30. Сопроунов, Иван (1998). «Краткое доказательство теоремы о простых числах для арифметических прогрессий». Огайо: Университет штата Кливленд . CiteSeerX 10.1.1.179.460 . 
31. Беннетт, Майкл А.; Мартин, Грег; О'Брайант, Кевин; Рехницер, Эндрю (2018). «Явные границы для простых чисел в арифметических прогрессиях». Illinois J. Math . 62 (1–4): 427–532. arXiv : 1802.00085 . doi : 10.1215/ijm/1552442669. S2CID  119647640.
32. Гранвиль, Эндрю ; Мартин, Грег (2006). «Гонки за простыми числами» (PDF) . American Mathematical Monthly . 113 (1): 1–33. doi :10.2307/27641834. JSTOR  27641834. MR  2202918.
33. Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Springer-Verlag . A4. ISBN 978-0-387-20860-2. Збл  1058.11001.
34. Лемке Оливер, Роберт Дж.; Соундарараджан, Каннан (2016-08-02). "Неожиданные смещения в распределении последовательных простых чисел". Труды Национальной академии наук . 113 (31): E4446-54. arXiv : 1603.03720 . Bibcode : 2016PNAS..113E4446L. doi : 10.1073/pnas.1605366113 . ISSN  0027-8424. PMC 4978288. PMID 27418603  . 
35. Дюсар, Пьер (26 мая 1998 г.). Автор функции, которая является именем премьер-министра. Департамент математики (докторская диссертация) (на французском языке). Лимож, Франция: Университет Лиможа. Архивировано из оригинала 9 июня 2023 г.
36. Rosser, Barkley (1941). «Явные границы для некоторых функций простых чисел». American Journal of Mathematics . 63 (1): 211–232. doi :10.2307/2371291. JSTOR  2371291. MR  0003018.
37. Дюсарт, Пьер (2010). «Оценки некоторых функций над простыми числами без RH». arXiv : 1002.0442 [math.NT].
38. Чезаро, Эрнесто (1894). «Sur une Formulae Empirique de M. Pervouchine». Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences (на французском языке). 119 : 848–849.
39. Дюсарт, Пьер (1999). «К-е простое число больше, чем k(log k + log log k−1) для k ≥ 2». Математика вычислений . 68 (225): 411–415. doi : 10.1090/S0025-5718-99-01037-6 . MR  1620223.
40. "Условное вычисление π(1024)". Крис К. Колдуэлл. Архивировано из оригинала 2010-08-04 . Получено 2010-08-03 .
41. Платт, Дэвид (2015). «Вычисление π ( x ) аналитически». Математика вычислений . 84 (293): 1521–1535. arXiv : 1203.5712 . doi :10.1090/S0025-5718-2014-02884-6. MR  3315519. S2CID  119174627.
42. Chebolu, Sunil; Mináč, Ján (декабрь 2011 г.). «Подсчет неприводимых многочленов над конечными полями с использованием принципа исключения включения π ». Mathematics Magazine . 84 (5): 369–371. arXiv : 1001.0409 . doi :10.4169/math.mag.84.5.369. JSTOR  10.4169/math.mag.84.5.369. S2CID  115181186.

Ссылки

• Грэнвилл, Эндрю (1995). «Харальд Крамер и распределение простых чисел» (PDF) . Scandinavian Actuarial Journal . 1 : 12–28. CiteSeerX  10.1.1.129.6847 . doi :10.1080/03461238.1995.10413946.
• Харди, GH ; Литтлвуд, JE (1916). «Вклад в теорию дзета-функции Римана и теорию распределения простых чисел». Acta Mathematica . 41 : 119–196. doi : 10.1007/BF02422942 . S2CID  53405990.
• Харди, Г. Х.; Райт , Э. М. (2008) [1-е изд. 1938], Введение в теорию чисел , пересмотренное Д. Р. Хит-Брауном и Дж. Х. Сильверманом , с предисловием Эндрю Уайлса (6-е изд.), Оксфорд: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-921985-8
• Наркевич, Владислав (2000), Развитие теории простых чисел: от Евклида до Харди и Литтлвуда , Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, doi :10.1007/978-3-662-13157-2, ISBN 978-3-540-66289-1, ISSN  1439-7382

Внешние ссылки

• «Распределение простых чисел», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Таблица простых чисел Антона Фелькеля.
• Короткое видео, наглядно демонстрирующее теорему о простых числах.
• Формулы простых чисел и теорема о простых числах на MathWorld .
• Сколько существует простых чисел? Архивировано 15 октября 2012 г. в Wayback Machine и The Gaps between Primes Криса Колдуэлла, Университет Теннесси в Мартине .
• Таблицы функций подсчета простых чисел Томаса Оливейры и Силвы
• Эберл, Мануэль и Полсон, Л.С. Теорема о простых числах (Формальное доказательство, разработка в Isabelle/HOL, Архив формальных доказательств)
• Теорема о простых числах: «элементарное» доказательство — изложение элементарного доказательства теоремы о простых числах Атле Сельберга и Пауля Эрдёша на сайте www.dimostriamogoldbach.it/en/