Функция Лиувилля

Арифметическая функция

Лямбда- функция Лиувилля , обозначаемая λ( n ) и названная в честь Жозефа Лиувилля , является важной арифметической функцией . Ее значение равно +1, если n является произведением четного числа простых чисел , и −1 , если оно является произведением нечетного числа простых чисел.

Явно, основная теорема арифметики утверждает, что любое положительное целое число n может быть представлено единственным образом в виде произведения степеней простых чисел: n = p ₁ ^{a ₁} ⋯ p _k ^{a _k} , где p ₁ < p ₂ < ... < p _k — простые числа, а a _j — положительные целые числа. ( 1 задается пустым произведением.) Функции простых омега-числ подсчитывают количество простых чисел с кратностью ( Ω ) или без нее ( ω ):

${\displaystyle \omega (n)=k,}$

${\displaystyle \Omega (n)=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}.}$

λ( n ) определяется по формуле

${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}}$

(последовательность A008836 в OEIS ).

λ полностью мультипликативен , поскольку Ω( n ) полностью аддитивен , т.е.: Ω( ab ) = Ω( a ) + Ω( b ) . Поскольку 1 не имеет простых множителей, Ω(1) = 0 , поэтому λ(1) = 1 .

Она связана с функцией Мёбиуса μ( n ) . Запишите n как n = a ² b , где b бесквадратно , т.е. ω( b ) = Ω( b ) . Тогда

${\displaystyle \lambda (n)=\mu (b).}$

Сумма функции Лиувилля по делителям n является характеристической функцией квадратов :

${\displaystyle \sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ is a perfect square,}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Обращение Мёбиуса этой формулы дает

${\displaystyle \lambda (n)=\sum _{d^{2}|n}\mu \left({\frac {n}{d^{2}}}\right).}$

Обратная функция Дирихле функции Лиувилля – это абсолютное значение функции Мёбиуса, λ ^–1 ( n ) = |μ( n )| = μ ² ( n ) , характеристической функции целых чисел, свободных от квадратов. Мы также имеем, что λ( n ) = μ ² ( n ) .

Ряд

Ряд Дирихле для функции Лиувилля связан с дзета-функцией Римана соотношением

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.}$

Также:

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)\ln n}{n}}=-\zeta (2)=-{\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$

Ряд Ламберта для функции Лиувилля имеет вид

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {1}{2}}\left(\vartheta _{3}(q)-1\right),}$

где — тета-функция Якоби . ${\displaystyle \vartheta _{3}(q)}$

Предположения о взвешенных сумматорных функциях

Сумматорная функция Лиувилля L ( n ) до n  = 10 ^4. Хорошо заметные колебания обусловлены первым нетривиальным нулем дзета-функции Римана.

Сумматорная функция Лиувилля L ( n ) до n  = ^107. Обратите внимание на кажущуюся масштабную инвариантность колебаний.

Логарифмический график отрицательной части суммарной функции Лиувилля L ( n ) до n  = 2 × 10 ⁹ . Зеленый пик показывает саму функцию (а не ее отрицательность) в узкой области, где гипотеза Полиа не выполняется; синяя кривая показывает колебательный вклад первого нуля Римана.

Гармоническая сумматорная функция Лиувилля T ( n ) до n  = 10 ³

Проблема Полиа — это вопрос, поднятый Джорджем Полиа в 1919 году. Определение

${\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)}$(последовательность A002819 в OEIS ),

в задаче спрашивается, выполняется ли условие n >  1. Ответ оказывается отрицательным. Наименьшим контрпримером является n  = 906150257, найденный Минору Танакой в ​​1980 году. С тех пор было показано, что L ( n ) > 0,0618672 √ n для бесконечного числа положительных целых чисел n , ^[1] хотя можно также показать с помощью тех же методов, что L ( n ) < -1,3892783 √ n для бесконечного числа положительных целых чисел n . ^[2] ${\displaystyle L(n)\leq 0}$

Для любого , предполагая гипотезу Римана, мы имеем, что сумматорная функция ограничена величиной ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle L(x)\equiv L_{0}(x)}$

${\displaystyle L(x)=O\left({\sqrt {x}}\exp \left(C\cdot \log ^{1/2}(x)\left(\log \log x\right)^{5/2+\varepsilon }\right)\right),}$

где — некоторая абсолютная предельная константа. ^[2] ${\displaystyle C>0}$

Определить соответствующую сумму

${\displaystyle T(n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\lambda (k)}{k}}.}$

Некоторое время было открыто, T ( n ) ≥ 0 для достаточно больших n ≥ n ₀ (эта гипотеза иногда, хотя и ошибочно, приписывается Палу Турану ). Затем это было опровергнуто Хаселгроувом (1958), который показал, что T ( n ) принимает отрицательные значения бесконечно часто. Подтверждение этой гипотезы о положительности привело бы к доказательству гипотезы Римана , как это было показано Палом Тураном .

Обобщения

В более общем случае мы можем рассмотреть взвешенные суммирующие функции по функции Лиувилля, определенные для любого следующим образом для положительных целых чисел x, где (как и выше) мы имеем особые случаи и ^[2] ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L(x):=L_{0}(x)}$ ${\displaystyle T(x)=L_{1}(x)}$

${\displaystyle L_{\alpha }(x):=\sum _{n\leq x}{\frac {\lambda (n)}{n^{\alpha }}}.}$

Эти -взвешенные суммирующие функции связаны с функцией Мертенса , или взвешенными суммирующими функциями функции Мёбиуса . Фактически, мы имеем, что так называемая невзвешенная, или обычная функция, точно соответствует сумме ${\displaystyle \alpha ^{-1}}$ ${\displaystyle L(x)}$

${\displaystyle L(x)=\sum _{d^{2}\leq x}M\left({\frac {x}{d^{2}}}\right)=\sum _{d^{2}\leq x}\sum _{n\leq {\frac {x}{d^{2}}}}\mu (n).}$

Более того, эти функции удовлетворяют аналогичным ограничивающим асимптотическим соотношениям. ^[2] Например, всякий раз, когда , мы видим, что существует абсолютная константа такая, что ${\displaystyle 0\leq \alpha \leq {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle C_{\alpha }>0}$

${\displaystyle L_{\alpha }(x)=O\left(x^{1-\alpha }\exp \left(-C_{\alpha }{\frac {(\log x)^{3/5}}{(\log \log x)^{1/5}}}\right)\right).}$

Применяя формулу Перрона или, что эквивалентно, с помощью ключевого (обратного) преобразования Меллина , мы имеем, что

${\displaystyle {\frac {\zeta (2\alpha +2s)}{\zeta (\alpha +s)}}=s\cdot \int _{1}^{\infty }{\frac {L_{\alpha }(x)}{x^{s+1}}}dx,}$

которое затем можно инвертировать с помощью обратного преобразования, чтобы показать, что для , и ${\displaystyle x>1}$ ${\displaystyle T\geq 1}$ ${\displaystyle 0\leq \alpha <{\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle L_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi \imath }}\int _{\sigma _{0}-\imath T}^{\sigma _{0}+\imath T}{\frac {\zeta (2\alpha +2s)}{\zeta (\alpha +s)}}\cdot {\frac {x^{s}}{s}}ds+E_{\alpha }(x)+R_{\alpha }(x,T),}$

где мы можем взять , и с остаточными членами, определенными так, что и как . ${\displaystyle \sigma _{0}:=1-\alpha +1/\log(x)}$ ${\displaystyle E_{\alpha }(x)=O(x^{-\alpha })}$ ${\displaystyle R_{\alpha }(x,T)\rightarrow 0}$ ${\displaystyle T\rightarrow \infty }$

В частности, если предположить, что гипотеза Римана (RH) верна и что все нетривиальные нули, обозначаемые как , дзета-функции Римана являются простыми , то для любого и существует бесконечная последовательность , которая удовлетворяет условию для всех v таких, что ${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}+\imath \gamma }$ ${\displaystyle 0\leq \alpha <{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle x\geq 1}$ ${\displaystyle \{T_{v}\}_{v\geq 1}}$ ${\displaystyle v\leq T_{v}\leq v+1}$

${\displaystyle L_{\alpha }(x)={\frac {x^{1/2-\alpha }}{(1-2\alpha )\zeta (1/2)}}+\sum _{|\gamma |<T_{v}}{\frac {\zeta (2\rho )}{\zeta ^{\prime }(\rho )}}\cdot {\frac {x^{\rho -\alpha }}{(\rho -\alpha )}}+E_{\alpha }(x)+R_{\alpha }(x,T_{v})+I_{\alpha }(x),}$

где для любого все более малого мы определяем ${\displaystyle 0<\varepsilon <{\frac {1}{2}}-\alpha }$

${\displaystyle I_{\alpha }(x):={\frac {1}{2\pi \imath \cdot x^{\alpha }}}\int _{\varepsilon +\alpha -\imath \infty }^{\varepsilon +\alpha +\imath \infty }{\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}\cdot {\frac {x^{s}}{(s-\alpha )}}ds,}$

и где остаточный член

${\displaystyle R_{\alpha }(x,T)\ll x^{-\alpha }+{\frac {x^{1-\alpha }\log(x)}{T}}+{\frac {x^{1-\alpha }}{T^{1-\varepsilon }\log(x)}},}$

что, конечно, стремится к 0 как . Эти точные аналитические формулы разложения снова имеют схожие свойства с соответствующими случаям взвешенной функции Мертенса . Кроме того, поскольку у нас есть еще одно сходство в виде с в той степени, в которой доминирующий ведущий член в предыдущих формулах предсказывает отрицательное смещение в значениях этих функций по сравнению с положительными натуральными числами x . ${\displaystyle T\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \zeta (1/2)<0}$ ${\displaystyle L_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle M(x)}$

Ссылки

1. Борвейн, П.; Фергюсон, Р.; Моссингхофф, М. Дж. (2008). «Изменение знака в суммах функции Лиувилля». Математика вычислений . 77 (263): 1681–1694. doi : 10.1090/S0025-5718-08-02036-X .
2. Хамфрис, Питер (2013). «Распределение взвешенных сумм функции Лиувилля и гипотеза Полиа». Журнал теории чисел . 133 (2): 545–582. arXiv : 1108.1524 . doi : 10.1016/j.jnt.2012.08.011 .

• Полиа, Г. (1919). «Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie». Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 28 : 31–40.
• Haselgrove, C. Brian (1958). «Опровержение гипотезы Полиа». Mathematika . 5 (2): 141–145. doi :10.1112/S0025579300001480. ISSN  0025-5793. MR  0104638. Zbl  0085.27102.
• Леман, Р. (1960). «О функции Лиувилля». Математика вычислений . 14 (72): 311–320. doi : 10.1090/S0025-5718-1960-0120198-5 . MR  0120198.
• Танака, Минору (1980). «Численное исследование кумулятивной суммы функции Лиувилля». Tokyo Journal of Mathematics . 3 (1): 187–189. doi : 10.3836/tjm/1270216093 . MR  0584557.
• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Лиувилля». Математический мир .
• А.Ф. Лаврик (2001) [1994], "Функция Лиувилля", Энциклопедия математики , Издательство EMS