Целое число

Число в {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...}

Целые числа, расположенные на числовой прямой

Целое число — это число ноль ( ), положительное натуральное число (1, 2, 3, . . .) или отрицание положительного натурального числа ( −1 , −2, −3, . . .). ^[1] Отрицания или аддитивные обратные числа положительных натуральных чисел называются отрицательными целыми числами . ^[2] Множество всех целых чисел часто обозначается жирным шрифтом Z или blackboard bold . ^{[3] [4]} ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Множество натуральных чисел является подмножеством , которое в свою очередь является подмножеством множества всех рациональных чисел , которое само является подмножеством действительных чисел ^[a] Подобно множеству натуральных чисел, множество целых чисел является счетно бесконечным . Целое число можно рассматривать как действительное число, которое можно записать без дробной части . Например, 21, 4, 0 и −2048 являются целыми числами, в то время как 9,75, ⁠5 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$+1/2⁠ , 5/4 и  √ 2 не являются. ^[8]

Целые числа образуют наименьшую группу и наименьшее кольцо , содержащее натуральные числа . В алгебраической теории чисел целые числа иногда квалифицируются как рациональные целые числа, чтобы отличить их от более общих алгебраических целых чисел . Фактически, (рациональные) целые числа являются алгебраическими целыми числами, которые также являются рациональными числами .

История

Слово integer происходит от латинского integer, означающего «целый» или (буквально) «нетронутый», от in («не») плюс tangere («касаться»). «Entire» происходит от того же источника через французское слово entier , которое означает как целый , так и целое число . ^[9] Исторически этот термин использовался для числа , которое было кратно 1, ^{[10] [11]} или целой части смешанного числа . ^{[12] [13]} Рассматривались только положительные целые числа, что делало термин синонимом натуральных чисел . Определение integer со временем расширилось, включив в него отрицательные числа, поскольку их полезность была признана. ^[14] Например, Леонард Эйлер в своих «Элементах алгебры» 1765 года определил целые числа как включающие как положительные, так и отрицательные числа. ^[15]

Фраза множество целых чисел не использовалась до конца 19 века, когда Георг Кантор ввел понятие бесконечных множеств и теорию множеств . Использование буквы Z для обозначения множества целых чисел происходит от немецкого слова Zahlen («числа») ^{[3] [4]} и приписывается Давиду Гильберту . ^[16] Самое раннее известное использование этой записи в учебнике встречается в «Алгебре», написанной коллективом Николя Бурбаки , датируемой 1947 годом. ^{[3] [17]} Эта запись не была принята сразу, например, в другом учебнике использовалась буква J ^[18] , а в статье 1960 года использовалась Z для обозначения неотрицательных целых чисел. ^[19] Но к 1961 году Z уже в основном использовалась в современных текстах по алгебре для обозначения положительных и отрицательных целых чисел. ^[20]

Символ часто аннотируется для обозначения различных множеств, с различным использованием среди разных авторов: , или для положительных целых чисел, или для неотрицательных целых чисел, и для ненулевых целых чисел. Некоторые авторы используют для ненулевых целых чисел, в то время как другие используют его для неотрицательных целых чисел или для {–1, 1} ( группа единиц ) . Кроме того, используется для обозначения либо множества целых чисел по модулю p (т. е. множества классов конгруэнтности целых чисел), либо множества p -адических целых чисел . ^{[21] [22]} ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{>}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{0+}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\geq }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\neq }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

Целые числа были синонимами целых чисел вплоть до начала 1950-х годов. ^{[23] [24] [25]} В конце 1950-х годов в рамках движения «Новая математика» ^[26] учителя американских начальных школ начали учить, что целые числа относятся к натуральным числам , за исключением отрицательных чисел, в то время как целые числа включают отрицательные числа. ^{[27] [28]} Целые числа остаются неоднозначными и по сей день. ^[29]

Алгебраические свойства

Целые числа можно рассматривать как дискретные, равномерно распределенные точки на бесконечно длинной числовой прямой . На рисунке выше неотрицательные целые числа показаны синим цветом, а отрицательные целые числа — красным.

Подобно натуральным числам , замкнут относительно операций сложения и умножения , то есть сумма и произведение любых двух целых чисел является целым числом. Однако, с включением отрицательных натуральных чисел (и, что важно,  ), , в отличие от натуральных чисел , также замкнут относительно вычитания . ^[30] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Целые числа образуют унитальное кольцо , которое является самым базовым, в следующем смысле: для любого унитального кольца существует единственный гомоморфизм колец из целых чисел в это кольцо. Это универсальное свойство , а именно быть исходным объектом в категории колец , характеризует кольцо  . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \mathbb {Z} }$не замкнуто относительно деления , так как частное двух целых чисел (например, 1, деленное на 2) не обязательно должно быть целым числом. Хотя натуральные числа замкнуты относительно возведения в степень , целые числа — нет (так как результат может быть дробью, если показатель степени отрицательный).

В следующей таблице перечислены некоторые основные свойства сложения и умножения для любых целых чисел a , b и c :

Первые пять свойств, перечисленных выше для сложения, говорят, что , относительно сложения, является абелевой группой . Это также циклическая группа , поскольку каждое ненулевое целое число может быть записано как конечная сумма 1 + 1 + ... + 1 или (−1) + (−1) + ... + (−1) . Фактически, относительно сложения является единственной бесконечной циклической группой — в том смысле , что любая бесконечная циклическая группа изоморфна . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Первые четыре свойства, перечисленные выше для умножения, говорят, что относительное умножение является коммутативным моноидом . Однако не каждое целое число имеет мультипликативную инверсию (как в случае числа 2), что означает, что относительное умножение не является группой. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Все правила из приведенной выше таблицы свойств (кроме последнего), взятые вместе, говорят, что вместе с сложением и умножением является коммутативным кольцом с единицей . Это прототип всех объектов такой алгебраической структуры . Только те равенства выражений истинны в  для всех значений переменных, которые истинны в любом унитальном коммутативном кольце. Некоторые ненулевые целые числа отображаются в ноль в некоторых кольцах. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Отсутствие делителей нуля у целых чисел (последнее свойство в таблице) означает, что коммутативное кольцо  является областью целостности . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Отсутствие мультипликативных обратных, что эквивалентно тому факту, что не замкнуто относительно деления, означает, что не является полем . Наименьшее поле , содержащее целые числа как подкольцо , — это поле рациональных чисел . Процесс построения рациональных чисел из целых чисел можно имитировать для формирования поля дробей любой целочисленной области. И обратно, начиная с алгебраического числового поля (расширения рациональных чисел), можно извлечь его кольцо целых чисел , которое включает в качестве своего подкольца . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Хотя обычное деление не определено на , деление «с остатком» определено на них. Оно называется евклидовым делением и обладает следующим важным свойством: для двух целых чисел a и b , где b ≠ 0 , существуют уникальные целые числа q и r, такие что a = q × b + r и 0 ≤ r < | b | , где | b | обозначает абсолютное значение b . Целое число q называется частным , а r называется остатком от деления a на b . Евклидов алгоритм вычисления наибольших общих делителей работает с помощью последовательности евклидовых делений . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Выше сказано, что является евклидовой областью . Это подразумевает, что является областью главных идеалов , и любое положительное целое число может быть записано в виде произведений простых чисел по существу единственным образом. ^[31] Это фундаментальная теорема арифметики . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Теоретико-порядковые свойства

${\displaystyle \mathbb {Z} }$— полностью упорядоченное множество без верхней или нижней границы . Порядок задается следующим образом: :... −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ... Целое число положительно, если оно больше нуля , и отрицательно , если оно меньше нуля. Ноль не определяется ни как отрицательное, ни как положительное. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Порядок целых чисел совместим с алгебраическими операциями следующим образом:

1. если а < b и с < d , то а + с < b + d
2. если a < b и 0 < c , то ac < bc .

Отсюда следует, что вместе с указанным выше порядком существует упорядоченное кольцо . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Целые числа являются единственной нетривиальной полностью упорядоченной абелевой группой , положительные элементы которой вполне упорядочены . ^[32] Это эквивалентно утверждению, что любое нётерово кольцо оценок является либо полем , либо дискретным кольцом оценок .

Строительство

Традиционное развитие

В преподавании в начальной школе целые числа часто интуитивно определяются как объединение (положительных) натуральных чисел, нуля и отрицаний натуральных чисел. Это можно формализовать следующим образом. ^[33] Сначала построим множество натуральных чисел в соответствии с аксиомами Пеано , назовем его . Затем построим множество , которое не пересекается с и находится во взаимно-однозначном соответствии с посредством функции . Например, возьмем в качестве упорядоченных пар с отображением . Наконец, пусть 0 будет некоторым объектом, не входящим в или , например, упорядоченная пара . Тогда целые числа определяются как объединение . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P^{-}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle P^{-}}$ ${\displaystyle (1,n)}$ ${\displaystyle \psi =n\mapsto (1,n)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P^{-}}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle P\cup P^{-}\cup \{0\}}$

Традиционные арифметические операции могут быть определены для целых чисел кусочно , для каждого из положительных чисел, отрицательных чисел и нуля. Например, отрицание определяется следующим образом: $${\displaystyle -x={\begin{cases}\psi (x),&{\text{if }}x\in P\\\psi ^{-1}(x),&{\text{if }}x\in P^{-}\\0,&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$$

Традиционный стиль определения приводит к множеству различных случаев (каждая арифметическая операция должна быть определена для каждой комбинации типов целых чисел) и делает утомительным доказательство того, что целые числа подчиняются различным законам арифметики. ^[34]

Классы эквивалентности упорядоченных пар

Красные точки представляют собой упорядоченные пары натуральных чисел . Связанные красные точки — это классы эквивалентности, представляющие синие целые числа в конце линии.

В современной теоретико-множественной математике вместо этого часто используется более абстрактная конструкция ^{[35] [36],} позволяющая определять арифметические операции без различия регистра. ^[37] Таким образом, целые числа могут быть формально построены как классы эквивалентности упорядоченных пар натуральных чисел ( a , b ) . ^[38]

Интуиция подсказывает, что ( a , b ) обозначает результат вычитания b из a . ^[38] Чтобы подтвердить наше ожидание, что 1 − 2 и 4 − 5 обозначают одно и то же число, мы определяем отношение эквивалентности ~ для этих пар с помощью следующего правила:

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}$

именно тогда, когда

${\displaystyle a+d=b+c.}$

Сложение и умножение целых чисел можно определить в терминах эквивалентных операций над натуральными числами; ^[38] используя [( a , b )] для обозначения класса эквивалентности, имеющего ( a , b ) в качестве члена, получаем:

${\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)].}$

${\displaystyle [(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)].}$

Отрицание (или аддитивное обратное) целого числа получается путем изменения порядка пары на обратный:

${\displaystyle -[(a,b)]:=[(b,a)].}$

Следовательно, вычитание можно определить как сложение обратного аддитивного числа:

${\displaystyle [(a,b)]-[(c,d)]:=[(a+d,b+c)].}$

Стандартный порядок целых чисел задается следующим образом:

${\displaystyle [(a,b)]<[(c,d)]}$ если и только если ${\displaystyle a+d<b+c.}$

Легко проверить, что эти определения не зависят от выбора представителей классов эквивалентности.

Каждый класс эквивалентности имеет уникальный член, который имеет вид ( n ,0) или (0, n ) (или оба сразу). Натуральное число n отождествляется с классом [( n ,0)] (т. е. натуральные числа встраиваются в целые числа с помощью отображения, отправляющего n в [( n ,0)] ), а класс [(0, n )] обозначается − n (это охватывает все оставшиеся классы и дает класс [(0,0)] во второй раз, поскольку −0 = 0.

Таким образом, [( a , b )] обозначается как

${\displaystyle {\begin{cases}a-b,&{\mbox{if }}a\geq b\\-(b-a),&{\mbox{if }}a<b.\end{cases}}}$

Если натуральные числа отождествляются с соответствующими целыми числами (используя вложение, упомянутое выше), то это соглашение не создает никакой двусмысленности.

Эта запись восстанавливает знакомое представление целых чисел как {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} .

Вот несколько примеров:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=[(0,0)]&=[(1,1)]&=\cdots &&=[(k,k)]\\1&=[(1,0)]&=[(2,1)]&=\cdots &&=[(k+1,k)]\\-1&=[(0,1)]&=[(1,2)]&=\cdots &&=[(k,k+1)]\\2&=[(2,0)]&=[(3,1)]&=\cdots &&=[(k+2,k)]\\-2&=[(0,2)]&=[(1,3)]&=\cdots &&=[(k,k+2)].\end{aligned}}}$

Другие подходы

В теоретической информатике другие подходы к построению целых чисел используются автоматизированными доказывателями теорем и машинами переписывания терминов . Целые числа представлены как алгебраические термины, построенные с использованием нескольких базовых операций (например, ноль , succ , pred ) и, возможно, с использованием натуральных чисел , которые, как предполагается, уже построены (с использованием, скажем, подхода Пеано ).

Существует не менее десяти таких конструкций целых чисел со знаком. ^[39] Эти конструкции различаются по нескольким параметрам: по количеству основных операций, используемых для построения, по количеству (обычно от 0 до 2) и по типам аргументов, принимаемых этими операциями; по наличию или отсутствию натуральных чисел в качестве аргументов некоторых из этих операций, а также по тому факту, являются ли эти операции свободными конструкторами или нет, т. е. по тому, что одно и то же целое число может быть представлено с использованием только одного или нескольких алгебраических членов.

Метод построения целых чисел, представленный в предыдущем разделе, соответствует частному случаю, когда есть одна базовая операция pair , которая принимает в качестве аргументов два натуральных числа и , и возвращает целое число (равное ). Эта операция не является свободной, поскольку целое число 0 может быть записано как pair (0,0), или pair (1,1), или pair (2,2) и т. д. Этот метод построения используется помощником по доказательству Isabelle ; однако многие другие инструменты используют альтернативные методы построения, в частности те, которые основаны на свободных конструкторах, которые проще и могут быть реализованы более эффективно на компьютерах. ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x-y}$

Информатика

Целое число часто является примитивным типом данных в компьютерных языках . Однако целочисленные типы данных могут представлять только подмножество всех целых чисел, поскольку практические компьютеры имеют конечную емкость. Кроме того, в общем представлении дополнения до двух внутреннее определение знака различает «отрицательное» и «неотрицательное», а не «отрицательное, положительное и 0». (Однако компьютер, безусловно, может определить, является ли целое значение действительно положительным.) Типы данных (или подмножества) приближения целых чисел фиксированной длины обозначаются как int или Integer в нескольких языках программирования (таких как Algol68 , C , Java , Delphi и т. д.).

Представления целых чисел переменной длины, такие как bignums , могут хранить любое целое число, которое помещается в памяти компьютера. Другие типы целочисленных данных реализованы с фиксированным размером, обычно числом бит, которое является степенью 2 (4, 8, 16 и т. д.) или запоминающимся числом десятичных цифр (например, 9 или 10).

Мощность

Множество целых чисел счетно бесконечно , что означает, что можно сопоставить каждое целое число с уникальным натуральным числом. Примером такого сопряжения является

(0, 1), (1, 2), (−1, 3), (2, 4), (−2, 5), (3, 6), . . . ,(1 −  k , 2 k  − 1), ( k , 2 k  ), . . .

Более технически, мощность множества равна ℵ ₀ ( алеф-нуль ). Сопряжение между элементами множества и называется биекцией . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Смотрите также

• Математический портал

• Каноническая факторизация положительного целого числа
• Комплексное целое число
• Гиперцелое число
• Целочисленная сложность
• Целочисленная решетка
• Целая часть
• Целочисленная последовательность
• Целочисленная функция
• Математические символы
• Четность (математика)
• Проконечное целое число

Сноски

1. Точнее, каждая система вложена в следующую, изоморфно отображенную в подмножество. ^[5] Обычно предполагаемое теоретико-множественное включение может быть получено путем построения вещественных чисел, отбрасывания любых более ранних построений и определения других множеств как подмножеств вещественных чисел. ^[6] Такое соглашение является «вопросом выбора», но не является таковым. ^[7]

Ссылки

1. Энциклопедия науки и техники. Издательство Чикагского университета. Сентябрь 2000 г. С. 280. ISBN 978-0-226-74267-0.
2. Хиллман, Абрахам П.; Александерсон, Джеральд Л. (1963). Алгебра и тригонометрия;. Бостон: Allyn and Bacon.
3. Miller, Jeff (29 августа 2010 г.). "Earliest Uses of Symbols of Number Theory". Архивировано из оригинала 31 января 2010 г. Получено 20 сентября 2010 г.
4. Питер Джефсон Кэмерон (1998). Введение в алгебру. Oxford University Press. стр. 4. ISBN 978-0-19-850195-4. Архивировано из оригинала 8 декабря 2016 . Получено 15 февраля 2016 .
5. Парти, Барбара Х.; Мейлен, Элис Тер; Уолл, Роберт Э. (30 апреля 1990 г.). Математические методы в лингвистике. Springer Science & Business Media. стр. 78–82. ISBN 978-90-277-2245-4. Натуральные числа сами по себе не являются подмножеством этого теоретико-множественного представления целых чисел. Скорее, множество всех целых чисел содержит подмножество, состоящее из положительных целых чисел и нуля, которое изоморфно множеству натуральных чисел.
6. Вольгемут, Эндрю (10 июня 2014 г.). Введение в доказательство в абстрактной математике. Courier Corporation. стр. 237. ISBN 978-0-486-14168-8.
7. Полкингхорн, Джон (19 мая 2011 г.). Значение в математике. OUP Oxford. стр. 68. ISBN 978-0-19-162189-5.
8. Подготовка, тест Каплана (4 июня 2019 г.). GMAT Complete 2020: The Ultimate in Comprehensive Self-Study for GMAT. Simon and Schuster. ISBN 978-1-5062-4844-8.
9. Эванс, Ник (1995). «A-квантификаторы и область действия». В Бах, Эммон В. (ред.). Квантификация в естественных языках. Дордрехт, Нидерланды; Бостон, Массачусетс: Kluwer Academic Publishers. стр. 262. ISBN 978-0-7923-3352-4.
10. Смедли, Эдвард; Роуз, Хью Джеймс; Роуз, Генри Джон (1845). Encyclopaedia Metropolitana. B. Fellowes. стр. 537. Целое число — это кратное единице
11. Энциклопедия Британника 1771, стр. 367
12. Пизано, Леонардо ; Бонкомпаньи, Бальдасарре (транслитерация) (1202 г.). Incipit liber Abbaci compositus to Lionardo filio Bonaccii Pisano в год Mccij [ Книга вычислений ] (Рукопись) (на латыни). Перевод Сиглера, Лоуренса Э. Мусео Галилея. п. 30. Nam rupti uel fracti semper ponendi sunt post integra, quamuis prius integra quam rupti pronuntiari debeant. [А дроби всегда ставятся после целого, таким образом сначала пишется целое число, а потом дробь]
13. Энциклопедия Британника 1771, стр. 83
14. Мартинес, Альберто (2014). Отрицательная математика . Princeton University Press. С. 80–109.
15. Эйлер, Леонард (1771). Vollstandige Anleitung Zur Algebra [ Полное введение в алгебру ] (на немецком языке). Том. 1. п. 10. Alle diese Zahlen, так что как позитивные, так и негативные, führen den bekannten Nahmen der Gantzen Zahlen, welche также entweder größer oder kleiner sind als nichts. Man nennt Dieselbe Gantze Zahlen, um sie von den gebrochenen, und noch vielerley andern Zahlen, wovon unten gehandelt werden wird, zu unterscheiden. [Все эти числа, как положительные, так и отрицательные, называются целыми числами, которые либо больше, либо меньше нуля. Мы называем их целыми числами, чтобы отличить их от дробей и от некоторых других видов чисел, о которых мы будем говорить в дальнейшем.]
16. The University of Leeds Review. Vol. 31–32. University of Leeds. 1989. p. 46. Кстати, Z происходит от «Zahl»: обозначение было создано Гильбертом.
17. Бурбаки, Николя (1951). Алгебра, глава 1 (на французском языке) (2-е изд.). Париж: Германн. п. 27. Le symétrisé de N se note Z ; ses éléments sont appelés entiers rationnels. [Группа разностей N обозначается Z ; его элементы называются целыми рациональными числами.]
18. Биркгофф, Гарретт (1948). Теория решеток (пересмотренное издание). Американское математическое общество. стр. 63. множество J всех целых чисел
19. Общество, Канадское математическое (1960). Канадский журнал математики. Канадское математическое общество. стр. 374. Рассмотрим множество Z неотрицательных целых чисел
20. Безушка, Стэнли (1961). Contemporary Progress in Mathematics: Teacher Supplement [to] Part 1 and Part 2. Boston College. стр. 69. Современные тексты по алгебре обычно обозначают множество целых чисел заглавной буквой Z.
21. Кит Пледжер и Дэйв Уилкинс, «Edexcel AS и модульная математика уровня A: основная математика 1» Пирсон 2008
22. Л. К. Тернер, Ф. Дж. Бьюдден, Д. Найтон, «Высшая математика», Книга 2, Лонгман, 1975.
23. Мэтьюз, Джордж Баллард (1892). Теория чисел. Deighton, Bell and Company. стр. 2.
24. Бетц, Уильям (1934). Junior Mathematics for Today. Джинн. Целые числа, расположенные в их естественном порядке, например 1, 2, 3, называются последовательными целыми числами.
25. Пек, Лайман К. (1950). Элементы алгебры. Макгроу-Хилл. стр. 3. Числа, которые таким образом возникают, называются положительными целыми числами или положительными целыми числами.
26. Хейден, Роберт (1981). История движения «новой математики» в Соединенных Штатах (PhD). Университет штата Айова. стр. 145. doi : 10.31274/rtd-180813-5631 . Гораздо более влиятельной силой в донесении новостей о «новой математике» до учителей и администраторов средних школ был Национальный совет учителей математики (NCTM).
27. Рост математических идей, классы K-12: 24-й ежегодник. Национальный совет учителей математики. 1959. стр. 14. ISBN 9780608166186.
28. Динс, Эдвина (1963). Математика в начальной школе: новые направления. Министерство здравоохранения, образования и социального обеспечения США, Офис образования. стр. 42.
29. "запись: целое число". The American Heritage Dictionary . HarperCollins.
30. "Целое число | математика". Encyclopedia Britannica . Получено 11 августа 2020 .
31. Ланг, Серж (1993). Алгебра (3-е изд.). Эддисон-Уэсли. стр. 86–87. ISBN 978-0-201-55540-0.
32. Уорнер, Сет (2012). Современная алгебра. Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. Теорема 20.14, стр. 185. ISBN 978-0-486-13709-4. Архивировано из оригинала 6 сентября 2015 . Получено 29 апреля 2015 ..
33. Мендельсон, Эллиотт (1985). Числовые системы и основы анализа. Малабар, Флорида. : RE Krieger Pub. Co. стр. 153. ISBN 978-0-89874-818-5.
34. Мендельсон, Эллиотт (2008). Системы чисел и основы анализа. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. стр. 86. ISBN 978-0-486-45792-5. Архивировано из оригинала 8 декабря 2016 . Получено 15 февраля 2016 ..
35. Иворра Кастильо: Алгебра
36. Крамер, Юрг; фон Пиппих, Анна-Мария (2017). От натуральных чисел к кватернионам (1-е изд.). Швейцария: Springer Cham. стр. 78–81. дои : 10.1007/978-3-319-69429-0. ISBN 978-3-319-69427-6.
37. Фробишер, Лен (1999). Учимся учить числа: Справочник для учеников и учителей начальной школы. Серия «Обучение математике в начальной школе» Стэнли Торнса. Нельсон Торнс. стр. 126. ISBN 978-0-7487-3515-0. Архивировано из оригинала 8 декабря 2016 . Получено 15 февраля 2016 ..
38. Кэмпбелл, Говард Э. (1970). Структура арифметики . Appleton-Century-Crofts. стр. 83. ISBN 978-0-390-16895-5.
39. Гаравел, Хьюберт (2017). О наиболее подходящей аксиоматизации целых чисел со знаком. Пост-материалы 23-го Международного семинара по алгебраическим методам разработки (WADT'2016). Конспект лекций по информатике. Том 10644. Springer. С. 120–134. doi :10.1007/978-3-319-72044-9_9. ISBN 978-3-319-72043-2. Архивировано из оригинала 26 января 2018 . Получено 25 января 2018 .

Источники

• Белл, ET (1986). Люди математики . Нью-Йорк: Simon & Schuster. ISBN 0-671-46400-0.)
• Herstein, IN (1975). Topics in Algebra (2-е изд.). Wiley. ISBN 0-471-01090-1.
• Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999). Алгебра (3-е изд.). Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1646-2.
• Общество джентльменов в Шотландии (1771). Энциклопедия Британника. Эдинбург.

Внешние ссылки

• «Целое число», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Положительные целые числа – таблицы делителей и инструменты числового представления
• Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей cf OEIS
• Вайсштейн, Эрик В. «Целое число». Математический мир .

В данной статье использованы материалы из Integer on PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .