В математике образ функции — это совокупность всех выходных значений, которые она может выдать .
В более общем смысле, вычисление данной функции для каждого элемента данного подмножества ее области определения создает набор, называемый « образом ниже (или через) ». Аналогично, прообраз (или прообраз ) данного подмножества кодомена — это набор всех элементов домена, которые сопоставляются с членами домена .
Изображение и обратное изображение также могут быть определены для общих бинарных отношений , а не только для функций.
Определение
Слово «изображение» используется в трех связанных между собой значениях. В этих определениях – функция от множества к множеству
Изображение элемента
Если является членом, то изображение ниже обозначенного является значением при применении к , альтернативно известно как вывод for аргумента.
Говорят , что функция принимает значение или принимает значение в качестве значения , если в области определения функции существует такое значение , что Аналогично, говорят,
что заданный набор принимает значение, если в области определения функции существует такое значение , что
Тем не менее, принимает [ all] значения в и оценивается в означает, что для каждой точки в области .
Изображение подмножества
Пусть везде функция.изображение под подмножеством представляет собой набор всех для. Обозначается или , когда нет риска путаницы. Используя нотацию set-builder , это определение можно записать как [1] [2]
Это порождает функцию , где обозначает набор степеней набора , который является набором всех подмножеств см . § Обозначения ниже.
Изображение функции
Образ функции — это образ всей ее области определения , также известный как диапазон функции . [3] Этого последнего использования следует избегать, поскольку слово «диапазон» также часто используется для обозначения кодомена
Обобщение на бинарные отношения
Если это произвольное бинарное отношение, то это множество называется образом или диапазоном Двойственно , множество называется областью
Обратное изображение
Пусть — функция от до . Прообраз или прообраз множества , обозначенного символом, является подмножеством, определяемым
Другие обозначения включают и [4]
Обратный образ одноэлементного множества , обозначаемый или, также называется слоем или слоем или множеством уровня множества всех слоев над элементами представляет собой семейство множеств, индексированных
Например, для функции, обратным образом которой будет Снова, если нет риска путаницы, ее можно обозначить и также можно рассматривать как функцию от набора степеней до набора степеней Обозначение не должно быть путают с этим для обратной функции , хотя оно совпадает с обычным для биекций тем, что прообразом under является образ under
Обозначения изображения и прообраза
Традиционные обозначения, использованные в предыдущем разделе, не отличают исходную функцию от функции изображения множеств ; аналогичным образом они не различают обратную функцию (при условии, что она существует) от функции обратного образа (которая снова связывает наборы степеней). При правильном контексте это делает обозначения легкими и обычно не вызывает путаницы. Но при необходимости альтернативой [5] является указание явных имен образа и прообраза как функций между наборами степеней:
В некоторых текстах изображение относится к диапазону [8] , но этого использования следует избегать, поскольку слово «диапазон» также часто используется для обозначения кодомена
Примеры
определяетсяОбраз множества под — Образ функции — Прообраз — Прообраз — также Прообраз — пустое множество _ _ _ _ _ _ _
определяетсяОбраз under is и образ is ( набор всех положительных действительных чисел и нуля ) . Прообразом under является пустое множество , поскольку отрицательные числа не имеют квадратных корней в наборе действительных чисел .
определяетсяСлои представляют собой концентрические окружности вокруг начала координат , самого начала координат и пустого множества (соответственно), в зависимости от того ( соответственно). (Если тогда волокно представляет собой набор всех элементов, удовлетворяющих уравнению , то есть круг с центром в начале координат и радиусом )
Для каждой функции и всех подмножеств выполняются следующие свойства:
Также:
Несколько функций
Для функций и с подмножествами выполняются следующие свойства:
Несколько подмножеств домена или кодомена
Для функции и подмножества выполняются следующие свойства:
Результаты, связывающие изображения и прообразы с ( булевой ) алгеброй пересечения и объединения , работают для любого набора подмножеств, а не только для пар подмножеств:
По отношению к описанной выше алгебре подмножеств функция обратного образа является решеточным гомоморфизмом , тогда как функция образа является лишь полурешеточным гомоморфизмом (т. е. она не всегда сохраняет пересечения).
Ядро функции - отношение эквивалентности, выражающее то, что два элемента имеют одинаковое изображение под функцией.Pages displaying short descriptions of redirect targets
Инверсия набора - математическая проблема поиска набора, сопоставленного указанной функцией с определенным диапазоном.
Примечания
^ «5.4: О функциях и изображениях/прообразах множеств». Математика LibreTexts . 05.11.2019 . Проверено 28 августа 2020 г.
^ Пол Р. Халмос (1968). Наивная теория множеств . Принстон: Ностранд.Здесь: Раздел 8
^ Вайсштейн, Эрик В. «Изображение». mathworld.wolfram.com . Проверено 28 августа 2020 г.
^ Долецки и Минард, 2016, стр. 4–5.
^ Блит 2005, с. 5.
^ Жан Э. Рубин (1967). Теория множеств для математика . Холден-Дэй. п. XIX. АСИН B0006BQH7S.
^ М. Рэндалл Холмс: Неоднородность ур-элементов в обычных моделях НФУ, 29 декабря 2005 г., на: Semantic Scholar, с. 2
Блит, Т.С. (2005). Решетки и упорядоченные алгебраические структуры . Спрингер. ISBN 1-85233-905-5..
Долецкий, Шимон; Минард, Фредерик (2016). Основы конвергенции топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917.
Халмос, Пол Р. (1960). Наивная теория множеств . Университетская серия по математике для студентов. Компания Ван Ностранд. ISBN 9780442030643. Збл 0087.04403.