Союз (теория множеств)

Набор элементов в любом из некоторых наборов

Объединение двух комплектов:
${\displaystyle ~A\cup B}$

Союз трех комплектов:
${\displaystyle ~A\cup B\cup C}$

Объединение A, B, C, D и E — это все, кроме белой области.

В теории множеств объединение (обозначаемое ∪) набора множеств — это набор всех элементов в коллекции. ^[1] Это одна из фундаментальных операций, с помощью которой множества можно комбинировать и связывать друг с другом. АНулевой союз относится к объединениюнулевых () ${\displaystyle 0}$множеств и по определению равенпустому множеству.

Объяснение символов, используемых в этой статье, можно найти в таблице математических символов .

Союз двух комплектов

Объединение двух множеств A и B — это набор элементов, которые находятся в A , в B или одновременно в A и B. ^[2] В обозначениях построителя множеств ,

${\displaystyle A\cup B=\{x:x\in A{\text{ or }}x\in B\}}$. ^[3]

Например, если A = {1, 3, 5, 7} и B = {1, 2, 4, 6, 7}, то A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Более сложный пример (включающий два бесконечных множества):

A = { x — четное целое число больше 1}

B = { x — нечетное целое число больше 1}

${\displaystyle A\cup B=\{2,3,4,5,6,\dots \}}$

Другой пример: число 9 не содержится в объединении множества простых чисел {2, 3, 5, 7, 11, ...} и множества четных чисел {2, 4, 6, 8, 10. , ...}, поскольку 9 не является ни простым, ни четным.

В наборах не может быть повторяющихся элементов, ^{[3] [4]} , поэтому объединение наборов {1, 2, 3} и {2, 3, 4} равно {1, 2, 3, 4}. Многократное появление одинаковых элементов не влияет на мощность набора или его содержимое.

Алгебраические свойства

Бинарное объединение — это ассоциативная операция; то есть для любых множеств , ${\displaystyle A,B,{\text{ and }}C}$

$${\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C.}$$

коммутативно^[5]множествоединичным элементомлогической дизъюнкции ${\displaystyle A\cup B\cup C}$ ${\displaystyle A\cup \varnothing =A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cup A=A}$

Пересечение распределяется по объединению

$${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$$

^[2]

$${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C).}$$

степенейпересечениемдополнениембулевой алгеброй ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle A\cup B=(A^{\complement }\cap B^{\complement })^{\complement },}$$

универсальном наборе ${\displaystyle {}^{\complement }}$ ${\displaystyle U}$

Конечные союзы

Можно одновременно взять объединение нескольких множеств. Например, объединение трех множеств A , B и C содержит все элементы A , все элементы B и все элементы C и ничего больше. Таким образом, x является элементом A ∪ B ∪ C тогда и только тогда, когда x находится хотя бы в одном из A , B и C.

Конечный союз — это объединение конечного числа множеств; эта фраза не подразумевает, что объединенное множество является конечным множеством . ^{[6] [7]}

Произвольные союзы

Наиболее общим понятием является объединение произвольного набора множеств, иногда называемое бесконечным объединением . Если M — множество или класс , элементы которого являются множествами, то x — элемент объединения M тогда и только тогда, когда существует хотя бы один элемент A из M такой, что x является элементом A. ^[8] В символах:

${\displaystyle x\in \bigcup \mathbf {M} \iff \exists A\in \mathbf {M} ,\ x\in A.}$

Эта идея включает в себя предыдущие разделы — например, A ∪ B ∪ C является объединением набора { A , B , C }. Кроме того, если M — пустая коллекция, то объединение M — это пустое множество.

Обозначения

Обозначения общего понятия могут существенно различаться. Для конечного объединения множеств часто пишут или . Различные общие обозначения для произвольных объединений включают , и . Последнее из этих обозначений относится к объединению коллекции , где I — индексный набор и — набор для каждого . В случае, когда набор индексов I представляет собой набор натуральных чисел , используется обозначение , аналогичное обозначению бесконечных сумм в сериях. ^[8] ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},\dots ,S_{n}}$ ${\displaystyle S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cup \dots \cup S_{n}}$ ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{n}S_{i}}$ ${\textstyle \bigcup \mathbf {M} }$ ${\textstyle \bigcup _{A\in \mathbf {M} }A}$ ${\textstyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle \left\{A_{i}:i\in I\right\}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$

Когда символ «∪» помещается перед другими символами (а не между ними), он обычно отображается увеличенным размером.

Кодировка обозначений

В Юникоде объединение представлено символом U+222A ∪ UNION . ^[9] В TeX рендерится из и рендерится из . ${\displaystyle \cup }$\cup ${\textstyle \bigcup }$\bigcup

Смотрите также

• Математический портал

• Алгебра множеств  - Тождества и отношения с участием множеств.
• Чередование (формальная теория языка)  - в формальной теории языка и сопоставлении с образцом объединение двух наборов строк или шаблонов Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта- объединение наборов строк.
• Аксиома союза  - концепция аксиоматической теории множеств.
• Непересекающееся объединение  - в математике операции над множествами.
• Принцип включения-исключения  - Техника счета в комбинаторике
• Пересечение (теория множеств)  - набор элементов, общих для всех некоторых множеств.
• Итерированная бинарная операция  – многократное применение операции к последовательности.
• Список тождеств и отношений множеств  . Равенства для комбинаций множеств.
• Наивная теория множеств  - Неформальные теории множеств
• Симметричная разница  - элементы ровно в одном из двух наборов.

Примечания

1. Вайсштейн, Эрик В. «Союз». Вольфрам Математический мир. Архивировано из оригинала 7 февраля 2009 г. Проверено 14 июля 2009 г.
2. «Операции над множествами | Союз | Пересечение | Дополнение | Разница | Взаимоисключающие | Разделы | Закон де Моргана | Распределительный закон | Декартово произведение». Вероятностный курс . Проверено 05 сентября 2020 г.
3. Верещагин, Николай Константинович; Шен, Александр (1 января 2002 г.). Базовая теория множеств. Американское математическое соц. ISBN 9780821827314.
4. деХаан, Лекс; Коппелаарс, Мультяшный (25 октября 2007 г.). Прикладная математика для специалистов по базам данных. Апресс. ISBN 9781430203483.
5. Халмош, PR (27 ноября 2013 г.). Наивная теория множеств. Springer Science & Business Media. ISBN 9781475716450.
6. Дасгупта, Абхиджит (11 декабря 2013 г.). Теория множеств: введение в наборы реальных точек. Springer Science & Business Media. ISBN 9781461488545.
7. «Конечный союз конечных множеств конечен». ДоказательствоВики . Архивировано из оригинала 11 сентября 2014 года . Проверено 29 апреля 2018 г.
8. Смит, Дуглас; Эгген, Морис; Андре, Ричард Ст (01 августа 2014 г.). Переход к высшей математике . Cengage Обучение. ISBN 9781285463261.
9. «Стандарт Unicode, версия 15.0 – Математические операторы – Диапазон: 2200–22FF» (PDF) . Юникод . п. 3.

Внешние ссылки

• «Союз множеств», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Бесконечное объединение и пересечение в ProvenMath Законы Де Моргана, формально доказанные на основе аксиом теории множеств.