Лезвие (геометрия)

Внешнее произведение векторов

В изучении геометрических алгебр k - лезвие или простой k -вектор является обобщением концепции скаляров и векторов, чтобы включить простые бивекторы , тривекторы и т. д. В частности, k -лезвие является k -вектором , который может быть выражен как внешнее произведение (неформально произведение клиньев ) 1-векторов и имеет степень k .

Подробно: ^[1]

• 0-лезвие — это скаляр .
• 1-лезвие — это вектор . Каждый вектор прост.
• 2-лезвие — это простой бивектор . Суммы 2-лезвий также являются бивекторами, но не всегда простыми. 2-лезвие может быть выражено как произведение клиньев двух векторов a и b :

  ${\displaystyle a\wedge b.}$

• Трехлопастной вектор — это простой тривектор, то есть его можно выразить как произведение трех векторов a , b и c :

  ${\displaystyle a\wedge b\wedge c.}$

• В векторном пространстве размерности n лезвие степени n − 1 называется псевдовектором [ ^2] или антивектором ^[3] .
• Элемент наивысшего класса в пространстве называется псевдоскаляром , а в пространстве размерности n — n - лезвием . ^[4]
• В векторном пространстве размерности n существует k ( n − k ) + 1 измерений свободы в выборе k -лопасти для 0 ≤ k ≤ n , из которых одно измерение является общим масштабным множителем. ^[5]

Вектор подпространства конечной размерности k может быть представлен k -лезвием, образованным как произведение клиньев всех элементов базиса для этого подпространства. ^[6] Действительно, k -лезвие естественным образом эквивалентно k -подпространству с точностью до скалярного множителя. Когда пространство наделено формой объема (альтернирующей k -мультилинейная скалярнозначная функция), такое k -лезвие может быть нормализовано так, чтобы принимать единичное значение, делая соответствие уникальным с точностью до знака.

Примеры

В двумерном пространстве скаляры описываются как 0-лезвия, векторы — как 1-лезвия, а элементы площади — как 2-лезвия в этом контексте, известные как псевдоскаляры , поскольку они являются элементами одномерного пространства, которое отличается от обычных скаляров.

В трехмерном пространстве 0-лезвия снова являются скалярами, а 1-лезвия — трехмерными векторами, тогда как 2-лезвия — ориентированными элементами площади. В этом случае 3-лезвия называются псевдоскалярами и представляют трехмерные элементы объема, которые образуют одномерное векторное пространство, подобное скалярам. В отличие от скаляров, 3-лезвия преобразуются в соответствии с определителем Якоби функции изменения координат .

Смотрите также

• Грассманиан
• Многовекторность
• Внешняя алгебра
• Дифференциальная форма
• Геометрическая алгебра
• Алгебра Клиффорда

Примечания

1. Маркос А. Родригес (2000). "§1.2 Геометрическая алгебра: схема". Инварианты для распознавания образов и классификации . World Scientific. стр. 3 и далее . ISBN 981-02-4278-6.
2. Уильям Э. Бейлис (2004). "§4.2.3 Мультивекторы высшего порядка в Cℓn: Двойственные". Лекции по алгебрам Клиффорда (геометрическим) и приложениям . Биркхойзер. стр. 100. ISBN 0-8176-3257-3.
3. Лендьел, Эрик (2016). Основы разработки игровых движков, том 1: Математика . Terathon Software LLC. ISBN 978-0-9858117-4-7.
4. Джон А. Винс (2008). Геометрическая алгебра для компьютерной графики. Springer. стр. 85. ISBN 978-1-84628-996-5.
5. Для грассманиан (включая результат о размерности) хорошая книга: Гриффитс, Филлип ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Библиотека классических уравнений Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, г-н  1288523. Доказательство размерности на самом деле простое. Возьмем внешнее произведение k векторов и выполним элементарные операции со столбцами над ними (вынеся опорные элементы) до тех пор, пока верхний блок k  ×  k не станет элементарными базисными векторами . Затем произведение клина параметризуется произведением опорных элементов и нижнего блока k  × ( n − k ) . Сравните также с размерностью грассманиана , k ( n − k ) , в котором скалярный множитель исключен. ${\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ^{k}}$
6. Дэвид Хестенес (1999). Новые основы классической механики: фундаментальные теории физики. Springer. стр. 54. ISBN 0-7923-5302-1.

Ссылки

• Дэвид Хестенес ; Гаррет Собчик (1987). "Глава 1: Геометрическая алгебра". От алгебры Клиффорда к геометрическому исчислению: унифицированный язык для математики и физики. Springer. стр. 1 и далее . ISBN 90-277-2561-6.
• Крис Доран и Энтони Ласенби (2003). Геометрическая алгебра для физиков. Cambridge University Press. ISBN 0-521-48022-1.
• A Lasenby, J Lasenby & R Wareham (2004) Ковариантный подход к геометрии с использованием геометрической алгебры Технический отчет. Инженерный факультет Кембриджского университета, Кембридж, Великобритания.
• R Wareham; J Cameron & J Lasenby (2005). "Применение конформной геометрической алгебры к компьютерному зрению и графике". В Hongbo Li; Peter J Olver & Gerald Sommer (ред.). Компьютерная алгебра и геометрическая алгебра с приложениями . Springer. стр. 329 и далее . ISBN 3-540-26296-2.

Внешние ссылки

• Учебник по геометрической алгебре, специально для специалистов по информатике.