Теорема Гурвица (композиционные алгебры)

Неассоциативные алгебры с положительно определенной квадратичной формой

В математике , теорема Гурвица — теорема Адольфа Гурвица (1859–1919), опубликованная посмертно в 1923 году, решающая проблему Гурвица для конечномерных унитальных вещественных неассоциативных алгебр, наделенных невырожденной положительно-определенной квадратичной формой . Теорема утверждает, что если квадратичная форма определяет гомоморфизм в положительные вещественные числа на ненулевой части алгебры, то алгебра должна быть изоморфна вещественным числам , комплексным числам , кватернионам или октонионам , и что нет никаких других возможностей. Такие алгебры, иногда называемые алгебрами Гурвица , являются примерами композиционных алгебр .

Теория композиционных алгебр впоследствии была обобщена на произвольные квадратичные формы и произвольные поля . ^[1] Теорема Гурвица подразумевает, что мультипликативные формулы для сумм квадратов могут встречаться только в измерениях 1, 2, 4 и 8, результат, первоначально доказанный Гурвицем в 1898 году. Это частный случай проблемы Гурвица , решенной также Радоном (1922). Последующие доказательства ограничений на размерность были даны Экманном (1943) с использованием теории представлений конечных групп и Ли (1948) и Шевалле (1954) с использованием алгебр Клиффорда . Теорема Гурвица была применена в алгебраической топологии к задачам о векторных полях на сферах и гомотопических группах классических групп ^[2] и в квантовой механике к классификации простых йордановых алгебр . ^[3]

Евклидовы алгебры Гурвица

Определение

Алгебра Гурвица или композиционная алгебра — это конечномерная не обязательно ассоциативная алгебра A с тождеством, наделенная невырожденной квадратичной формой q такой, что q ( a b ) = q ( a )  q ( b ) . Если базовое поле коэффициентов — это действительные числа, а q положительно определено, так что ( a ,  b ) = ⁠1/2⁠ [ q ( a + b ) − q ( a ) − q ( b )] является скалярным произведением , тогда A называется евклидовой алгеброй Гурвица или (конечномерной) нормированной алгеброй с делением . ^[4]

Если A — евклидова алгебра Гурвица и a принадлежит A , то определим инволюцию и операторы правого и левого умножения следующим образом:

${\displaystyle a^{*}=-a+2(a,1)1,\quad L(a)b=ab,\quad R(a)b=ba.}$

Очевидно, инволюция имеет период два и сохраняет скалярное произведение и норму. Эти операторы обладают следующими свойствами:

• инволюция является антиавтоморфизмом , т.е. ( ab )* = b * a *
• аа * = ‖ а ‖ ²  1 = а * а
• L ( a *) = L ( a )* , R ( a *) = R ( a )* , так что инволюция в алгебре соответствует взятию сопряженных элементов
• Re ( ab ) = Re ( ba ) , если Re  x = ( x + x *)/2 = ( x , 1)1
• Re( ab ) c =  Rea ( bc )
• L ( a ² ) = L ( a ) ² , R ( a ² ) = R ( a ) ² , так что A является альтернативной алгеброй .

Эти свойства доказываются, исходя из поляризованной версии тождества ( ab ,  ab ) = ( a ,  a )( b ,  b ) :

${\displaystyle \displaystyle {2(a,b)(c,d)=(ac,bd)+(ad,bc).}}$

Установка b = 1 или d = 1 дает L ( a *) = L ( a )* и R ( c *) = R ( c )* .

Следовательно, Re( ab ) = ( ab , 1)1 = ( a ,  b *)1 = ( ba , 1)1 = Re( ba ) .

Аналогично Re ( ab ) c = (( ab ) c ,1)1 = ( ab ,  c *)1 = ( b ,  a *  c *)1 = ( bc , a *)1 = ( a ( bc ),1)1 = Re a ( bc ) .

Следовательно (( ab )*, c) = ( ab , c *) = ( b , a * c *) = (1, b *( a * c *)) = (1, ( b * a *) c *) = ( b * a *, c ) , так что ( ab )* = b * a * .

По поляризованному тождеству ‖ a ‖ ²  ( c ,  d ) = ( ac ,  ad ) = ( a * ( ac ),  d ) поэтому L ( a *)  L ( a ) = L ( ‖ a ‖ ² ) . Применительно к 1 это дает a * a = ‖ a ‖ ² 1 . Замена a на a * дает другое тождество.

Подстановка формулы для a * в L ( a *)  L ( a ) = L ( a * a ) дает L ( a ) ² = L ( a ² ) . Формула R ( a ² ) = R ( a ) ² доказывается аналогично.

Классификация

Обычно проверяется, что действительные числа R , комплексные числа C и кватернионы H являются примерами ассоциативных евклидовых алгебр Гурвица с их стандартными нормами и инволюциями. Более того , существуют естественные включения R ⊂ C ⊂ H.

Анализ такого включения приводит к конструкции Кэли–Диксона , формализованной А. А. Альбертом . Пусть A — евклидова алгебра Гурвица, а B — собственная унитальная подалгебра, то есть евклидова алгебра Гурвица сама по себе. Выберем единичный вектор j в A , ортогональный B. Поскольку ( j , 1) = 0 , то j * = − j и, следовательно, j ² = −1 . Пусть C — подалгебра, порожденная B и j . Она унитальная и снова является евклидовой алгеброй Гурвица. Она удовлетворяет следующим законам умножения Кэли–Диксона :

${\displaystyle \displaystyle {C=B\oplus Bj,\,\,\,(a+bj)^{*}=a^{*}-bj,\,\,\,(a+bj)(c+dj)=(ac-d^{*}b)+(bc^{*}+da)j.}}$

B и Bj ортогональны, так как j ортогонален B . Если a принадлежит B , то j a = a *  j , так как по ортогональности 0 = 2( j ,  a *) = ja − a * j . Формула для инволюции следует ниже. Чтобы показать, что B ⊕ B j замкнуто относительно умножения Bj = jB . Так как Bj ортогонален 1, ( bj )* = − bj .

• b ( cj ) = ( cb )  j , так как ( b ,  j ) = 0 , так что для x из A , ( b ( cj ),  x ) = ( b (  jx ),  j ( cj )) = −( b (  jx ),  c ​​*) = −( cb , (  jx )*) = −(( cb )  j ,  x *) = (( cb )  j ,  x ) .
• (  jc ) b = j ( bc ) с учетом сопряженных элементов выше.
• ( bj )( cj ) = − c * b , так как ( b ,  cj ) = 0, так что для x из A , (( bj )( cj ),  x ) = −(( cj ) x *,  bj ) = ( bx *, ( cj )  j ) = −( c * b ,  x ) .

Наложение мультипликативности нормы на C для a + bj и c + dj дает:

${\displaystyle \displaystyle {(\|a\|^{2}+\|b\|^{2})(\|c\|^{2}+\|d\|^{2})=\|ac-d^{*}b\|^{2}+\|bc^{*}+da\|^{2},}}$

что приводит к

${\displaystyle \displaystyle {(ac,d^{*}b)=(bc^{*},da).}}$

Следовательно, d ( ac ) = ( da ) c , так что B должен быть ассоциативным .

Этот анализ применим к включению R в C и C в H. Взятие O = H ⊕ H с произведением и скалярным произведением выше дает некоммутативную неассоциативную алгебру, порожденную J = (0, 1) . Это восстанавливает обычное определение октонионов или чисел Кэли . Если A — евклидова алгебра, она должна содержать R. Если она строго больше R , приведенное выше рассуждение показывает, что она содержит C. Если она больше C , она содержит H. Если она еще больше, она должна содержать O. Но на этом процесс должен остановиться, потому что O не ассоциативна. Фактически H не коммутативна и a ( bj ) = ( ba )  j ≠ ( ab )  j в O. ^[5 ]

Теорема. Единственными евклидовыми алгебрами Гурвица являются действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы.

Другие доказательства

Доказательства Ли (1948) и Шевалле (1954) используют алгебры Клиффорда , чтобы показать, что размерность N пространства A должна быть 1, 2, 4 или 8. Фактически операторы L ( a ) с ( a , 1) = 0 удовлетворяют L ( a ) ² = −‖ a ‖ ² и, таким образом, образуют действительную алгебру Клиффорда. Если a — единичный вектор, то L ( a ) является кососопряжённым с квадратом − I . Поэтому N должно быть либо чётным, либо 1 (в этом случае A не содержит единичных векторов, ортогональных 1). Действительная алгебра Клиффорда и её комплексификация действуют на комплексификацию A , N -мерного комплексного пространства. Если N чётно, N − 1 нечётно , поэтому алгебра Клиффорда имеет ровно два комплексных неприводимых представления размерности 2 ^{N /2 − 1} . Итак, эта степень числа 2 должна делить N. Легко видеть, что это означает, что N может быть равно только 1, 2, 4 или 8.

Доказательство Экмана (1943) использует теорию представлений конечных групп , или проективную теорию представлений элементарных абелевых 2-групп , которая, как известно, эквивалентна теории представлений вещественных алгебр Клиффорда. Действительно, взятие ортонормированного базиса e _i ортогонального дополнения 1 приводит к операторам U _i = L ( e _i ), удовлетворяющим

${\displaystyle U_{i}^{2}=-I,\quad U_{i}U_{j}=-U_{j}U_{i}\,\,(i\neq j).}$

Это проективное представление прямого произведения N − 1 групп порядка 2. ( Предполагается, что N больше 1.) Операторы U _i по построению кососимметричны и ортогональны. Фактически Экман построил операторы этого типа немного другим, но эквивалентным способом. Фактически, это метод, которому изначально следовал Гурвиц (1923). [ ^6] Предположим, что существует закон композиции для двух форм

${\displaystyle \displaystyle {(x_{1}^{2}+\cdots +x_{N}^{2})(y_{1}^{2}+\cdots +y_{N}^{2})=z_{1}^{2}+\cdots +z_{N}^{2},}}$

где z _i является билинейной по x и y . Таким образом

${\displaystyle \displaystyle {z_{i}=\sum _{j=1}^{N}a_{ij}(x)y_{j}}}$

где матрица T ( x ) = ( a _ij ) линейна по x . Соотношения выше эквивалентны

${\displaystyle \displaystyle {T(x)T(x)^{t}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{N}^{2}.}}$

Письмо

${\displaystyle \displaystyle {T(x)=T_{1}x_{1}+\cdots +T_{N}x_{N},}}$

отношения становятся

${\displaystyle \displaystyle {T_{i}T_{j}^{t}+T_{j}T_{i}^{t}=2\delta _{ij}I.}}$

Теперь положим V _i = ( T _N ) ^t T _i . Таким образом, V _N = I и V ₁ , ... ,  V _{N − 1} являются кососопряженными, ортогональными, удовлетворяющими точно тем же соотношениям, что и U _i :

${\displaystyle \displaystyle {V_{i}^{2}=-I,\quad V_{i}V_{j}=-V_{j}V_{i}\,\,(i\neq j).}}$

Так как V _i — ортогональная матрица с квадратом −I на действительном векторном пространстве , то N четно.

Пусть G — конечная группа, порожденная элементами v _i такими, что

${\displaystyle \displaystyle {v_{i}^{2}=\varepsilon ,\quad v_{i}v_{j}=\varepsilon v_{j}v_{i}\,\,(i\neq j),}}$

где ε является централом порядка 2. Коммутантная подгруппа [ G ,  G ] образована только из 1 и ε . Если N нечетно, то это совпадает с центром , а если N четно, то центр имеет порядок 4 с дополнительными элементами γ = v ₁ ... v _{N − 1} и ε γ . Если g в G не находится в центре, то его класс сопряженности равен в точности g и εg . Таким образом, имеется 2 ^{N − 1} + 1 классов сопряженности для нечетного N и 2 ^{N − 1} + 2 для четного N. G имеет |  G / [ G ,  G ] | = 2 ^{N − 1} 1-мерных комплексных представлений. Общее число неприводимых комплексных представлений равно числу классов сопряженности. Поэтому, поскольку N четно, имеется еще два неприводимых комплексных представления. Поскольку сумма квадратов размерностей равна | G | , а размерности делят | G | , два неприводимых должны иметь размерность 2 ^{( N − 2)/2} . Когда N четно, их два, и их размерность должна делить порядок группы, то есть степень двойки, поэтому они оба должны иметь размерность 2 ^{( N − 2)/2} . Пространство, на котором действует V _i , может быть комплексифицировано. Оно будет иметь комплексную размерность N . Оно распадается на некоторые из комплексных неприводимых представлений G , все из которых имеют размерность 2 ^{( N − 2)/2} . В частности, эта размерность ≤ N ​​, поэтому N меньше или равно 8. Если N = 6 , размерность равна 4, что не делит 6. Поэтому N может быть только 1, 2, 4 или 8.

Приложения к йордановым алгебрам

Пусть A — евклидова алгебра Гурвица, а M _n ( A ) — алгебра матриц размера n на n над A. Это унитальная неассоциативная алгебра с инволюцией, заданной формулой

${\displaystyle \displaystyle {(x_{ij})^{*}=(x_{ji}^{*}).}}$

След Tr( X  ) определяется как сумма диагональных элементов X и действительного следа Tr _R ( X  ) = Re Tr( X  ) . Действительный след удовлетворяет:

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }XY=\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }YX,\qquad \operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }(XY)Z=\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }X(YZ).}$

Это непосредственные следствия известных тождеств для n = 1 .

В A определите ассоциатор как

${\displaystyle \displaystyle {[a,b,c]=a(bc)-(ab)c.}}$

Он трилинеен и тождественно равен нулю, если A ассоциативен. Так как A является альтернативной алгеброй [ a ,  a ,  b ] = 0 и [ b ,  a ,  a ] = 0 . Поляризуя его, следует, что ассоциатор антисимметричен в своих трех элементах. Кроме того, если a , b или c лежат в R , то [ a ,  b ,  c ] = 0 . Эти факты подразумевают, что M ₃ ( A ) обладает определенными коммутационными свойствами. Фактически, если X является матрицей в M ₃ ( A ) с действительными элементами на диагонали, то

${\displaystyle \displaystyle {[X,X^{2}]=aI,}}$

с a в A. Фактически, если Y = [ X ,   X ² ] , то

${\displaystyle \displaystyle {y_{ij}=\sum _{k,\ell }[x_{ik},x_{k\ell },x_{\ell j}].}}$

Поскольку диагональные элементы X являются действительными, недиагональные элементы Y исчезают. Каждый диагональный элемент Y является суммой двух ассоциаторов, включающих только недиагональные члены X. Поскольку ассоциаторы инвариантны относительно циклических перестановок , все диагональные элементы Y равны.

Пусть H _n ( A ) — пространство самосопряженных элементов в M _n ( A ) с произведением X  ∘ Y = ⁠1/2⁠ ( X Y + Y X ) и скалярное произведение ( X ,  Y  ) = Tr _R ( X Y  ) .

Теорема. H _n ( A ) является евклидовой йордановой алгеброй , если A ассоциативна (действительные числа, комплексные числа или кватернионы) и n ≥ 3 или если A неассоциативна (октонионы) и n = 3 .

Исключительная йорданова алгебра H ₃ ( O ) называется алгеброй Альберта в честь А. А. Альберта .

Чтобы проверить, что H _n ( A ) удовлетворяет аксиомам для евклидовой йордановой алгебры, действительный след определяет симметричную билинейную форму с ( X ,  X ) = Σ ‖ x _ij ‖ ² . Таким образом, это скалярное произведение. Оно удовлетворяет свойству ассоциативности ( Z ∘ X ,  Y  ) = ( X ,  Z ∘ Y  ) из-за свойств действительного следа. Основная аксиома для проверки — это условие Жордана для операторов L ( X ), определяемое как L ( X ) Y = X  ∘ Y :

${\displaystyle \displaystyle {[L(X),L(X^{2})]=0.}}$

Это легко проверить, когда A ассоциативна, поскольку M _n ( A ) является ассоциативной алгеброй, поэтому йорданова алгебра с X  ∘ Y = ⁠1/2⁠ ( X Y + Y X ) . Когда A = O и n = 3 требуется специальный аргумент, один из самых коротких принадлежит Фрейденталю (1951). ^[7]

Фактически, если T находится в H ₃ ( O ) с Tr  T = 0 , то

${\displaystyle \displaystyle {D(X)=TX-XT}}$

определяет косо-сопряженный вывод H ₃ ( O ) . Действительно,

${\displaystyle \operatorname {Tr} (T(X(X^{2}))-T(X^{2}(X)))=\operatorname {Tr} T(aI)=\operatorname {Tr} (T)a=0,}$

так что

${\displaystyle (D(X),X^{2})=0.}$

Поляризационные выходы:

${\displaystyle (D(X),Y\circ Z)+(D(Y),Z\circ X)+(D(Z),X\circ Y)=0.}$

Установка Z = 1 показывает, что D является кососопряжённым. Отсюда и из свойства ассоциативности скалярного произведения в тождестве выше следует свойство вывода D ( X  ∘ Y ) = D ( X )∘ Y + X ∘ D ( Y ) .

При A и n, как в формулировке теоремы, пусть K будет группой автоморфизмов E = H n ₍ A ) , оставляющей инвариантным скалярное произведение. Это замкнутая подгруппа O ( E ), поэтому компактная группа Ли . Ее алгебра Ли состоит из кососопряженных дифференцирований. Фрейденталь (1951) показал, что для данного X в E существует автоморфизм k в K такой, что k ( X ) является диагональной матрицей . (В силу самосопряженности диагональные элементы будут действительными.) Теорема Фрейденталя о диагонализации немедленно влечет условие Жордана, поскольку жордановы произведения на действительные диагональные матрицы коммутируют на M _n ( A ) для любой неассоциативной алгебры A .

Чтобы доказать теорему о диагонализации, возьмем X в E . В силу компактности k можно выбрать в K, минимизируя суммы квадратов норм недиагональных членов k ( X  ) . Поскольку K сохраняет суммы всех квадратов, это эквивалентно максимизации сумм квадратов норм диагональных членов k ( X  ) . Заменив X на k X , можно предположить, что максимум достигается в X . Поскольку симметрическая группа S _n , действующая путем перестановки координат, лежит в K , если X не является диагональной, можно предположить, что x ₁₂ и ее сопряженная x ₂₁ не равны нулю. Пусть T будет кососопряжённой матрицей с (2, 1) элементом a , (1, 2) элементом − a * и 0 в других местах, и пусть D будет выводом ad T матрицы E . Пусть k _t = exp  tD в K . Тогда только первые два диагональных элемента в X ( t ) = k _t X отличаются от элементов X . Диагональные элементы являются действительными. Производная x ₁₁ ( t ) при t = 0 является координатой (1, 1) [ T ,  X ] , то есть a *  x ₂₁ + x ₁₂  a = 2( x ₂₁ ,  a ) . Эта производная не равна нулю, если a = x ₂₁ . С другой стороны, группа k _t сохраняет действительный след. Поскольку она может изменять только x ₁₁ и x ₂₂ , она сохраняет их сумму. Однако на прямой x + y = const, x ² + y ² не имеет локального максимума (только глобальный минимум), противоречие. Следовательно, X должен быть диагональным.

Смотрите также

• Мультипликативная квадратичная форма
• Число Радона–Гурвица
• Теорема Фробениуса

Примечания

1. См.:
   • Лам 2005
   • Раджваде 1993
   • Шапиро 2000
2. См.:
   • Экманн 1989
   • Экманн 1999
3. Джордан, фон Нейман и Вигнер 1934 г.
4. Фараут и Кораньи 1994, с. 82
5. Фараут и Кораньи 1994, стр. 81–86.
6. См.:
   • Гурвиц 1923, стр. 11
   • Херштейн 1968, стр. 141–144
7. См.:
   • Фараут и Кораньи 1994, стр. 88–91.
   • Постников 1986

Ссылки

• Альберт, А.А. (1934), «Об одной алгебре квантовой механики», Ann. of Math. , 35 (1): 65–73, doi :10.2307/1968118, JSTOR  1968118
• Шевалли, К. (1954), Алгебраическая теория спиноров и алгебр Клиффорда , Columbia University Press
• Экманн, Бено (1943), «Gruppentheoretischer Beweis des Satzes von Hurwitz – Radon über die Komposition Squaretischer Formen», Комментарий. Математика. Хелв. , 15 : 358–366, doi : 10.1007/bf02565652, S2CID  123322808
• Экман, Бено (1989), «Матрицы Гурвица–Радона и периодичность по модулю 8», Enseign. Math. , 35 : 77–91, архивировано из оригинала 2013-06-16
• Экман, Бено (1999), «Топология, алгебра, анализ — отношения и недостающие звенья», Notices Amer. Math. Soc. , 46 : 520–527
• Фараут, Дж.; Корани, А. (1994), Анализ симметричных конусов , Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, ISBN 978-0198534778
• Фрейденталь, Ганс (1951), Октавен, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie , Математический институт Рейксуниверситета в Утрехте
• Фрейденталь, Ганс (1985), «Октавен, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie», Geom. Посвященная , 19 : 7–63, doi : 10.1007/bf00233101, S2CID  121496094(перепечатка статьи 1951 года)
• Herstein, IN (1968), Некоммутативные кольца , Carus Mathematical Monographs, т. 15, Математическая ассоциация Америки, ISBN 978-0883850152
• Гурвиц, А. (1898), «Über die Composition der Squaretischen Formen von beliebig vielen Variabeln», Goett. Нахр. : 309–316
• Гурвиц, А. (1923), «Über die Komposition der Squaretischen Formen», Math. Энн. , 88 (1–2): 1–25, номер документа : 10.1007/bf01448439, S2CID  122147399
• Якобсон, Н. (1968), Структура и представления йордановых алгебр , Публикации коллоквиума Американского математического общества, т. 39, Американское математическое общество
• Jordan, P.; von Neumann, J.; Wigner, E. (1934), «Об алгебраическом обобщении квантово-механического формализма», Ann. of Math. , 35 (1): 29–64, doi :10.2307/1968117, JSTOR  1968117
• Лам, Цит-Юэн (2005), Введение в квадратичные формы над полями , Graduate Studies in Mathematics , т. 67, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-1095-8, MR  2104929, Zbl  1068.11023
• Ли, ХК (1948), «Теорема Гурвица-Радона для композиции квадратных форм», Комментарий. Математика. Хелв. , 21 : 261–269, doi : 10.1007/bf02568038, S2CID  121079375, заархивировано из оригинала 3 мая 2014 г.
• Портеус, IR (1969), Топологическая геометрия , Ван Ностранд Рейнхольд, ISBN 978-0-442-06606-2, ЗБЛ  0186.06304
• Постников, М. (1986), Группы Ли и алгебры Ли. Лекции по геометрии. Семестр V , Мир
• Радон, Дж. (1922), «Lineare scharen Orthagonaler Matrizen», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 1 : 1–14, doi : 10.1007/bf02940576, S2CID  120583389
• Раджваде, AR (1993), Квадраты , Серия лекций Лондонского математического общества, том 171, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-42668-8, ЗБЛ  0785.11022
• Шефер, Ричард Д. (1995) [1966], Введение в неассоциативные алгебры , Dover Publications , ISBN 978-0-486-68813-8, ЗБЛ  0145.25601
• Шапиро, Дэниел Б. (2000), Композиции квадратичных форм , Изложения Де Грюйтера по математике, том. 33, Вальтер де Грюйтер, ISBN 978-3-11-012629-7, ЗБЛ  0954.11011

Дальнейшее чтение

• Баез, Джон К. (2002), «Октонионы», Bull. Amer. Math. Soc. , 39 (2): 145–205, arXiv : math/0105155 , doi :10.1090/S0273-0979-01-00934-X, S2CID  586512
• Конвей, Джон Х.; Смит, Дерек А. (2003), О кватернионах и октонионах: их геометрии, арифметике и симметрии , AK Peters, ISBN 978-1568811345
• Кантор, ИЛ; Солодовников, АС (1989), "Нормированные алгебры с тождеством. Теорема Гурвица.", Гиперкомплексные числа. Элементарное введение в алгебры , Перевод А. Шеницера (2-е изд.), Springer-Verlag , стр. 121, ISBN 978-0-387-96980-0, ЗБЛ  0669.17001
• Макс Кехер и Рейнхольд Реммерт (1990) «Алгебры композиции. Теорема Гурвица — алгебры векторного произведения», глава 10 книги «Числа » Хайнца -Дитера Эббингауза и др., Springer, ISBN 0-387-97202-1 
• Спрингер, штат Калифорния ; Ф.Д. Вельдкамп (2000), Октонионы, йордановые алгебры и исключительные группы , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66337-9