Элементарная абелева группа

В математике , в частности в теории групп , элементарная абелева группа — это абелева группа , в которой все элементы, кроме единицы, имеют одинаковый порядок . Этот общий порядок должен быть простым числом , а элементарные абелевы группы, в которых общий порядок равен p, являются особым видом p -группы . ^[1]^[2] Группа, для которой p = 2 (то есть элементарная абелева 2-группа), иногда называется булевой группой . ^[3]

Каждая элементарная абелева p -группа является векторным пространством над простым полем с p элементами, и наоборот, каждое такое векторное пространство является элементарной абелевой группой. По классификации конечно порожденных абелевых групп или по тому факту, что каждое векторное пространство имеет базис , каждая конечная элементарная абелева группа должна иметь вид ( Z / p Z ) ⁿ для n — неотрицательного целого числа (иногда называемого рангом группы ). Здесь Z / p Z обозначает циклическую группу порядка p (или, что эквивалентно, целые числа mod p ), а надстрочное обозначение означает n -кратное прямое произведение групп . ^[2]

В общем случае (возможно, бесконечная) элементарная абелева p -группа является прямой суммой циклических групп порядка p . ^[4] (Заметим, что в конечном случае прямое произведение и прямая сумма совпадают, но в бесконечном случае это не так.)

Примеры и свойства

Элементарная абелева группа ( Z /2 Z ) ² имеет четыре элемента: {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} . Сложение выполняется покомпонентно, беря результат по модулю 2. Например, (1,0) + (1,1) = (0,1) . Это фактически четверная группа Клейна .
В группе, порожденной симметрической разностью на (не обязательно конечном) множестве, каждый элемент имеет порядок 2. Любая такая группа обязательно абелева, поскольку, поскольку каждый элемент является своим собственным обратным, xy = ( xy ) ⁻¹ = y ⁻¹x ⁻¹ = yx . Такая группа (также называемая булевой группой) обобщает пример четырехгруппы Клейна на произвольное число компонент.
( Z / p Z ) ⁿ генерируется n элементами, а n — наименьшее возможное число генераторов. В частности, набор { e ₁ , ..., e _n } , где e _i имеет 1 в i -м компоненте и 0 в остальных местах, является минимальным генерирующим набором.
Каждая конечная элементарная абелева группа имеет довольно простое конечное представление .

(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{n}\cong \langle e_{1},\ldots ,e_{n}\mid e_{i}^{p}=1,\ e_{i}e_{j}=e_{j}e_{i}\rangle

Структура векторного пространства

Предположим, что V ( Z / p Z ) ⁿ — конечная элементарная абелева группа. Поскольку Z / p Z F _p , конечное поле из p элементов, то V = ( Z / p Z ) ⁿ F _pⁿ , следовательно, V можно рассматривать как n -мерное векторное пространство над полем F _p . Отметим, что элементарная абелева группа в общем случае не имеет выделенного базиса: выбор изоморфизма V ( Z / p Z ) ⁿ соответствует выбору базиса. $\cong$ $\cong$ $\cong$ ${\overset {\cong }{\to }}$

Внимательному читателю может показаться, что F _pⁿ имеет больше структуры, чем группа V , в частности, что она имеет скалярное умножение в дополнение к (векторному/групповому) сложению. Однако V как абелева группа имеет уникальную структуру Z -модуля , где действие Z соответствует повторному сложению, и эта структура Z -модуля согласуется со скалярным умножением F _p . То есть, c ⋅ g = g + g + ... + g ( c раз), где c в F _p (рассматриваемое как целое число с 0 ≤ c < p ) дает V естественную структуру F _p -модуля.

Группа автоморфизмов

Поскольку конечномерное векторное пространство V имеет базис { e ₁ , ..., e _n }, как описано в примерах, если мы возьмем { v ₁ , ..., v _n } в качестве любых n элементов V , то с помощью линейной алгебры мы получим, что отображение T ( e _i ) = v _i продолжается единственным образом до линейного преобразования V . Каждое такое T можно рассматривать как групповой гомоморфизм из V в V ( эндоморфизм ), и аналогично любой эндоморфизм V можно рассматривать как линейное преобразование V как векторного пространства.

Если мы ограничим наше внимание автоморфизмами V , то получим Aut( V ) = { T : V → V | ker T = 0 } = GL n ₍ F p ₎ , общую линейную группу n × n обратимых матриц на F _p .

Группа автоморфизмов GL( V ) = GL _n ( F _p ) действует транзитивно на V \ {0} (как и для любого векторного пространства). Это фактически характеризует элементарные абелевы группы среди всех конечных групп: если G — конечная группа с единицей e, такая что Aut( G ) действует транзитивно на G \ {e} , то G — элементарная абелева группа. (Доказательство: если Aut( G ) действует транзитивно на G \ {e} , то все неединичные элементы G имеют одинаковый (обязательно простой) порядок. Тогда G — p -группа. Из этого следует, что G имеет нетривиальный центр , который обязательно инвариантен относительно всех автоморфизмов и, таким образом, равен всем G .)

Обобщение на более высокие порядки

Также может быть интересно выйти за рамки простых порядковых компонентов и перейти к порядку степеней простых чисел. Рассмотрим элементарную абелеву группу G , имеющую тип ( p , p ,..., p ) для некоторого простого числа p . Гомоциклическая группа ^[5] (ранга n ) — это абелева группа типа ( m , m ,..., m ), т. е. прямое произведение n изоморфных циклических групп порядка m , из которых группы типа ( p ^k , p ^k ,..., p ^k ) являются частным случаем.

Связанные группы

Дополнительные специальные группы являются расширениями элементарных абелевых групп с помощью циклической группы порядка p и аналогичны группе Гейзенберга .

Смотрите также

Ссылки

^ Ханс Дж. Цассенхаус (1999) [1958]. Теория групп . Courier Corporation. стр. 142. ISBN 978-0-486-16568-4.
^ ab HE Rose (2009). Курс по конечным группам . Springer Science & Business Media. стр. 88. ISBN 978-1-84882-889-6.
^ Стивен Гиван; Пол Халмос (2009). Введение в булевы алгебры . Springer Science & Business Media. стр. 6. ISBN 978-0-387-40293-2.
^ Л. Фукс (1970). Бесконечные абелевы группы. Том I. Academic Press. стр. 43. ISBN 978-0-08-087348-0.
^ Горенштейн, Дэниел (1968). "1.2". Конечные группы . Нью-Йорк: Harper & Row. стр. 8. ISBN 0-8218-4342-7.