Угловое смещение (символ θ, ϑ или φ ) — также называемое углом поворота , вращательным смещением или вращательным смещением — физического тела — это угол (в радианах , градусах , поворотах и т . д.), на который тело вращается (вращается или вращается) вокруг центра или оси вращения . Угловое смещение может быть подписано, указывая направление вращения (например, по часовой стрелке ); он также может быть больше (по абсолютной величине ), чем полный оборот .
Когда тело вращается вокруг своей оси, его движение нельзя просто анализировать как частицу, поскольку при круговом движении оно в любой момент подвергается изменению скорости и ускорения. Когда речь идет о вращении тела, проще считать само тело жестким. Тело обычно считается твердым, если расстояние между всеми частицами остается постоянным на протяжении всего движения тела, поэтому, например, части его массы не разлетаются. В реалистическом смысле все вещи могут быть деформируемыми, однако это влияние минимально и незначительно.
В примере, показанном справа (или выше в некоторых мобильных версиях), частица или тело P находится на фиксированном расстоянии r от начала координат O и вращается против часовой стрелки. Тогда становится важным представить положение частицы P через ее полярные координаты ( r , θ ). В данном конкретном примере значение θ меняется, а значение радиуса остаётся прежним. (В прямоугольных координатах ( x , y ) и x , и y меняются со временем.) Когда частица движется по окружности, она проходит дугу длиной s , которая становится связанной с угловым положением соотношением:
Угловое смещение может выражаться в радианах или градусах. Использование радианов обеспечивает очень простую связь между расстоянием, пройденным по кругу ( длиной дуги окружности ), и расстоянием r от центра ( радиусом ):
Например, если тело вращается на 360° по окружности радиуса r , угловое смещение определяется расстоянием, пройденным по окружности, которое равно 2π r , деленным на радиус: что легко упрощается до: . Следовательно, 1 оборот – это радианы.
Приведенное выше определение является частью Международной системы величин (ISQ), формализованной в международном стандарте ISO 80000-3 (Пространство и время) [1] и принятой в Международной системе единиц (СИ). [2] [3]
Угловое смещение может быть подписано, указывая направление вращения (например, по часовой стрелке ); [1] оно также может быть больше (по абсолютной величине ), чем полный оборот . В ISQ/SI угловое смещение используется для определения количества оборотов , N =θ/(2π рад), величины отношения типа единицы .
В трех измерениях угловое смещение представляет собой объект с направлением и величиной. Направление определяет ось вращения, которая всегда существует в силу теоремы Эйлера о вращении ; величина определяет вращение в радианах вокруг этой оси (используя правило правой руки для определения направления). Эта сущность называется углом оси .
Несмотря на наличие направления и величины, угловое смещение не является вектором , поскольку не подчиняется коммутативному закону сложения. [4] Тем не менее, когда речь идет о бесконечно малых вращениях, бесконечно малые второго порядка можно отбросить, и в этом случае появляется коммутативность.
Существует несколько способов описания вращения, например, матрицы вращения или углы Эйлера . Другие см. в диаграммах SO(3) .
Учитывая, что любой кадр в пространстве можно описать матрицей вращения, смещение между ними также можно описать матрицей вращения. Поскольку и две матрицы, матрица углового смещения между ними может быть получена как . Когда это произведение будет выполнено с очень небольшой разницей между обоими кадрами, мы получим матрицу, близкую к тождественной.
В пределе мы будем иметь бесконечно малую матрицу вращения.
Матрица бесконечно малого вращения или матрица дифференциального вращения — это матрица , представляющая бесконечно малое вращение .
В то время как матрица вращения — это ортогональная матрица , представляющая элемент ( специальной ортогональной группы ), дифференциал вращения — это кососимметричная матрица в касательном пространстве ( специальная ортогональная алгебра Ли ), которая сама по себе не является матрицей вращения.
Бесконечно малая матрица вращения имеет вид
где – единичная матрица, исчезающе мала, а
Например, если представляет собой бесконечно малое трехмерное вращение вокруг оси x , базовый элемент