Круговая дуга

Часть круга между двумя точками

Круглый сектор закрашен зеленым цветом. Его изогнутая граница длиной L представляет собой дугу окружности.

Дуга окружности — это дуга окружности между парой различных точек . Если две точки не находятся прямо напротив друг друга, одна из этих дуг, малая дуга , образует угол в центре круга, который меньше π радиан (180 градусов ); а другая дуга, большая дуга , образует угол, превышающий π радиан. Дуга круга определяется как часть или сегмент окружности круга . Прямая линия, соединяющая два конца дуги, называется хордой окружности . Если длина дуги равна ровно половине окружности, она называется полукруговой дугой .

Длина

Длина (точнее, длина дуги ) дуги окружности радиуса r , образующей угол θ (измеренный в радианах) с центром окружности, т. е. центральным углом , равна

${\displaystyle L=\theta r.}$

Это потому что

${\displaystyle {\frac {L}{\mathrm {circumference} }}={\frac {\theta }{2\pi }}.}$

Подстановка по окружности

${\displaystyle {\frac {L}{2\pi r}}={\frac {\theta }{2\pi }},}$

и, где α — тот же угол, измеренный в градусах, поскольку θ  = α/180π длина дуги равна

${\displaystyle L={\frac {\alpha \pi r}{180}}.}$

Практический способ определить длину дуги в круге — провести две линии от концов дуги до центра круга, измерить угол, в котором две линии встречаются с центром, а затем найти L путем перекрестного умножения выражения. :

мера угла в градусах/360° = L /окружность.

Например, если угол равен 60 градусам, а длина окружности 24 дюйма, то

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {60}{360}}&={\frac {L}{24}}\\[6pt]360L&=1440\\[6pt]L&=4.\end{aligned}}}$

Это так, потому что длина окружности и степени круга, которых всегда 360, прямо пропорциональны.

Верхняя половина круга может быть параметризована как

${\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}.}$

Тогда длина дуги от до равна ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle x=b}$

${\displaystyle L=r{\Big [}\arcsin \left({\frac {x}{r}}\right){\Big ]}_{a}^{b}.}$

Площадь сектора

Площадь сектора, образованного дугой и центром круга (ограниченного дугой и двумя радиусами, проведенными к ее концам), равна

${\displaystyle A={\frac {r^{2}\theta }{2}}.}$

Площадь A имеет ту же пропорцию к площади круга , что и угол θ к полному кругу:

${\displaystyle {\frac {A}{\pi r^{2}}}={\frac {\theta }{2\pi }}.}$

Мы можем сократить π с обеих сторон:

${\displaystyle {\frac {A}{r^{2}}}={\frac {\theta }{2}}.}$

Умножив обе части на r ² , получим окончательный результат:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}r^{2}\theta .}$

Используя описанное выше преобразование, находим, что площадь сектора для центрального угла, измеренная в градусах, равна

${\displaystyle A={\frac {\alpha }{360}}\pi r^{2}.}$

Область сегмента

Площадь фигуры, ограниченная дугой и прямой линией между двумя ее конечными точками, равна

${\displaystyle {\frac {1}{2}}r^{2}(\theta -\sin \theta ).}$

Чтобы получить площадь сегмента дуги , нам нужно вычесть из площади площадь треугольника, определяемую центром круга и двумя конечными точками дуги . Подробности см . в разделе Круговой сегмент . ${\displaystyle A}$

Радиус

Произведение отрезков AP и PB равно произведению отрезков CP и PD. Если дуга имеет ширину AB и высоту CP, то диаметр окружности ${\displaystyle CD={\frac {AP\cdot PB}{CP}}+CP}$

Используя теорему о пересекающихся хордах (также известную как теорема о степени точки или секущей касательной), можно вычислить радиус r круга, зная высоту H и ширину W дуги:

Рассмотрим хорду с теми же концами, что и дуга. Его биссектриса — это еще одна хорда, представляющая собой диаметр окружности. Длина первой хорды равна W , и она разделена биссектрисой на две равные половины, каждая длинойВт/2. Общая длина диаметра равна 2 r и разделена первой хордой на две части. Длина одной части — это сагитта дуги H , а другая часть — это остаток диаметра длиной 2 r  −  H. Применение теоремы о пересекающихся хордах к этим двум хордам дает

${\displaystyle H(2r-H)=\left({\frac {W}{2}}\right)^{2},}$

откуда

${\displaystyle 2r-H={\frac {W^{2}}{4H}},}$

так

${\displaystyle r={\frac {W^{2}}{8H}}+{\frac {H}{2}}.}$

Дуга, хорда и сагитта получили свои названия соответственно от латинских слов, обозначающих лук, тетиву и стрелу .

Смотрите также

• Биарк
• Круг сферы
• График дуги окружности
• Круговая интерполяция
• Лимон (геометрия)
• Меридианная дуга
• Длина окружности
• Круговое движение
• Тангенциальная скорость

Внешние ссылки

• Оглавление страниц открытого справочного кружка по математике
• Математика Открытая справочная страница по дугам окружности С интерактивной анимацией
• Математика Открытая справочная страница по радиусу дуги или сегмента окружности С интерактивной анимацией
• Вайсштейн, Эрик В. «Дуга». Математический мир .