Медиана (геометрия)

Отрезок прямой, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны

Медианы и центроид треугольника .

В геометрии медиана треугольника — это отрезок прямой , соединяющий вершину с серединой противоположной стороны, таким образом делящий эту сторону пополам. Каждый треугольник имеет ровно три медианы, по одной из каждой вершины, и все они пересекаются в центре тяжести треугольника . В случае равнобедренных и равносторонних треугольников медиана делит пополам любой угол в вершине , две смежные стороны которого равны по длине. Понятие медианы распространяется на тетраэдры .

Отношение к центру масс

Каждая медиана треугольника проходит через центроид треугольника , который является центром масс бесконечно тонкого объекта однородной плотности, совпадающего с треугольником. ^[1] Таким образом, объект будет балансировать в точке пересечения медиан. Центроид находится в два раза ближе вдоль любой медианы к стороне, которую медиана пересекает, чем к вершине, из которой она выходит.

Равновеликое деление

Каждая медиана делит площадь треугольника пополам, отсюда и название, и, следовательно, треугольный объект однородной плотности будет балансировать на любой медиане. (Любые другие линии, делящие площадь треугольника на две равные части, не проходят через центроид.) ^{[2] [3]} Три медианы делят треугольник на шесть меньших треугольников равной площади .

Доказательство равновеликой собственности

Рассмотрим треугольник ABC . Пусть D — середина , E — середина , F — середина , а O — центроид (чаще всего обозначаемый G ). ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ ${\displaystyle {\overline {AC}}}$

По определению, . Таким образом , и , где представляет площадь треугольника  ; эти соотношения справедливы, поскольку в каждом случае два треугольника имеют основания одинаковой длины и имеют общую высоту от (продолженного) основания, а площадь треугольника равна половине его основания, умноженного на его высоту. ${\displaystyle AD=DB,AF=FC,BE=EC}$ ${\displaystyle [ADO]=[BDO],[AFO]=[CFO],[BEO]=[CEO],}$ ${\displaystyle [ABE]=[ACE]}$ ${\displaystyle [ABC]}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$

У нас есть:

${\displaystyle [ABO]=[ABE]-[BEO]}$

${\displaystyle [ACO]=[ACE]-[CEO]}$

Таким образом, и ${\displaystyle [ABO]=[ACO]}$ ${\displaystyle [ADO]=[DBO],[ADO]={\frac {1}{2}}[ABO]}$

Так как , то . Используя тот же метод, можно показать, что . ${\displaystyle [AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]}$ ${\displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]}$ ${\displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]=[BEO]=[CEO]}$

Три равных треугольника

В 2014 году Ли Саллоуз открыл следующую теорему: ^[4]

Медианы любого треугольника делят его на шесть равных по площади меньших треугольников, как на рисунке выше, где три смежные пары треугольников встречаются в серединах D, E и F. Если два треугольника в каждой такой паре вращать вокруг их общей середины до тех пор, пока они не встретятся так, чтобы иметь общую сторону, то три новых треугольника, образованные объединением каждой пары, будут конгруэнтны.

Формулы, включающие длины медиан

Длины медиан можно получить из теоремы Аполлония следующим образом: $${\displaystyle m_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}}$$ $${\displaystyle m_{b}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}}}$$ $${\displaystyle m_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}}$$где и — стороны треугольника с соответствующими медианами и из их середин. ${\displaystyle a,b,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle m_{a},m_{b},}$ ${\displaystyle m_{c}}$

Эти формулы подразумевают соотношения:^[5] $${\displaystyle a={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{a}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-4m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{c}^{2}}}}$$ $${\displaystyle b={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{c}^{2}}}}$$ $${\displaystyle c={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{c}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+a^{2})-4m_{c}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{a}^{2}}}.}$$

Другие свойства

Пусть ABC — треугольник, пусть G — его центроид, и пусть D , E и F — середины BC , CA и AB соответственно. Для любой точки P в плоскости ABC тогда ^[6] $${\displaystyle PA+PB+PC\leq 2(PD+PE+PF)+3PG.}$$

Центроид делит каждую медиану на части в соотношении 2:1, при этом центроид находится в два раза ближе к середине стороны, чем к противоположной вершине.

Для любого треугольника со сторонами и медианами ^[7] ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle m_{a},m_{b},m_{c},}$ $${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}(a+b+c)<m_{a}+m_{b}+m_{c}<a+b+c\quad {\text{ and }}\quad {\tfrac {3}{4}}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.}$$

Медианы сторон длин и перпендикулярны тогда и только тогда, когда ^[8] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=5c^{2}.}$

Медианы прямоугольного треугольника с гипотенузой удовлетворяют условию ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}.}$

Площадь любого треугольника T можно выразить через его медианы и следующим образом. Если их полусумму обозначить через , то ^[9] ${\displaystyle m_{a},m_{b}}$ ${\displaystyle m_{c}}$ ${\displaystyle \left(m_{a}+m_{b}+m_{c}\right)/2}$ ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle T={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma \left(\sigma -m_{a}\right)\left(\sigma -m_{b}\right)\left(\sigma -m_{c}\right)}}.}$$

Тетраэдр

медианы тетраэдра

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {|AS|}{|SS_{BCD}|}}={\frac {|BS|}{|SS_{ACD}|}}={\frac {|CS|}{|SS_{ABD}|}}\\=&{\frac {|DS|}{|SS_{ABC}|}}={\frac {3}{1}}\end{aligned}}}$

Тетраэдр — это трехмерный объект, имеющий четыре треугольные грани . Отрезок прямой, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противоположной грани, называется медианой тетраэдра. Существует четыре медианы, и все они совпадают в центроиде тетраэдра. ^[10] Как и в двумерном случае, центроид тетраэдра является центром масс . Однако в отличие от двумерного случая центроид делит медианы не в соотношении 2:1, а в соотношении 3:1 ( теорема Коммандино ).

Смотрите также

• Биссектриса угла
• Высота (треугольник)
• Автомедианный треугольник

Ссылки

1. Weisstein, Eric W. (2010). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, второе издание . CRC Press. стр. 375–377. ISBN 9781420035223.
2. Боттомли, Генри. "Медианы и биссектрисы треугольника". Архивировано из оригинала 2019-05-10 . Получено 27 сентября 2013 .
3. Данн, JA, и Претти, JE, "Деление треугольника пополам", Mathematical Gazette 56, май 1972 г., стр. 105-108. DOI 10.2307/3615256 Архивировано 05.04.2023 на Wayback Machine
4. Саллоуз, Ли (2014). «Теорема о треугольнике». Mathematics Magazine . 87 (5): 381. doi :10.4169/math.mag.87.5.381. ISSN  0025-570X.
5. Депланш, Ю. (1996). Формулы Диччио. Медианы треугольника. Эдунса. п. 22. ISBN 978-84-7747-119-6. Получено 24.04.2011 .
6. Задача 12015, American Mathematical Monthly, том 125, январь 2018 г., DOI: 10.1080/00029890.2018.1397465
7. Посаментье, Альфред С. и Салкинд, Чарльз Т., Сложные задачи по геометрии , Довер, 1996: стр. 86–87.
8. Боскофф, Хоменцовски и Сучава (2009), Mathematical Gazette , Примечание 93.15.
9. Беньи, Арпад, «Формула типа Герона для треугольника», Mathematical Gazette 87, июль 2003 г., 324–326.
10. Лёнг, Кам-тим; и Суен, Сук-нам; «Векторы, матрицы и геометрия», Hong Kong University Press, 1994, стр. 53–54

Внешние ссылки

• Медианы в разрубании узла
• Площадь срединного треугольника в точке разрезания узла
• Медианы треугольника С интерактивной анимацией
• Анимированная демонстрация построения медианы треугольника с помощью циркуля и линейки
• Вайсштейн, Эрик В. «Медиана треугольника». MathWorld .