Центроид

Среднее положение всех точек фигуры

Центроид треугольника

В математике и физике центроид , также известный как геометрический центр или центр фигуры , плоской фигуры или объемной фигуры — это среднее арифметическое положение всех точек на поверхности фигуры. ^{[ необходимо дальнейшее объяснение ]} Это же определение распространяется на любой объект в -мерном евклидовом пространстве . [ 1 ^] ${\displaystyle n}$

В геометрии часто предполагается равномерная плотность массы , в этом случае барицентр или центр масс совпадает с центроидом. Неформально это можно понимать как точку, в которой вырез формы (с равномерно распределенной массой) может быть идеально сбалансирован на кончике булавки. ^[2]

В физике, если рассматривать изменения силы тяжести , то центр тяжести можно определить как средневзвешенное значение всех точек, взвешенных по их удельному весу .

В географии центроид радиальной проекции области земной поверхности на уровень моря называется географическим центром области .

История

Термин «центроид» появился недавно (1814). ^[3] Он используется в качестве замены старых терминов «центр тяжести» и « центр масс », когда необходимо подчеркнуть чисто геометрические аспекты этой точки. Термин свойственен английскому языку; например, во французском языке в большинстве случаев используется « центр гравитации », а в других языках используются термины со схожим значением. ^{[ требуется ссылка ]}

Центр тяжести, как следует из названия, — это понятие, возникшее в механике, скорее всего, в связи со строительством. Неизвестно, когда впервые появилась эта идея, поскольку эта концепция, вероятно, приходила в голову многим людям индивидуально с небольшими различиями. Тем не менее, центр тяжести фигур широко изучался в античности; Боссю приписывает Архимеду (287–212 гг. до н. э.) звание первого, кто нашел центроид плоских фигур, хотя он никогда не определяет его. ^[4] Трактовка центроидов твердых тел Архимедом была утеряна. ^[5]

Маловероятно, что Архимед узнал теорему о том, что медианы треугольника пересекаются в одной точке — центре тяжести треугольника — непосредственно от Евклида , поскольку этого предложения нет в « Началах» . Первое явное утверждение этого предложения принадлежит Герону Александрийскому (возможно, первый век н. э.) и встречается в его «Механике» . Можно добавить, попутно, что это предложение не стало общепринятым в учебниках по планиметрии до девятнадцатого века. ^{[ требуется ссылка ]}

Характеристики

Геометрический центроид выпуклого объекта всегда лежит в объекте. Невыпуклый объект может иметь центроид, который находится вне самой фигуры. Центроид кольца или чаши , например, лежит в центральной пустоте объекта.

Если центроид определен, то он является неподвижной точкой всех изометрий в своей группе симметрии . В частности, геометрический центроид объекта лежит в пересечении всех его гиперплоскостей симметрии . Центроид многих фигур ( правильный многоугольник , правильный многогранник , цилиндр , прямоугольник , ромб, круг , сфера , эллипс , эллипсоид , суперэллипс , суперэллипсоид и т . д.) может быть определен только по этому принципу.

В частности, центроид параллелограмма является точкой пересечения его двух диагоналей . Это не относится к другим четырехугольникам .

По той же причине центроид объекта с трансляционной симметрией не определен (или лежит вне охватывающего его пространства), поскольку трансляция не имеет неподвижной точки.

Примеры

Центроид треугольника — это пересечение трех медиан треугольника (каждая медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны). ^[6]

Другие свойства центроида треугольника см. ниже.

Определение

Метод отвеса

Центроид однородно плотной плоской пластинки , такой как на рисунке (a) ниже, может быть определен экспериментально с помощью отвеса и булавки для нахождения совмещенного центра масс тонкого тела однородной плотности, имеющего ту же форму. Тело удерживается булавкой, вставленной в точку, вне предполагаемого центроида таким образом, что оно может свободно вращаться вокруг булавки; затем отвес сбрасывается со булавки (рисунок b). Положение отвеса прослеживается на поверхности, и процедура повторяется со булавкой, вставленной в любую другую точку (или несколько точек) вне центроида объекта. Уникальной точкой пересечения этих линий будет центроид (рисунок c). При условии, что тело имеет однородную плотность, все линии, проведенные таким образом, будут включать центроид, и все линии будут пересекаться точно в одном и том же месте.

Этот метод может быть распространен (теоретически) на вогнутые формы, где центроид может лежать вне формы, и виртуально на твердые тела (опять же, однородной плотности), где центроид может лежать внутри тела. (Виртуальные) положения отвесных линий должны быть записаны иными способами, чем путем их рисования вдоль формы.

Метод балансировки

Для выпуклых двумерных фигур центроид можно найти, уравновешивая фигуру на меньшей фигуре, например, на вершине узкого цилиндра. Центроид находится где-то в пределах области контакта между двумя фигурами (и точно в точке, где фигура будет уравновешиваться на штифте). В принципе, для нахождения центроида с произвольной точностью можно использовать постепенно сужающиеся цилиндры. На практике воздушные потоки делают это неосуществимым. Однако, отмечая диапазон перекрытия из нескольких балансов, можно достичь значительного уровня точности.

Конечного множества точек

Центроид конечного множества точек в равен ^[1]. Эта точка минимизирует сумму квадратов евклидовых расстояний между собой и каждой точкой в ​​множестве. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}+\cdots +\mathbf {x} _{k}}{k}}.}$$

Геометрическим разложением

Центроид плоской фигуры можно вычислить, разделив ее на конечное число более простых фигур, вычислив центроид и площадь каждой части, а затем вычислив ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n},}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$

$${\displaystyle C_{x}={\frac {\sum _{i}{C_{i}}_{x}A_{i}}{\sum _{i}A_{i}}},\quad C_{y}={\frac {\sum _{i}{C_{i}}_{y}A_{i}}{\sum _{i}A_{i}}}.}$$

Отверстия в фигуре, перекрытия между частями или части, которые выходят за пределы фигуры, можно обрабатывать с помощью отрицательных площадей. А именно, измерения должны выполняться с положительными и отрицательными знаками таким образом, чтобы сумма знаков для всех частей, которые охватывают данную точку, была равна , если принадлежит , и в противном случае. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A_{i}.}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle 0}$

Например, фигура ниже (а) легко делится на квадрат и треугольник, оба с положительной площадью, и круглое отверстие с отрицательной площадью (б).

Центроид каждой части можно найти в любом списке центроидов простых фигур (c). Тогда центроид фигуры является средневзвешенным значением трех точек. Горизонтальное положение центроида, от левого края фигуры равно Вертикальное положение центроида находится таким же образом. $${\displaystyle x={\frac {5\times 10^{2}+13.33\times {\frac {1}{2}}10^{2}-3\times \pi 2.5^{2}}{10^{2}+{\frac {1}{2}}10^{2}-\pi 2.5^{2}}}\approx 8.5{\text{ units}}.}$$

Та же формула справедлива для любых трехмерных объектов, за исключением того, что каждый должен быть объемом, а не площадью. Она также справедлива для любого подмножества для любого измерения с заменой площадей на -мерные меры частей. ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle X_{i},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d},}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle d}$

По интегральной формуле

Центроид подмножества также можно вычислить по формуле ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle C={\frac {\int xg(x)\ dx}{\int g(x)\ dx}}}$$

где интегралы берутся по всему пространству и являются характеристической функцией подмножества , если и в противном случае. ^[7] Обратите внимание, что знаменатель — это просто мера множества . Эту формулу нельзя применять, если множество имеет нулевую меру или если какой-либо интеграл расходится. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\!:\ g(x)=1}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle g(x)=0}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$

Другая формула для центроида:

$${\displaystyle C_{k}={\frac {\int zS_{k}(z)\ dz}{\int g(x)\ dx}},}$$

где - ая координата, а - мера пересечения с гиперплоскостью, определяемой уравнением Опять же, знаменатель - это просто мера ${\displaystyle C_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle S_{k}(z)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{k}=z.}$ ${\displaystyle X.}$

Для плоской фигуры, в частности, барицентрические координаты имеют вид

$${\displaystyle C_{\mathrm {x} }={\frac {\int xS_{\mathrm {y} }(x)\ dx}{A}},\quad C_{\mathrm {y} }={\frac {\int yS_{\mathrm {x} }(y)\ dy}{A}},}$$

где - площадь фигуры, - длина пересечения с вертикальной линией на оси абсцисс , а - длина пересечения с горизонтальной линией на оси ординат. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S_{\mathrm {y} }(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle S_{\mathrm {x} }(y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y.}$

Ограниченной области

Центроид области, ограниченной графиками непрерывных функций и такой, что на интервале задается формулой ^{[7] [8]} ${\displaystyle ({\bar {x}},\;{\bar {y}})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f(x)\geq g(x)}$ ${\displaystyle [a,b],}$ ${\displaystyle a\leq x\leq b}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}&={\frac {1}{A}}\int _{a}^{b}x{\bigl (}f(x)-g(x){\bigr )}\,dx,\\[5mu]{\bar {y}}&={\frac {1}{A}}\int _{a}^{b}{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}f(x)+g(x){\bigr )}{\bigl (}f(x)-g(x){\bigr )}\,dx,\end{aligned}}}$$

где - площадь области (задается как ). ^{[9] [10]} ${\displaystyle A}$ ${\textstyle \int _{a}^{b}{\bigl (}f(x)-g(x){\bigr )}dx}$

С интегралом

Интегрограф (родственник планиметра ) может быть использован для нахождения центра тяжести объекта неправильной формы с гладкой (или кусочно-гладкой) границей. Математический принцип, используемый в этом, является частным случаем теоремы Грина . ^[11]

L-образного объекта

Это метод определения центра тяжести объекта L-образной формы.

1. Разделите фигуру на два прямоугольника, как показано на рис. 2. Найдите центры тяжести этих двух прямоугольников, проведя диагонали. Проведите линию, соединяющую центры тяжести. Центр тяжести фигуры должен лежать на этой линии. ${\displaystyle AB.}$
2. Разделите фигуру на два других прямоугольника, как показано на рис. 3. Найдите центры тяжести этих двух прямоугольников, проведя диагонали. Проведите линию, соединяющую центры тяжести. Центр тяжести L-образной фигуры должен лежать на этой линии. ${\displaystyle CD.}$
3. Поскольку центр тяжести фигуры должен лежать вдоль и вдоль этих двух линий, он должен находиться на пересечении этих двух линий, в точке Точка может лежать внутри или снаружи L-образного объекта. ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle CD,}$ ${\displaystyle O.}$ ${\displaystyle O}$

Треугольника

Центроид треугольника — это точка пересечения его медиан (линий, соединяющих каждую вершину с серединой противоположной стороны). ^[6] Центроид делит каждую из медиан в отношении , то есть он находится на расстоянии от каждой стороны до противоположной вершины (см. рисунки справа). ^{[12] [13]} Его декартовы координаты — это средние значения координат трех вершин. То есть, если три вершины и тогда центроид (обозначаемый здесь, но чаще всего обозначаемый в геометрии треугольника ) равен ${\displaystyle 2:1,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle L=(x_{L},y_{L}),}$ ${\displaystyle M=(x_{M},y_{M}),}$ ${\displaystyle N=(x_{N},y_{N}),}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle C={\tfrac {1}{3}}(L+M+N)={\bigl (}{\tfrac {1}{3}}(x_{L}+x_{M}+x_{N}),{\tfrac {1}{3}}(y_{L}+y_{M}+y_{N}){\bigr )}.}$$

Таким образом, центроид находится в барицентрической системе координат . ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}:{\tfrac {1}{3}}:{\tfrac {1}{3}}}$

В трилинейных координатах центроид может быть выражен любым из этих эквивалентных способов через длины сторон и углы при вершинах : ^[14] ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle L,M,N}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}C&={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=bc:ca:ab=\csc L:\csc M:\csc N\\[6pt]&=\cos L+\cos M\cdot \cos N:\cos M+\cos N\cdot \cos L:\cos N+\cos L\cdot \cos M\\[6pt]&=\sec L+\sec M\cdot \sec N:\sec M+\sec N\cdot \sec L:\sec N+\sec L\cdot \sec M.\end{aligned}}}$$

Центроид также является физическим центром масс, если треугольник сделан из однородного листа материала; или если вся масса сосредоточена в трех вершинах и равномерно распределена между ними. С другой стороны, если масса распределена по периметру треугольника с равномерной линейной плотностью , то центр масс лежит в центре Шпикера ( инцентре срединного треугольника ), который (в общем случае) не совпадает с геометрическим центроидом полного треугольника.

Площадь треугольника равна произведению длины любой стороны на перпендикулярное расстояние от стороны до центра масс. ^[15] ${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$

Центроид треугольника лежит на его прямой Эйлера между его ортоцентром и центром описанной окружности, ровно в два раза ближе к последнему, чем к первому: ^{[16] [17]} ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle O,}$

$${\displaystyle {\overline {CH}}=2{\overline {CO}}.}$$

Кроме того, для инцентра и центра девяти точек мы имеем ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle N,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {CH}}&=4{\overline {CN}},\\[5pt]{\overline {CO}}&=2{\overline {CN}},\\[5pt]{\overline {IC}}&<{\overline {HC}},\\[5pt]{\overline {IH}}&<{\overline {HC}},\\[5pt]{\overline {IC}}&<{\overline {IO}}.\end{aligned}}}$$

Если - центроид треугольника, то ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ABC,}$

$${\displaystyle ({\text{Area of }}\triangle ABG)=({\text{Area of }}\triangle ACG)=({\text{Area of }}\triangle BCG)={\tfrac {1}{3}}({\text{Area of }}\triangle ABC).}$$

Изогональной сопряженной точкой центроида треугольника является его симедианная точка .

Любая из трех медиан, проходящих через центроид, делит площадь треугольника пополам. Это не относится к другим линиям, проходящим через центроид; наибольшее отклонение от деления на равные площади происходит, когда линия, проходящая через центроид, параллельна стороне треугольника, создавая меньший треугольник и трапецию ; в этом случае площадь трапеции равна площади исходного треугольника. ^[18] ${\displaystyle {\tfrac {5}{9}}}$

Пусть — любая точка на плоскости треугольника с вершинами и центроидом Тогда сумма квадратов расстояний от трех вершин превышает сумму квадратов расстояний центроида от вершин на утроенный квадрат расстояния между и : ^[19] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}=GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}+3PG^{2}.}$$

Сумма квадратов сторон треугольника равна утроенной сумме квадратов расстояний от центра масс до вершин: ^[19]

$${\displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}).}$$

Центроид треугольника — это точка, которая максимизирует произведение направленных расстояний точки от боковых линий треугольника. ^[20]

Пусть будет треугольником, пусть будет его центроидом, и пусть будут серединами отрезков соответственно. Для любой точки в плоскости ^[21] ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle D,E,F}$ ${\displaystyle BC,CA,AB,}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle ABC,}$

$${\displaystyle PA+PB+PC\leq 2(PD+PE+PF)+3PG.}$$

Многоугольника

Центроид замкнутого многоугольника без самопересечений, определяемого вершинами, — это точка ^[22] , где ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\;}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\;\ldots ,\;}$ ${\displaystyle (x_{n-1},y_{n-1}),}$ ${\displaystyle (C_{x},C_{y}),}$

$${\displaystyle C_{\mathrm {x} }={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}),}$$

и

$${\displaystyle C_{\mathrm {y} }={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}),}$$

и где - площадь многоугольника, ^[22] как описано формулой шнуровки : ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}).}$$

В этих формулах вершины считаются пронумерованными в порядке их появления вдоль периметра многоугольника; кроме того, вершина считается той же, что и в последнем случае, необходимо выполнить цикл (если точки пронумерованы по часовой стрелке, площадь, вычисленная , как указано выше, будет отрицательной; однако координаты центроида будут правильными даже в этом случае.) ${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),}$ ${\displaystyle i+1}$ ${\displaystyle i=0.}$ ${\displaystyle A,}$

Конуса или пирамиды

Центроид конуса или пирамиды расположен на отрезке прямой, соединяющем вершину с центроидом основания. Для сплошного конуса или пирамиды центроид — это расстояние от основания до вершины. Для конуса или пирамиды, которые представляют собой просто оболочку (полость) без основания, центроид — это расстояние от плоскости основания до вершины. ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$

Тетраэдра ин-мерный симплекс

Тетраэдр — это объект в трехмерном пространстве, имеющий четыре треугольника в качестве своих граней . Отрезок прямой, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противоположной грани, называется медианой , а отрезок прямой, соединяющий середины двух противоположных ребер, называется бимедианой . Следовательно, существует четыре медианы и три бимедианы. Все эти семь отрезков пересекаются в центроиде тетраэдра. ^[23] Медианы делятся центроидом в соотношении Центроид тетраэдра — это середина между его точкой Монжа и центром описанной окружности (центром описанной сферы). Эти три точки определяют линию Эйлера тетраэдра, которая аналогична линии Эйлера треугольника. ${\displaystyle 3:1.}$

Эти результаты обобщаются на любой -мерный симплекс следующим образом. Если множество вершин симплекса является тогда рассматривая вершины как векторы , центроид есть ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {v_{0},\ldots ,v_{n}},}$

$${\displaystyle C={\frac {1}{n+1}}\sum _{i=0}^{n}v_{i}.}$$

Геометрический центроид совпадает с центром масс, если масса равномерно распределена по всему симплексу или сосредоточена в вершинах в виде равных масс. ${\displaystyle n+1}$

Полушария

Центроид сплошной полусферы (т.е. половины сплошного шара) делит отрезок прямой, соединяющий центр сферы с полюсом полусферы, в отношении (т.е. лежит на расстоянии от центра к полюсу). Центроид полой полусферы (т.е. половины полой сферы) делит отрезок прямой, соединяющий центр сферы с полюсом полусферы, пополам. ${\displaystyle 3:5}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{8}}}$

Смотрите также

• Чебышевский центр
• Круговое среднее
• Фреше средний
• алгоритм k -средних
• Список центроидов
• Медоид
• Теорема Паппуса о центроиде

Примечания

1. Проттер и Морри (1970, стр. 520)
2. Проттер и Морри (1970, стр. 521)
3. Философские труды Лондонского королевского общества в Google Books
4. Корт, Натан Альтшиллер (1960). «Заметки о центроиде». Учитель математики . 53 (1): 33–35. doi :10.5951/MT.53.1.0033. JSTOR  27956057.
5. Кнорр, В. (1978). «Утерянный трактат Архимеда о центрах тяжести твердых тел». The Mathematical Intelligencer . 1 (2): 102–109. doi :10.1007/BF03023072. ISSN  0343-6993. S2CID  122021219.
6. Altshiller-Court (1925, стр. 66)
7. Проттер и Морри (1970, стр. 526)
8. Проттер и Морри (1970, стр. 527)
9. Проттер и Морри (1970, стр. 528)
10. Ларсон (1998, стр. 458–460)
11. Сангвин
12. Альтшиллер-Корт (1925, стр. 65)
13. Кей (1969, стр. 184)
14. Энциклопедия треугольников Кларка Кимберлинга "Энциклопедия центров треугольников". Архивировано из оригинала 2012-04-19 . Получено 2012-06-02 .
15. Джонсон (2007, стр. 173)
16. Альтшиллер-Корт (1925, стр. 101)
17. Кей (1969, стр. 18, 189, 225–226)
18. Боттомли, Генри. "Медианы и биссектрисы треугольника" . Получено 27 сентября 2013 г.
19. Altshiller-Court (1925, стр. 70–71)
20. Кимберлинг, Кларк (201). «Трилинейные неравенства расстояний для точки симедианы, центроида и других центров треугольников». Forum Geometricorum . 10 : 135–139.
21. Джеральд А. Эдгар, Дэниел Х. Ульман и Дуглас Б. Уэст (2018) Проблемы и решения, The American Mathematical Monthly, 125:1, 81-89, DOI: 10.1080/00029890.2018.1397465
22. Бурк (1997)
23. Лёнг, Кам-тим; и Суен, Сук-нам; «Векторы, матрицы и геометрия», Hong Kong University Press, 1994, стр. 53–54

Ссылки

• Альтшиллер-Корт, Натан (1925), Геометрия колледжа: Введение в современную геометрию треугольника и окружности (2-е изд.), Нью-Йорк: Barnes & Noble , LCCN  52013504
• Бурк, Пол (июль 1997 г.). «Вычисление площади и центра масс многоугольника».
• Джонсон, Роджер А. (2007), Продвинутая евклидова геометрия , Довер
• Кей, Дэвид С. (1969), College Geometry , Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон , LCCN  69012075
• Ларсон, Роланд Э.; Хостетлер, Роберт П.; Эдвардс, Брюс Х. (1998), Исчисление одной переменной (6-е изд.), Houghton Mifflin Company
• Проттер, Мюррей Х.; Моррей, Чарльз Б. младший (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2-е изд.), Reading: Addison-Wesley , LCCN  76087042
• Сангвин, CJ, Определение местоположения центра масс механическими средствами (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 13 ноября 2013 г.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Геометрический центроид». MathWorld .
• Энциклопедия центров треугольников Кларка Кимберлинга. Центроид индексируется как X(2).
• Характерное свойство центроида в точке разрезания узла
• Интерактивная анимация, демонстрирующая центроид треугольника и построение центроида с помощью циркуля и линейки
• Экспериментальное нахождение медиан и центра тяжести треугольника в Dynamic Geometry Sketches, интерактивном динамическом геометрическом эскизе с использованием гравитационного симулятора Золушки.