Равнополность (геометрия)

Свойство отрезков, имеющих одинаковую длину и одинаковое направление

В евклидовой геометрии равностепенность — это бинарное отношение между направленными отрезками . Два отрезка называются равностепенными, если они имеют одинаковую длину и направление. Два равностепенных отрезка параллельны , но не обязательно лежат на одной прямой или перекрываются , и наоборот. Например, отрезок AB , идущий от точки A до точки B , имеет противоположное направление отрезку BA ; таким образом, AB и BA не равностепенны .

Свойство параллелограмма

Если отрезки AB и CD равносильны, то отрезки AC и BD также равносильны.

Свойством евклидовых пространств является свойство параллелограмма векторов: если два отрезка равновелики, то они образуют две стороны параллелограмма :

Если заданный вектор находится между a и b , c и d , то вектор, который находится между a и c, тот же самый, что и вектор, который находится между b и d .

—  Бертран Рассел , «Принципы математики» , стр. 432

История

Символ равносильности

Концепция равносильных отрезков была предложена Джусто Беллавитисом в 1835 году. Впоследствии термин вектор был принят для класса равносильных отрезков. Использование Беллавитисом идеи отношения для сравнения различных, но подобных объектов стало общепринятым математическим приемом, особенно при использовании отношений эквивалентности . Беллавитис использовал специальную нотацию для равносильности отрезков AB и CD :

${\displaystyle AB\bumpeq CD.}$

Следующие отрывки, переведенные Майклом Дж. Кроу , показывают, с каким предвкушением Беллавитис относился к векторным концепциям:

Равнополности продолжают сохраняться, когда вместо линий в них подставляются другие линии, которые им соответственно равнополочны, как бы они ни располагались в пространстве. Из этого можно понять, как можно суммировать любое число и любой вид линий , и что в каком бы порядке ни были взяты эти линии, будет получена та же самая равнополочность...

В равносильностях, как и в уравнениях, линию можно переносить с одной стороны на другую, при условии изменения знака...

Таким образом, противоположно направленные сегменты являются отрицаниями друг друга: ${\displaystyle AB+BA\bumpeq 0.}$

Равноправие , где n обозначает положительное число, указывает на то, что AB параллелен CD и имеет то же направление , а их длины связаны соотношением, выражаемым формулой AB = n.CD. ^[1] ${\displaystyle AB\bumpeq n.CD,}$

Отрезок от А до В является связанным вектором , тогда как класс равносильных ему отрезков является свободным вектором , выражаясь языком евклидовых векторов .

Сферическая геометрия

Геометрическая равносильность также используется на сфере:

Чтобы оценить метод Гамильтона , давайте сначала вспомним гораздо более простой случай абелевой группы переносов в евклидовом трехмерном пространстве. Каждый перенос можно представить как вектор в пространстве, причем важны только направление и величина, а местоположение не имеет значения. Композиция двух переносов задается правилом параллелограмма «голова к хвосту» сложения векторов; и взятие обратного равносильно изменению направления. В теории поворотов Гамильтона мы имеем обобщение такой картины с абелевой группы переносов на неабелеву SU(2) . Вместо векторов в пространстве мы имеем дело с направленными дугами большого круга длиной < π на единичной сфере S ² в евклидовом трехмерном пространстве. Две такие дуги считаются эквивалентными, если, скользя одну по ее большому кругу, можно сделать так, чтобы она совпала с другой. ^[2]

На большом круге сферы две направленные дуги окружности являются равносильными, когда они совпадают по направлению и длине дуги. Класс эквивалентности таких дуг связан с кватернионным версором

${\displaystyle \exp(ar)=\cos a+r\sin a,}$где a — длина дуги, а r определяет плоскость большого круга по перпендикулярности.

Абстракция

Свойства классов эквивалентности равнозначных сегментов можно абстрагировать для определения аффинного пространства :

Если A — множество точек, а V — векторное пространство , то ( A, V ) — аффинное пространство при условии, что для любых двух точек a, b в A существует вектор в V , и для любых a в A и v в V существует b в A, такой что и для любых трех точек в A существует векторное уравнение ${\displaystyle {\overrightarrow {ab}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {ab}}=v,}$

${\displaystyle {\overrightarrow {ab}}+{\overrightarrow {bc}}={\overrightarrow {ac}}.}$

Очевидно, это развитие зависит от предыдущего введения в абстрактные векторные пространства, в отличие от введения векторов через классы эквивалентности направленных отрезков. ^[3]

Ссылки

1. Майкл Дж. Кроу (1967) История векторного анализа , «Джусто Беллавитис и его исчисление равнополномочий», стр. 52–4, Издательство Университета Нотр-Дам
2. Н. Мукунда , Раджиа Саймон и Джордж Сударшан (1989) «Теория винтов: новое геометрическое представление для группы SU(1,1), Журнал математической физики 30(5): 1000–1006 MR 0992568
3. Михаил Постников (1982) Лекции по геометрии, семестр I, аналитическая геометрия, страницы 45 и 46, через интернет-архив

• Джусто Беллавитис (1835) «Saggio di applicazioni di un nuovo metodo di Geometria Analitica (Calcolo delleequipollenze)», Annali delle Scienze del Regno Lombardo-Veneto, Padova 5: 244–59.
• Джусто Беллавитис (1854 г.) Sposizione del Metodo della Equipollenze, ссылка из Google Books .

• Шарль-Анж Лесан (1874 г.): французский перевод с дополнениями Беллавитиса (1854 г.) Exposition de la méthode desequipollences, ссылка из Google Books .

• Джусто Беллавитис (1858) Calcolo dei Quaternioni di WR Hamilton e sua Relazione col Metodo delle Equipollenze, ссылка с HathiTrust.
• Шарль-Анж Лесан (1887) Теория и приложения равенства, Готье-Виллар, ссылка из коллекции исторической математики Мичиганского университета .
• Лена Л. Северанс (1930) Теория равнополочности; Метод аналитической геометрии сигнатуры Беллавитиса, ссылка из HathiTrust.