Инцентр

Центр вписанной окружности треугольника

Точка пересечения биссектрис трех углов треугольника ABC является инцентром (обозначается I). Вписанная окружность (центр которой I) касается каждой стороны треугольника.

В геометрии инцентр треугольника — это центр треугольника , точка, определенная для любого треугольника способом, который не зависит от размещения или масштаба треугольника. Инцентр может быть эквивалентно определен как точка пересечения внутренних биссектрис треугольника , как точка, равноудаленная от сторон треугольника, как точка соединения срединной оси и самой внутренней точки преобразования Grassfire треугольника, и как центральная точка вписанной окружности треугольника.

Вместе с центроидом , центром окружности и ортоцентром это один из четырех центров треугольника, известных древним грекам, и единственный из четырех, который в общем случае не лежит на прямой Эйлера . Это первый перечисленный центр, X(1), в «Энциклопедии центров треугольников » Кларка Кимберлинга и единичный элемент мультипликативной группы центров треугольников. ^{[1] [2]}

Для многоугольников с более чем тремя сторонами инцентр существует только для касательных многоугольников : тех, которые имеют вписанную окружность, касательную к каждой стороне многоугольника. В этом случае инцентр является центром этой окружности и одинаково удален от всех сторон.

Определение и построение

Это теорема в евклидовой геометрии , что три внутренние биссектрисы угла треугольника пересекаются в одной точке. В « Началах » Евклида , предложение 4 из книги IV доказывает, что эта точка также является центром вписанной окружности треугольника. Сама вписанная окружность может быть построена путем опускания перпендикуляра из вписанного центра на одну из сторон треугольника и рисования окружности с этим сегментом в качестве ее радиуса. ^[3]

Инцентр лежит на равном расстоянии от трех отрезков прямых, образующих стороны треугольника, а также от трех прямых, содержащих эти отрезки. Это единственная точка, равноудаленная от отрезков прямых, но есть еще три точки, равноудаленные от линий, вневписанные, которые образуют центры вневписанных окружностей данного треугольника. Инцентр и вневписанные вместе образуют ортоцентрическую систему . ^[4]

Срединная ось многоугольника — это множество точек, ближайший сосед которых на многоугольнике не является уникальным: эти точки равноудалены от двух или более сторон многоугольника. Одним из методов вычисления срединных осей является использование преобразования Grassfire , в котором формируется непрерывная последовательность кривых смещения , каждая на некотором фиксированном расстоянии от многоугольника; срединная ось вычерчивается вершинами этих кривых. В случае треугольника срединная ось состоит из трех сегментов биссектрис угла, соединяющих вершины треугольника с инцентром, который является уникальной точкой на самой внутренней кривой смещения. ^[5] Прямой скелет , определенный аналогичным образом из другого типа кривой смещения, совпадает со срединной осью для выпуклых многоугольников и, таким образом, также имеет свое соединение во вписанном центре. ^[6]

Доказательства

Коэффициент доказательства

Пусть биссектрисы и пересекаются в точке , а биссектрисы и пересекаются в точке , а и пересекаются в точке . ${\displaystyle \angle {BAC}}$ ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \angle {ABC}}$ ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\overline {AD}}}$ ${\displaystyle {\overline {BE}}}$ ${\displaystyle {I}}$

И давайте встретимся в . ${\displaystyle {\overline {CI}}}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle {F}}$

Затем нам нужно доказать, что это бисекция . ${\displaystyle {\overline {CI}}}$ ${\displaystyle \angle {ACB}}$

В , , по теореме о биссектрисе угла . ${\displaystyle \triangle {ACF}}$ ${\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {AF}}={\overline {CI}}:{\overline {IF}}}$

В , . ${\displaystyle \triangle {BCF}}$ ${\displaystyle {\overline {BC}}:{\overline {BF}}={\overline {CI}}:{\overline {IF}}}$

Следовательно, , так что . ${\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {AF}}={\overline {BC}}:{\overline {BF}}}$ ${\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {BC}}={\overline {AF}}:{\overline {BF}}}$

То же самое касается и деления пополам . ${\displaystyle {\overline {CF}}}$ ${\displaystyle \angle {ACB}}$

Перпендикулярное доказательство

Прямая, которая является биссектрисой угла, равноудалена от обеих своих линий при измерении перпендикуляром. В точке пересечения двух биссектрис эта точка перпендикулярно равноудалена от линий, образующих конечный угол (потому что они находятся на одинаковом расстоянии от противоположной стороны этого угла), и, следовательно, лежит на его биссектрисе.

Отношение к сторонам и вершинам треугольника

Трилинейные координаты

Трилинейные координаты для точки в треугольнике дают отношение расстояний к сторонам треугольника. Трилинейные координаты для инцентра задаются как ^[2]

${\displaystyle \ 1:1:1.}$

Совокупности центров треугольников можно придать структуру группы при покоординатном умножении трилинейных координат; в этой группе инцентр образует единичный элемент . ^[2]

Барицентрические координаты

Барицентрические координаты для точки в треугольнике дают веса, такие что точка является средневзвешенным значением положений вершин треугольника. Барицентрические координаты для инцентра задаются как

${\displaystyle \ a:b:c}$

где , , и - длины сторон треугольника, или, что эквивалентно (используя теорему синусов ), ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle \sin(A):\sin(B):\sin(C)}$

где , , и — углы при трех вершинах. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

Декартовы координаты

Декартовы координаты инцентра представляют собой средневзвешенное значение координат трех вершин с использованием длин сторон треугольника относительно периметра, т. е. с использованием барицентрических координат, приведенных выше, нормализованных для суммы к единице, в качестве весов. (Веса положительны, поэтому инцентр лежит внутри треугольника, как указано выше.) Если три вершины расположены в точках , , и , а стороны, противоположные этим вершинам, имеют соответствующие длины , , и , то инцентр находится в точке ${\displaystyle (x_{A},y_{A})}$ ${\displaystyle (x_{B},y_{B})}$ ${\displaystyle (x_{C},y_{C})}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {ax_{A}+bx_{B}+cx_{C}}{a+b+c}},{\frac {ay_{A}+by_{B}+cy_{C}}{a+b+c}}{\bigg )}={\frac {a(x_{A},y_{A})+b(x_{B},y_{B})+c(x_{C},y_{C})}{a+b+c}}.}$

Расстояния до вершин

Обозначим инцентр треугольника ABC как I , тогда расстояния от инцентра до вершин в сочетании с длинами сторон треугольника подчиняются уравнению ^[7]

${\displaystyle {\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1.}$

Кроме того, ^[8]

${\displaystyle IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2},}$

где R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника соответственно.

Связанные конструкции

Другие центры

Расстояние от инцентра до центроида составляет менее одной трети длины самой длинной медианы треугольника. ^[9]

По теореме Эйлера в геометрии квадрат расстояния от инцентра I до центра описанной окружности O определяется по формуле ^{[10] [11]}

${\displaystyle OI^{2}=R(R-2r),}$

где R и r — радиус описанной и вписанной окружности соответственно; таким образом, радиус описанной окружности по крайней мере вдвое больше радиуса вписанной окружности, с равенством только в равностороннем случае. ^{[12] : стр. 198}

Расстояние от инцентра до центра N окружности девяти точек равно ^[11]

${\displaystyle IN={\frac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {1}{2}}R.}$

Квадрат расстояния от инцентра до ортоцентра H равен ^[13]

${\displaystyle IH^{2}=2r^{2}-4R^{2}\cos A\cos B\cos C.}$

Неравенство включает в себя:

${\displaystyle IG<HG,\quad IH<HG,\quad IG<IO,\quad 2IN<IO.}$

Инцентр — это точка Нагеля срединного треугольника (треугольника, вершины которого являются серединами сторон) и, следовательно, лежит внутри этого треугольника. Наоборот, точка Нагеля любого треугольника — это инцентр его антикомплементарного треугольника . ^[14]

Инцентр должен лежать внутри диска, диаметр которого соединяет центроид G и ортоцентр H ( ортоцентроидный диск ), но он не может совпадать с девятиточечным центром , положение которого зафиксировано на 1/4 пути вдоль диаметра (ближе к G ). Любая другая точка внутри ортоцентроидного диска является инцентром уникального треугольника. ^[15]

линия Эйлера

Линия Эйлера треугольника — это линия, проходящая через его описанный центр , центроид и ортоцентр , среди прочих точек. Центр инцентра обычно не лежит на линии Эйлера; ^[16] он находится на линии Эйлера только для равнобедренных треугольников , ^[17] для которых линия Эйлера совпадает с осью симметрии треугольника и содержит все центры треугольников.

Обозначая расстояние от инцентра до прямой Эйлера как d , длину самой длинной медианы как v , длину самой длинной стороны как u , радиус описанной окружности как R , длину отрезка прямой Эйлера от ортоцентра до центра описанной окружности как e и полупериметр как s , справедливы следующие неравенства: ^[18]

${\displaystyle {\frac {d}{s}}<{\frac {d}{u}}<{\frac {d}{v}}<{\frac {1}{3}};}$

${\displaystyle d<{\frac {1}{3}}e;}$

${\displaystyle d<{\frac {1}{2}}R.}$

Разделители площади и периметра

Любая линия, проходящая через треугольник, которая делит и площадь треугольника, и его периметр пополам, проходит через инцентр треугольника; каждая линия, проходящая через инцентр, которая делит площадь пополам, также делит периметр пополам. Для любого заданного треугольника существует одна, две или три таких линии. ^[19]

Относительные расстояния от биссектрисы угла

Пусть X — переменная точка на внутренней биссектрисе угла A. Тогда X = I (инцентр) максимизирует или минимизирует отношение вдоль этой биссектрисы угла. ^{[20] [21]} ${\displaystyle {\tfrac {BX}{CX}}}$

Ссылки

1. Кимберлинг, Кларк (1994), «Центральные точки и центральные линии в плоскости треугольника», Mathematics Magazine , 67 (3): 163–187, doi :10.1080/0025570X.1994.11996210, JSTOR  2690608, MR  1573021.
2. Энциклопедия треугольных центров Архивировано 19 апреля 2012 г. на Wayback Machine , дата обращения 28 октября 2014 г.
3. «Начала » Евклида , Книга IV, Предложение 4: Вписать окружность в данный треугольник. Дэвид Джойс, Университет Кларка, получено 28 октября 2014 г.
4. Джонсон, РА (1929), Современная геометрия , Бостон: Houghton Mifflin, стр. 182.
5. Блум, Гарри (1967), «Преобразование для извлечения новых дескрипторов формы», в Wathen-Dunn, Weiant (ред.), Модели восприятия речи и визуальной формы (PDF) , Кембридж: MIT Press, стр. 362–380, В треугольнике три угла начинают распространяться и исчезают в центре наибольшего вписанного круга.
6. Айххольцер, Освин; Ауренхаммер, Франц ; Альбертс, Дэвид; Гертнер, Бернд (1995), «Новый тип скелета для многоугольников», Journal of Universal Computer Science , 1 (12): 752–761, doi : 10.1007/978-3-642-80350-5_65, MR  1392429.
7. Аллер, Патрисия Р.; Чжоу, Цзюньминь; Яо, Хайшэнь (март 2012 г.), «Доказательство тождества эллипса девятнадцатого века», Mathematical Gazette , 96 (535): 161–165, doi :10.1017/S0025557200004277.
8. Альтшиллер-Корт, Натан (1980), College Geometry , Dover Publications. №84, стр. 121.
9. Францсен, Уильям Н. (2011), «Расстояние от инцентра до линии Эйлера» (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 231–236, MR  2877263, архивировано из оригинала (PDF) 2020-12-05 , извлечено 2014-10-28. Лемма 3, стр. 233.
10. Джонсон (1929), стр. 186
11. Franzsen (2011), стр. 232.
12. Драгутин Свртан и Дарко Велян, «Неевклидовы версии некоторых классических неравенств треугольника», Forum Geometricorum 12 (2012), 197–209. http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217index.html Архивировано 28 октября 2019 г. на Wayback Machine
13. Мари-Николь Гра, «Расстояния между центром описанной окружности треугольника касания и классическими центрами» Форум Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html Архивировано 28.04.2021 на Wayback Machine
14. Францсен (2011), Лемма 1, с. 233.
15. Францсен (2011), стр. 232.
16. Шаттшнайдер, Дорис ; Кинг, Джеймс (1997), Геометрия включена: динамическое программное обеспечение в обучении, преподавании и исследованиях, Математическая ассоциация Америки, стр. 3–4, ISBN 978-0883850992
17. Эдмондс, Аллан Л.; Хаджа, Моваффак; Мартини, Хорст (2008), "Ортоцентрические симплексы и бирегулярность", Результаты по математике , 52 (1–2): 41–50, doi :10.1007/s00025-008-0294-4, MR  2430410, S2CID  121434528, Хорошо известно, что инцентр евклидова треугольника лежит на его прямой Эйлера, соединяющей центроид и центр описанной окружности, тогда и только тогда, когда треугольник равнобедренный..
18. Францсен (2011), стр. 232–234.
19. Кодокостас, Димитриос (апрель 2010 г.), «Треугольные уравнители», Mathematics Magazine , 83 (2): 141–146, doi :10.4169/002557010X482916, S2CID  218541138.
20. Арье Бялостоцки и Дора Бялостоцки, «Инцентр и эксцентр как решения экстремальной задачи», Forum Geometricorum 11 (2011), 9-12. http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201102index.html
21. Хаджа, Моваффак, Экстремальные свойства инцентров и вневписанных окружностей треугольника", Mathematical Gazette 96, июль 2012 г., 315-317.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Инцентр». Математический мир .