Континуум-гипотеза

Предложение в математической логике

В математике , а именно в теории множеств , континуум-гипотеза (сокращенно CH ) — это гипотеза о возможных размерах бесконечных множеств . Она гласит:

«Не существует множества, мощность которого строго находится между мощностью целых и действительных чисел ».

Или эквивалентно:

«Любое подмножество действительных чисел либо конечно, либо счетно бесконечно, либо имеет мощность действительных чисел».

В теории множеств Цермело–Френкеля с аксиомой выбора (ZFC) это эквивалентно следующему уравнению в числах алеф : , или даже короче с числами бета : . ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$ ${\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{1}}$

Гипотеза континуума была выдвинута Георгом Кантором в 1878 году ^[1] , и установление ее истинности или ложности является первой из 23 проблем Гильберта, представленных в 1900 году. Ответ на эту проблему не зависит от ZFC, так что либо гипотеза континуума, либо ее отрицание могут быть добавлены в качестве аксиомы к теории множеств ZFC, при этом полученная теория будет непротиворечивой тогда и только тогда, когда ZFC непротиворечива. Эта независимость была доказана в 1963 году Полом Коэном , дополнив более раннюю работу Курта Гёделя в 1940 году. ^[2]

Название гипотезы происходит от термина «континуум» для действительных чисел.

История

Кантор считал, что гипотеза континуума верна, и в течение многих лет тщетно пытался доказать ее. ^{[3] Она стала первой в} списке важных открытых вопросов Давида Гильберта , представленном на Международном конгрессе математиков в 1900 году в Париже. Аксиоматическая теория множеств на тот момент еще не была сформулирована. Курт Гёдель доказал в 1940 году, что отрицание гипотезы континуума, т. е. существование множества с промежуточной мощностью, не может быть доказано в стандартной теории множеств. ^[2] Вторая половина независимости гипотезы континуума – т. е. недоказуемость несуществования множества промежуточного размера – была доказана в 1963 году Полом Коэном . ^[4]

Мощность бесконечных множеств

Говорят, что два множества имеют одинаковую мощность или кардинальное число , если между ними существует биекция (соответствие один к одному). Интуитивно, для двух множеств S и T иметь одинаковую мощность означает, что можно «соединять» элементы S с элементами T таким образом, что каждый элемент S будет соединён ровно с одним элементом T и наоборот. Следовательно, множество {банан, яблоко, груша} имеет ту же мощность, что и {жёлтый, красный, зелёный}.

С бесконечными множествами, такими как множество целых чисел или рациональных чисел , существование биекции между двумя множествами становится более сложным для демонстрации. Рациональные числа, по-видимому, образуют контрпример к гипотезе континуума: целые числа образуют собственное подмножество рациональных чисел, которые сами образуют собственное подмножество действительных чисел, поэтому интуитивно понятно, что рациональных чисел больше, чем целых, и действительных чисел больше, чем рациональных. Однако этот интуитивный анализ несовершенен; он не учитывает должным образом тот факт, что все три множества бесконечны . Оказывается, рациональные числа на самом деле могут быть помещены во взаимно-однозначное соответствие с целыми числами, и, следовательно, множество рациональных чисел имеет тот же размер ( мощность ), что и множество целых чисел: они оба являются счетными множествами .

Кантор дал два доказательства того, что мощность множества целых чисел строго меньше мощности множества действительных чисел (см. первое доказательство несчетности Кантора и диагональный аргумент Кантора ). Однако его доказательства не дают никаких указаний на то, в какой степени мощность целых чисел меньше мощности действительных чисел. Кантор предложил континуум-гипотезу как возможное решение этого вопроса.

Континуум-гипотеза утверждает, что множество действительных чисел имеет минимально возможную мощность, которая больше мощности множества целых чисел. То есть, каждое множество S действительных чисел может быть либо отображено один к одному в целые числа, либо действительные числа могут быть отображены один к одному в S. Поскольку действительные числа равночисленны с множеством целых чисел, то есть , континуум-гипотезу можно переформулировать следующим образом: ${\displaystyle |\mathbb {R} |=2^{\aleph _{0}}}$

Гипотеза континуума  —  . ${\displaystyle \nexists S\colon \aleph _{0}<|S|<2^{\aleph _{0}}}$

Предполагая аксиому выбора , существует единственное наименьшее кардинальное число, большее , а гипотеза континуума в свою очередь эквивалентна равенству . ^[5] ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$

Независимость от ZFC

Независимость континуум-гипотезы (CH) от теории множеств Цермело–Френкеля (ZF) следует из совместной работы Курта Гёделя и Пола Коэна .

Гёдель ^{[6] [2]} показал, что CH не может быть опровергнут из ZF, даже если принята аксиома выбора (AC) (что делает ZFC). Доказательство Гёделя показывает, что CH и AC оба выполняются в конструируемой вселенной L, внутренней модели теории множеств ZF, предполагающей только аксиомы ZF. Существование внутренней модели ZF, в которой выполняются дополнительные аксиомы, показывает, что дополнительные аксиомы согласуются с ZF, при условии, что само ZF является непротиворечивым. Последнее условие не может быть доказано в самом ZF из-за теорем Гёделя о неполноте , но широко распространено мнение, что оно является истинным и может быть доказано в более сильных теориях множеств.

Коэн ^{[4] [7]} показал, что CH не может быть доказано из аксиом ZFC, завершив общее доказательство независимости. Чтобы доказать свой результат, Коэн разработал метод принуждения , который стал стандартным инструментом в теории множеств. По сути, этот метод начинается с модели ZF, в которой CH выполняется, и строит другую модель, которая содержит больше множеств, чем исходная, таким образом, что CH не выполняется в новой модели. В 1966 году за свое доказательство Коэн был награжден медалью Филдса .

Описанное выше доказательство независимости показывает, что CH не зависит от ZFC. Дальнейшие исследования показали, что CH не зависит от всех известных больших кардинальных аксиом в контексте ZFC. ^[8] Более того, было показано, что мощность континуума может быть любой кардинальной, совместимой с теоремой Кёнига . Результат Соловея, доказанный вскоре после результата Коэна о независимости гипотезы континуума, показывает, что в любой модели ZFC, если является кардинальной несчетной конфинальностью , то существует принудительное расширение, в котором . Однако, согласно теореме Кёнига, несовместимо предполагать является или или любой кардинальный с конфинальностью . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\kappa }$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ ${\displaystyle \aleph _{\omega _{1}+\omega }}$ ${\displaystyle \omega }$

Гипотеза континуума тесно связана со многими утверждениями в анализе , топологии точечных множеств и теории меры . В результате ее независимости, многие существенные гипотезы в этих областях впоследствии также оказались независимыми.

Независимость от ZFC означает, что доказать или опровергнуть CH в ZFC невозможно. Однако отрицательные результаты Гёделя и Коэна не являются общепринятыми как исключающие всякий интерес к гипотезе континуума. Гипотеза континуума остается активной темой исследований; см. Woodin ^{[9] [10]} и Peter Koellner ^[11] для обзора текущего статуса исследований.

Гипотеза континуума и аксиома выбора были среди первых подлинно математических утверждений, для которых было показано, что они независимы от теории множеств ZF. Хотя существование некоторых утверждений, независимых от ZFC, было известно уже более двух десятилетий назад: например, при условии хороших свойств обоснованности и непротиворечивости ZFC, теоремы Гёделя о неполноте , опубликованные в 1931 году, устанавливают, что существует формальное утверждение (одно для каждой подходящей схемы нумерации Гёделя ), выражающее непротиворечивость ZFC, которое также не зависит от нее. Последний результат о независимости действительно справедлив для многих теорий.

Аргументы за и против гипотезы континуума

Гёдель считал, что CH ложно, и что его доказательство того, что CH согласуется с ZFC, показывает лишь, что аксиомы Цермело–Френкеля неадекватно характеризуют вселенную множеств. Гёдель был платоником и поэтому не имел проблем с утверждением истинности или ложности утверждений независимо от их доказуемости. Коэн, хотя и был формалистом , ^[12] также склонялся к отрицанию CH.

Исторически математики, выступавшие за «богатую» и «большую» вселенную множеств, выступали против CH, в то время как те, кто выступал за «аккуратную» и «управляемую» вселенную, выступали за CH. Параллельные аргументы были выдвинуты за и против аксиомы конструктивности , которая подразумевает CH. Совсем недавно Мэтью Форман указал, что онтологический максимализм на самом деле может быть использован для аргументации в пользу CH, потому что среди моделей, имеющих одинаковые вещественные числа, модели с «большим» набором вещественных чисел имеют больше шансов удовлетворить CH. ^[13]

Другая точка зрения заключается в том, что концепция множества недостаточно конкретна, чтобы определить, является ли CH истинным или ложным. Эта точка зрения была выдвинута еще в 1923 году Скулемом , еще до первой теоремы Гёделя о неполноте. Скулем рассуждал на основе того, что сейчас известно как парадокс Скулема , и позднее это было подкреплено независимостью CH от аксиом ZFC, поскольку этих аксиом достаточно для установления элементарных свойств множеств и мощностей. Чтобы возразить против этой точки зрения, было бы достаточно продемонстрировать новые аксиомы, которые поддерживаются интуицией и разрешают CH в том или ином направлении. Хотя аксиома конструктивности разрешает CH, она, как правило, не считается интуитивно истинной, так же как CH, как правило, не считается ложной. ^[14]

Было предложено по крайней мере две другие аксиомы, имеющие последствия для гипотезы континуума, хотя эти аксиомы в настоящее время не нашли широкого признания в математическом сообществе. В 1986 году Крис Фрейлинг ^[15] представил аргумент против CH, показав, что отрицание CH эквивалентно аксиоме симметрии Фрейлинга , утверждению, полученному путем рассуждения из конкретных интуиций о вероятностях . Фрейлинг считает, что эта аксиома «интуитивно ясна» ^[15], но другие с этим не согласны. ^{[16] [17]}

Сложный аргумент против CH, разработанный У. Хью Вудином, привлек значительное внимание с 2000 года. ^{[9] [10]} Форман не отвергает аргумент Вудина полностью, но призывает к осторожности. ^[18] Вудин предложил новую гипотезу, которую он назвал «(*)-аксиомой» или «аксиомой звезды». Аксиома звезды подразумевает, что , тем самым фальсифицируя CH. Аксиома звезды была подкреплена независимым доказательством от мая 2021 года, показывающим, что аксиому звезды можно вывести из вариации максимума Мартина . Однако Вудин заявил в 2010-х годах, что теперь он вместо этого считает, что CH истинна, основываясь на своей вере в свою новую гипотезу «окончательного L». ^{[19] [20]} ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle \aleph _{2}}$

Соломон Феферман утверждал, что CH не является определенной математической проблемой. ^[21] Он предложил теорию «определенности», используя полуинтуиционистскую подсистему ZF, которая принимает классическую логику для ограниченных квантификаторов, но использует интуиционистскую логику для неограниченных, и предположил, что предложение является математически «определенным», если полуинтуиционистская теория может доказать . Он предположил, что CH не является определенным согласно этому понятию, и предложил, что CH следует, следовательно, считать не имеющим истинностного значения. Питер Келлнер написал критический комментарий к статье Фефермана. ^[22] ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (\phi \lor \neg \phi )}$

Джоэл Дэвид Хэмкинс предлагает подход мультивселенной к теории множеств и утверждает, что «гипотеза континуума установлена ​​на основе мультивселенной с помощью наших обширных знаний о том, как она ведет себя в мультивселенной, и, как следствие, она больше не может быть установлена ​​так, как надеялись раньше». ^[23] В схожем ключе Сахарон Шелах писал, что он «не согласен с чисто платоновским взглядом на то, что интересные проблемы в теории множеств могут быть решены, что нам просто нужно открыть дополнительную аксиому. Моя мысленная картина такова, что у нас есть много возможных теорий множеств, все из которых соответствуют ZFC». ^[24]

Обобщенная гипотеза континуума

Обобщенная континуум-гипотеза (GCH) утверждает, что если мощность бесконечного множества лежит между мощностью бесконечного множества S и мощностью множества мощности S , то она имеет ту же мощность, что и S или . То есть, для любого бесконечного кардинала не существует кардинала такого , что . GCH эквивалентно: ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \lambda <\kappa <2^{\lambda }}$

${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}=2^{\aleph _{\alpha }}}$для каждого ординала ^[5] (иногда называемого гипотезой алеф Кантора ). ${\displaystyle \alpha }$

Числа Бета предоставляют альтернативную запись для этого условия: для каждого порядкового числа . Гипотеза континуума является частным случаем для порядкового числа . GCH впервые была предложена Филиппом Журденом . ^[25] О ранней истории GCH см. Мур. ^[26] ${\displaystyle \aleph _{\alpha }=\beth _{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =1}$

Подобно CH, GCH также независим от ZFC, но Серпинский доказал, что ZF + GCH подразумевает аксиому выбора (AC) (и, следовательно, отрицание аксиомы определенности , AD), поэтому выбор и GCH не являются независимыми в ZF; не существует моделей ZF, в которых GCH выполняется, а AC не выполняется. Чтобы доказать это, Серпинский показал, что GCH подразумевает, что каждая мощность n меньше некоторого числа алеф , и, таким образом, может быть упорядочена. Это делается путем демонстрации того, что n меньше , что меньше его собственного числа Хартогса — это использует равенство ; для полного доказательства см. Gillman. ^[27] ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}+n}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}+n}\,=\,2\cdot \,2^{\aleph _{0}+n}}$

Курт Гёдель показал, что GCH является следствием ZF + V=L (аксиомы, что каждое множество конструируемо относительно ординалов), и, следовательно, согласуется с ZFC. Поскольку GCH подразумевает CH, модель Коэна, в которой CH терпит неудачу, является моделью, в которой GCH терпит неудачу, и, таким образом, GCH не доказуемо из ZFC. У. Б. Истон использовал метод принуждения, разработанный Коэном, для доказательства теоремы Истона , которая показывает, что она согласуется с ZFC для произвольно больших кардиналов , чтобы не удовлетворять . Намного позже Форман и Вудин доказали, что (предполагая согласованность очень больших кардиналов) согласованно то, что выполняется для каждого бесконечного кардинала . Позже Вудин расширил это, показав согласованность для каждого . Карми Меримович ^[28] показала, что для каждого n  ≥ 1 с ZFC согласуется то, что для каждого κ, 2 ^κ является n -м преемником κ. С другой стороны, Ласло Патай ^[29] доказал, что если γ — ординал и для каждого бесконечного кардинала κ, 2 ^κ — γ-й последовавший за κ элемент, то γ конечен. ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}}$ ${\displaystyle 2^{\kappa }>\kappa ^{+}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle 2^{\kappa }=\kappa ^{++}}$ ${\displaystyle \kappa }$

Для любых бесконечных множеств A и B, если существует инъекция из A в B, то существует инъекция из подмножеств A в подмножества B. Таким образом, для любых бесконечных кардиналов A и B, . Если A и B конечны, выполняется более сильное неравенство. GCH подразумевает, что это строгое, более сильное неравенство выполняется как для бесконечных кардиналов, так и для конечных кардиналов. ${\displaystyle A<B\to 2^{A}\leq 2^{B}}$ ${\displaystyle A<B\to 2^{A}<2^{B}}$

Значение GCH для кардинального возведения в степень

Хотя обобщенная континуум-гипотеза относится непосредственно только к кардинальному возведению в степень с основанием 2, из нее можно вывести значения кардинального возведения в степень во всех случаях. GCH подразумевает, что для ординалов α и β : ^[30] ${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}}$

${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\beta +1}}$когда α ≤ β +1;

${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\alpha }}$когда β +1 < α и , где cf — операция конфинальности ; и ${\displaystyle \aleph _{\beta }<\operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })}$

${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\alpha +1}}$когда β +1 < α и . ${\displaystyle \aleph _{\beta }\geq \operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })}$

Первое равенство (при α ≤ β +1) следует из:

${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}\leq \aleph _{\beta +1}^{\aleph _{\beta }}=(2^{\aleph _{\beta }})^{\aleph _{\beta }}=2^{\aleph _{\beta }\cdot \aleph _{\beta }}=2^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\beta +1}}$, пока:

${\displaystyle \aleph _{\beta +1}=2^{\aleph _{\beta }}\leq \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}}$ ;

Третье равенство (при β +1 < α и ) следует из: ${\displaystyle \aleph _{\beta }\geq \operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })}$

${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}\geq \aleph _{\alpha }^{\operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })}>\aleph _{\alpha }}$, по теореме Кёнига , при этом:

${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}\leq \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\alpha }}\leq (2^{\aleph _{\alpha }})^{\aleph _{\alpha }}=2^{\aleph _{\alpha }\cdot \aleph _{\alpha }}=2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}}$

Смотрите также

• Абсолютная бесконечность
• Число Бет
• Мощность
• Ω-логика
• Вторая гипотеза континуума
• Проблема Ветцеля

Ссылки

1. Кантор, Георг (1878). «Эйн Бейтраг зур Маннигфальтигкеитслехре». Журнал для королевы и математики . 1878 (84): 242–258. doi : 10.1515/crll.1878.84.242 (неактивен с 1 ноября 2024 г.).{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of November 2024 (link)
2. Гёдель, Курт (1940). Согласованность гипотезы континуума . Princeton University Press.
3. Добен, Джозеф Уоррен (1990). Георг Кантор: Его математика и философия бесконечности . Princeton University Press. С. 134–137. ISBN 9780691024479.
4. Cohen, Paul J. (15 декабря 1963 г.). «Независимость гипотезы континуума, [часть I]». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 50 (6): 1143–1148. Bibcode :1963PNAS...50.1143C. doi : 10.1073/pnas.50.6.1143 . JSTOR  71858. PMC 221287 . PMID  16578557. 
5. Goldrei, Derek (1996). Классическая теория множеств . Chapman & Hall .
6. Гёдель, Курт (1938). «Непротиворечивость аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы». Труды Национальной академии наук . 24 (12): 556–557. Bibcode :1938PNAS...24..556G. doi : 10.1073/pnas.24.12.556 . PMC 1077160 . PMID  16577857. 
7. Коэн, Пол Дж. (15 января 1964 г.). «Независимость гипотезы континуума, [часть] II». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 51 (1): 105–110. Bibcode :1964PNAS...51..105C. doi : 10.1073/pnas.51.1.105 . JSTOR  72252. PMC 300611 . PMID  16591132. 
8. Феферман, Соломон (февраль 1999). «Нужны ли математике новые аксиомы?». American Mathematical Monthly . 106 (2): 99–111. CiteSeerX 10.1.1.37.295 . doi :10.2307/2589047. JSTOR  2589047. 
9. Woodin, W. Hugh (2001). "The Continuum Hypothesis, Part I" (PDF) . Notices of the AMS . 48 (6): 567–576. Архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-10.
10. Woodin, W. Hugh (2001). "The Continuum Hypothesis, Part II" (PDF) . Notices of the AMS . 48 (7): 681–690. Архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-10.
11. Кёльнер, Питер (2011). "Гипотеза континуума" (PDF) . Исследование границ независимости . Серия лекций Гарварда. Архивировано (PDF) из оригинала 2012-01-24.
12. Goodman, Nicolas D. (1979). "Mathematics as an objective science". The American Mathematical Monthly . 86 (7): 540–551. doi :10.2307/2320581. JSTOR  2320581. MR  0542765. Этот взгляд часто называют формализмом . Позиции, более или менее похожие на эту, можно найти у Haskell Curry [5], Abraham Robinson [17] и Paul Cohen [4].
13. Мэдди 1988, стр. 500.
14. Кунен, Кеннет (1980). Теория множеств: Введение в доказательства независимости . Амстердам, Нидерланды: Северная Голландия. стр. 171. ISBN 978-0-444-85401-8.
15. Freiling, Chris (1986). «Аксиомы симметрии: метание дротиков в прямую действительных чисел». Журнал символической логики . 51 (1). Ассоциация символической логики: 190–200. doi : 10.2307/2273955. JSTOR  2273955. S2CID  38174418.
16. Багемиль, Ф. (1989–1990). «Бросая дротик в аргумент Фрейлинга против гипотезы континуума». Real Analysis Exchange . 15 (1): 342–345. doi :10.2307/44152014. JSTOR  44152014. MR  1042552.
17. Хэмкинс, Джоэл Дэвид (январь 2015 г.). «Достижимо ли решение мечты о континуум-гипотезе?». Notre Dame Journal of Formal Logic . 56 (1). arXiv : 1203.4026 . doi : 10.1215/00294527-2835047.
18. Форман, Мэтт (2003). «Была ли гипотеза континуума решена?» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-10 . Получено 25 февраля 2006 .
19. Вулховер, Натали (15 июля 2021 г.). «Сколько существует чисел? Доказательство бесконечности приближает математику к ответу». Журнал Quanta . Получено 30 декабря 2021 г.
20. Риттберг, Колин Дж. (март 2015 г.). «Как Вудин изменил свое мнение: новые мысли о гипотезе континуума». Архив для History of Exact Sciences . 69 (2): 125–151. doi :10.1007/s00407-014-0142-8. S2CID  122205863.
21. Феферман, Соломон (2011). «Является ли гипотеза континуума определенной математической проблемой?» (PDF) . Исследование границ независимости . Серия лекций Гарварда. Архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-10.
22. Кёльнер, Питер (2011). "Феферман о неопределенности CH" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2012-03-19.
23. Хэмкинс, Джоэл Дэвид (2012). «Теоретико-множественная мультивселенная». Обзор символической логики . 5 (3): 416–449. arXiv : 1108.4223 . doi :10.1017/S1755020311000359. S2CID  33807508.
24. Shelah, Saharon (2003). «Логические сны». Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 40 (2): 203–228. arXiv : math/0211398 . doi :10.1090/s0273-0979-03-00981-9. S2CID  1510438.
25. Журден, Филип ЭБ (1905). «О трансфинитных кардинальных числах показательной формы». Philosophical Magazine . Серия 6. 9 (49): 42–56. doi :10.1080/14786440509463254.
26. Мур, Грегори Х. (2011). «Ранняя история обобщенной континуум-гипотезы: 1878–1938». Бюллетень символической логики . 17 (4): 489–532. doi :10.2178/bsl/1318855631. MR  2896574.
27. Гиллман, Леонард (2002). «Два классических сюрприза, касающихся аксиомы выбора и гипотезы континуума» (PDF) . American Mathematical Monthly . 109 (6): 544–553. doi :10.2307/2695444. JSTOR  2695444. Архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-10.
28. Меримович, Карми (2007). «Степень функции с фиксированным конечным зазором всюду». Журнал символической логики . 72 (2): 361–417. arXiv : math/0005179 . doi :10.2178/jsl/1185803615. MR  2320282. S2CID  15577499.
29. Патай, Л. (1930). «Untersuchungen über die א-reihe». Mathematische und Naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn (на немецком языке). 37 : 127–142.
30. Хайден, Сеймур; Кеннисон, Джон Ф. (1968). Теория множеств Цермело-Френкеля . Колумбус, Огайо: Чарльз Э. Меррилл. п. 147, упражнение 76.

• Мэдди, Пенелопа (июнь 1988 г.). «Вера в аксиомы, [часть I]». Журнал символической логики . 53 (2). Ассоциация символической логики: 481–511. doi :10.2307/2274520. JSTOR  2274520.

Источники

• В этой статье использованы материалы из Обобщенной гипотезы континуума на PlanetMath , которая лицензирована в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike . Архивировано 2017-02-08 на Wayback Machine

Дальнейшее чтение

• Коэн, Пол Джозеф (2008) [1966]. Теория множеств и гипотеза континуума . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46921-8.
• Дейлс, Х. Г.; Вудин, У. Х. (1987). Введение в независимость для аналитиков . Кембридж.
• Эндертон, Герберт (1977). Элементы теории множеств . Academic Press.
• Гёдель, К.: Что такое проблема континуума Кантора?, перепечатано в сборнике Бенацеррафа и Патнэма «Философия математики» , 2-е изд., Cambridge University Press, 1983. Краткое изложение аргументов Гёделя против CH.
• Мартин, Д. (1976). «Первая проблема Гильберта: гипотеза континуума», в «Математические разработки, возникающие из проблем Гильберта», Труды Симпозиумов по чистой математике XXVIII, Ф. Браудер, редактор. Американское математическое общество, 1976, стр. 81–92. ISBN 0-8218-1428-1 
• Макгоф, Нэнси. «Гипотеза континуума».
• Вулховер, Натали (15 июля 2021 г.). «Сколько существует чисел? Доказательство бесконечности приближает математику к ответу».

Внешние ссылки

Цитаты, связанные с гипотезой континуума в Викицитатнике

• Судзик, Мэтью и Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза континуума». Математический мир .