Нестандартное исчисление

Современное применение бесконечно малых

В математике нестандартное исчисление — это современное применение бесконечно малых в смысле нестандартного анализа к исчислению бесконечно малых . Он обеспечивает строгое обоснование некоторых аргументов в исчислении, которые ранее считались просто эвристическими .

Нестрогие вычисления с бесконечно малыми широко использовались до того, как Карл Вейерштрасс попытался заменить их (ε, δ)-определением предела , начиная с 1870-х годов. (См. историю исчисления .) В течение почти ста лет после этого математики, такие как Рихард Курант , считали бесконечно малые числа наивными, расплывчатыми или бессмысленными. ^[1]

Вопреки таким взглядам, Абрахам Робинсон показал в 1960 году, что бесконечно малые величины точны, ясны и значимы, основываясь на работах Эдвина Хьюитта и Ежи Лося . По словам Говарда Кейслера , «Робинсон решил проблему трехсотлетней давности, дав точное рассмотрение бесконечно малых величин. Достижение Робинсона, вероятно, будет считаться одним из главных математических достижений двадцатого века». ^[2]

История

История нестандартного исчисления началась с использования бесконечно малых величин, называемых в исчислении бесконечно малыми . Использование бесконечно малых можно найти в основах исчисления, независимо разработанных Готфридом Лейбницем и Исааком Ньютоном , начиная с 1660-х годов. Джон Уоллис усовершенствовал более ранние методы неделимых Кавальери и других, используя бесконечно малую величину, которую он обозначил в вычислениях площадей, подготавливая почву для интегрального исчисления . ^[3] Они опирались на работы таких математиков, как Пьер де Ферма , Исаак Барроу и Рене Декарт . ${\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}}$

В раннем исчислении использование бесконечно малых величин подвергалось критике со стороны ряда авторов, в первую очередь Мишеля Ролля и Бишопа Беркли в его книге «Аналитик» .

Некоторые математики, в том числе Маклорен и Даламбер , выступали за использование пределов. Огюстен Луи Коши разработал универсальный спектр основополагающих подходов, включая определение непрерывности в терминах бесконечно малых и (несколько неточный) прототип аргумента ε, δ при работе с дифференцированием. Карл Вейерштрасс формализовал концепцию предела в контексте (действительной) системы счисления без бесконечно малых. После работы Вейерштрасса в конечном итоге стало обычным основывать исчисление на аргументах ε, δ вместо бесконечно малых.

Этот подход, формализованный Вейерштрассом, стал известен как стандартное исчисление. После многих лет, когда подход бесконечно малых величин к исчислению вышел из употребления, кроме как в качестве вводного педагогического инструмента, использование бесконечно малых величин наконец получило строгую основу Абрахамом Робинсоном в 1960-х годах. Подход Робинсона называется нестандартным анализом , чтобы отличить его от стандартного использования пределов. В этом подходе использовался технический аппарат математической логики для создания теории гипердействительных чисел , которая интерпретирует бесконечно малые таким образом, который позволяет в стиле Лейбница развивать обычные правила исчисления. Альтернативный подход, разработанный Эдвардом Нельсоном , находит бесконечно малые числа на самой обычной вещественной прямой и включает в себя модификацию базовой установки путем расширения ZFC за счет введения нового унарного предиката «стандарт».

Мотивация

Чтобы вычислить производную функции в точке x , оба подхода согласуются с алгебраическими манипуляциями: ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle y=f(x)=x^{2}}$

${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}={\frac {2x\Delta x+(\Delta x)^{2}}{\Delta x}}=2x+\Delta x\approx 2x}$

Это становится вычислением производных с использованием гиперреальности, если интерпретируется как бесконечно малая величина, а символ « » означает отношение «бесконечно близко к». ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \approx }$

Чтобы сделать f' действительнозначной функцией, от последнего члена можно отказаться. В стандартном подходе, использующем только действительные числа, это достигается путем принятия предела, стремящегося к нулю. В гиперреальном подходе за величину принимается бесконечно малое, ненулевое число, которое ближе к 0, чем к любому ненулевому вещественному числу. Манипуляции, показанные выше, показывают, что это бесконечно близко к 2 x , поэтому производная f в x тогда равна 2 x . ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta y/\Delta x}$

Отбрасывание «термина ошибки» достигается применением стандартной функции части . Отказ от бесконечно малых погрешностей исторически считался парадоксальным некоторыми авторами, в первую очередь Джорджем Беркли .

Как только гипердействительная система счисления (континуум, обогащенный бесконечно малыми величинами) создана, можно успешно решить большую часть технических трудностей на базовом уровне. Таким образом, методы эпсилон-дельта , которые некоторые считают сутью анализа, могут быть реализованы раз и навсегда на базовом уровне, и студентов не нужно «одевать для выполнения многокванторных логических трюков под предлогом того, что их учат бесконечно малым» . исчисление », цитируя недавнее исследование. ^[4] Более конкретно, основные понятия исчисления, такие как непрерывность, производная и интеграл, могут быть определены с использованием бесконечно малых без ссылки на эпсилон и дельту (см. следующий раздел).

Учебник Кейслера

В книге Кейслера «Элементарное исчисление: бесконечно малый подход» непрерывность определяется на странице 125 в терминах бесконечно малых, исключая эпсилон и дельта-методы. Производная определена на стр. 45 с использованием бесконечно малых величин, а не с помощью эпсилон-дельта-подхода. Интеграл определен на стр. 183 в терминах бесконечно малых. Эпсилон, определения дельты представлены на стр. 282.

Определение производной

Гиперреальные объекты могут быть построены в рамках теории множеств Цермело-Френкеля , стандартной аксиоматизации теории множеств, используемой в других областях математики. Чтобы дать интуитивное представление о гиперреальном подходе, обратите внимание, что, наивно говоря, нестандартный анализ постулирует существование положительных чисел ε, которые бесконечно малы , а это означает, что ε меньше любого стандартного положительного действительного числа, но больше нуля. Каждое действительное число x окружено бесконечно малым «облаком» бесконечно близких к нему гипердействительных чисел. Чтобы определить производную f по стандартному действительному числу x в этом подходе, больше не нужен бесконечный предельный процесс, как в стандартном исчислении. Вместо этого устанавливается

${\displaystyle f'(x)=\mathrm {st} \left({\frac {f^{*}(x+\varepsilon )-f^{*}(x)}{\varepsilon }}\right),}$

где st — стандартная часть функции , дающая действительное число, бесконечно близкое к гиперреальному аргументу st , и является естественным продолжением гипердействительного числа. ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f}$

Непрерывность

Действительная функция f является непрерывной при стандартном действительном числе x, если для каждого гипервещественного x', бесконечно близкого к x , значение f ( x' ) также бесконечно близко к f ( x ). Это отражает определение непрерывности, данное Коши в его учебнике «Курс анализа» 1821 года , стр. 34.

Здесь, если быть точным, f следует заменить его естественным гиперреальным расширением, обычно обозначаемым f ^* (см. обсуждение принципа переноса в основной статье нестандартного анализа ).

Используя обозначение отношения бесконечно близкой близости, как указано выше, определение можно распространить на произвольные (стандартные или нестандартные) точки следующим образом: ${\displaystyle \approx }$

Функция f является микронепрерывной в точке x , если всякий раз , когда выполняется ${\displaystyle x'\approx x}$ ${\displaystyle f^{*}(x')\approx f^{*}(x)}$

Здесь предполагается, что точка x' находится в области (естественного расширения) f .

Приведенное выше требует меньшего количества кванторов, чем ( ε ,  δ )-определение, знакомое из стандартного элементарного исчисления:

f непрерывна в точке x , если для любого ε  > 0 существует δ  > 0 такое, что для любого x' , когда бы | х  -  х'  | <  δ , имеем | ж ( Икс ) -  ж ( Икс '  )| <  е .

Равномерная непрерывность

Функция f на интервале I является равномерно непрерывной , если ее естественное расширение f * в I * обладает следующим свойством (см. Кейслер, Основы исчисления бесконечно малых величин ('07), стр. 45):

для каждой пары гиперреалов x и y в I *, если то . ${\displaystyle x\approx y}$ ${\displaystyle f^{*}(x)\approx f^{*}(y)}$

В терминах микронепрерывности, определенной в предыдущем разделе, это можно сформулировать следующим образом: действительная функция является равномерно непрерывной, если ее естественное расширение f* микронепрерывно в каждой точке области определения f*.

Это определение имеет уменьшенную кванторную сложность по сравнению со стандартным (ε, δ)-определением . А именно, эпсилон-дельта-определение равномерной непрерывности требует четырех кванторов, тогда как бесконечно малое определение требует только двух кванторов. Оно имеет ту же кванторную сложность, что и определение равномерной непрерывности в терминах последовательностей в стандартном исчислении, которое, однако, не выражается на языке действительных чисел первого порядка .

Гиперреальное определение можно проиллюстрировать следующими тремя примерами.

Пример 1: функция f равномерно непрерывна на полуинтервале (0,1] тогда и только тогда, когда ее естественное расширение f* микронепрерывно (в смысле приведенной выше формулы) на каждой положительной бесконечно малой, помимо непрерывности в стандартных точках интервала.

Пример 2: функция f равномерно непрерывна на полуинтервале [0,∞) тогда и только тогда, когда она непрерывна в стандартных точках отрезка, и, кроме того, естественное расширение f * микронепрерывно на каждой положительной бесконечности гиперреальная точка.

Пример 3: аналогично, нарушение равномерной непрерывности функции возведения в квадрат

${\displaystyle x^{2}}$

связано с отсутствием микронепрерывности в одной бесконечной гиперреальной точке, см. ниже.

Относительно сложности кванторов Кевин Хьюстон сделал следующие замечания : ^[5]

Количество кванторов в математическом утверждении дает приблизительную оценку его сложности. Утверждения, включающие три или более квантификаторов, могут быть трудными для понимания. Это основная причина, по которой в анализе трудно понять строгие определения предела, сходимости, непрерывности и дифференцируемости, поскольку они имеют множество кванторов. На самом деле именно чередование и вызывает сложность. ${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle \exists }$

Андреас Бласс писал следующее:

Часто... нестандартное определение понятия проще, чем стандартное определение (как интуитивно проще, так и проще в техническом смысле, например, кванторы более низких типов или меньшее количество чередований кванторов). ^[6]

Компактность

Множество A компактно тогда и только тогда, когда его естественное расширение A* обладает следующим свойством: каждая точка из A* бесконечно близка к точке из A. Таким образом, открытый интервал (0,1) не компактен, поскольку его естественное расширение содержит положительные бесконечно малые числа, которые не бесконечно близки к любому положительному действительному числу.

Теорема Гейне – Кантора

Тот факт, что непрерывная функция на компактном интервале I обязательно равномерно непрерывна ( теорема Гейне–Кантора ), допускает краткое гипервещественное доказательство. Пусть x , y — гиперреалы в естественном расширении I * I. Поскольку I компактен, и st( x ) , и st( y ) принадлежат I. Если бы x и y были бесконечно близки, то по неравенству треугольника они имели бы одну и ту же стандартную часть.

${\displaystyle c=\operatorname {st} (x)=\operatorname {st} (y).}$

Поскольку функция предполагается непрерывной в точке c,

${\displaystyle f(x)\approx f(c)\approx f(y),}$

и, следовательно, f ( x ) и f ( y ) бесконечно близки, что доказывает равномерную непрерывность f .

Почему функция возведения в квадрат не является равномерно непрерывной?

Пусть f ( x ) = x ² определено на . Пусть — бесконечная гиперреальность. Гипердействительное число бесконечно близко к N. При этом разница ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle N\in \mathbb {R} ^{*}}$ ${\displaystyle N+{\tfrac {1}{N}}}$

${\displaystyle f(N+{\tfrac {1}{N}})-f(N)=N^{2}+2+{\tfrac {1}{N^{2}}}-N^{2}=2+{\tfrac {1}{N^{2}}}}$

не является бесконечно малым. Следовательно, f * не может быть микронепрерывным в гиперреальной точке N. Таким образом, функция возведения в квадрат не является равномерно непрерывной в соответствии с определением равномерной непрерывности, приведенным выше.

Аналогичное доказательство можно дать в стандартной постановке (Фитцпатрик 2006, пример 3.15).

Пример: функция Дирихле

Рассмотрим функцию Дирихле

${\displaystyle I_{Q}(x):={\begin{cases}1&{\text{ if }}x{\text{ is rational}},\\0&{\text{ if }}x{\text{ is irrational}}.\end{cases}}}$

Хорошо известно, что согласно стандартному определению непрерывности функция разрывна в каждой точке. Давайте проверим это с точки зрения гиперреального определения непрерывности, приведенного выше, например, покажем, что функция Дирихле не является непрерывной в точке π. Рассмотрим аппроксимацию цепной дроби a _n числа π. Теперь пусть индекс n — бесконечное сверхнатуральное число. По принципу переноса естественное расширение функции Дирихле принимает значение 1 в точке _n . Заметим, что гиперрациональная точка a _n бесконечно близка к π. Таким образом, естественное расширение функции Дирихле принимает разные значения (0 и 1) в этих двух бесконечно близких точках, и, следовательно, функция Дирихле не является непрерывной в точке  π .

Лимит

Хотя суть подхода Робинсона заключается в том, что можно отказаться от подхода с использованием множественных кванторов, понятие предела может быть легко отражено в терминах стандартной функции части st , а именно

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$

тогда и только тогда, когда всякий раз, когда разность x  −  a бесконечно мала, разность f ( x ) −  L также бесконечно мала или в формулах:

если st( x ) = a   , то st( f ( x )) = L,

ср. (ε, δ)-определение предела .

Предел последовательности

Дана последовательность действительных чисел , если L — предел последовательности и ${\displaystyle \{x_{n}\mid n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$

если для каждого бесконечного сверхнатурального n st( x _n ) = L (здесь принцип расширения используется для определения x _n для каждого гиперцелого n ).

Это определение не имеет кванторных изменений. С другой стороны, стандартное определение в стиле (ε, δ) имеет изменения кванторов:

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }x_{n}\Longleftrightarrow \forall \varepsilon >0\;,\exists N\in \mathbb {N} \;,\forall n\in \mathbb {N} :n>N\rightarrow |x_{n}-L|<\varepsilon .}$

Теорема об экстремальных значениях

Чтобы показать, что действительная непрерывная функция f на [0,1] имеет максимум, пусть N — бесконечное гиперцелое число . Интервал [0, 1] имеет естественное гипервещественное расширение. Функция f также естественным образом распространяется на гипердействительные числа между 0 и 1. Рассмотрим разделение гипердействительного интервала [0,1] на N подинтервалов одинаковой бесконечно малой длины 1/ N с точками разделения x _i  = i  / N , поскольку i "бегает "от 0 до Н. В стандартной ситуации (когда N конечно) точку с максимальным значением f всегда можно выбрать среди N +1 точек x _i по индукции. Следовательно, согласно принципу переноса , существует гиперцелое число i ₀ такое, что 0 ⩽ i ₀  ⩽ N и для всех i  = 0, …,  N (альтернативное объяснение состоит в том, что каждое гиперконечное множество допускает максимум). Рассмотрим реальную точку ${\displaystyle f(x_{i_{0}})\geq f(x_{i})}$

${\displaystyle c={\rm {st}}(x_{i_{0}})}$

где st — стандартная часть функции . Произвольная вещественная точка x лежит в подходящем подинтервале разбиения, а именно , так что st ( x _i ) = x . Применяя st к неравенству , . По непрерывности f , ${\displaystyle x\in [x_{i},x_{i+1}]}$ ${\displaystyle f(x_{i_{0}})\geq f(x_{i})}$ ${\displaystyle {\rm {st}}(f(x_{i_{0}}))\geq {\rm {st}}(f(x_{i}))}$

${\displaystyle {\rm {st}}(f(x_{i_{0}}))=f({\rm {st}}(x_{i_{0}}))=f(c)}$.

Следовательно, f ( c ) ≥ f ( x ) для всех x , что доказывает, что c является максимумом действительной функции f . См. Кейслер (1986, стр. 164) . harvtxt error: no target: CITEREFKeisler1986 (help)

Теорема о промежуточном значении

В качестве еще одной иллюстрации силы подхода Робинсона краткое доказательство теоремы о промежуточном значении (теоремы Больцано) с использованием бесконечно малых выполняется следующим образом.

Пусть f — непрерывная функция на [ a , b ] такая, что f ( a )<0, а f ( b )>0. Тогда существует точка c в [ a , b ] такая, что f ( c )=0.

Доказательство проводится следующим образом. Пусть N — бесконечное гиперцелое число . Рассмотрим разбиение [ a , b ] на N интервалов одинаковой длины с точками разделения x _i , когда i пробегает от 0 до N. Рассмотрим набор I индексов таких, что f ( x _i )>0. Пусть i ₀ — наименьший элемент из I (такой элемент существует по принципу переноса , так как I — гиперконечное множество ). Тогда действительное число

$${\displaystyle c=\mathrm {st} (x_{i_{0}})}$$

fкванторную

Основные теоремы

Если f — функция с действительным значением, определенная на интервале [ a , b ], то оператор переноса, примененный к f , обозначаемый *f , является внутренней функцией с гипердействительным знаком, определенной на гипердействительном интервале [* a , * b ] .

Теорема : Пусть f — вещественная функция, определенная на интервале [ a , b ]. Тогда f дифференцируема при a < x < b тогда и только тогда, когда для каждого ненулевого бесконечно малого h значение

${\displaystyle \Delta _{h}f:=\operatorname {st} {\frac {[{}^{*}\!f](x+h)-[{}^{*}\!f](x)}{h}}}$

не зависит от h . В этом случае общим значением является производная f в точке x .

Этот факт следует из принципа переноса нестандартного анализа и перелива .

Обратите внимание, что аналогичный результат справедлив для дифференцируемости в конечных точках a , b при условии, что знак бесконечно малого h соответствующим образом ограничен.

Во второй теореме интеграл Римана определяется как предел, если он существует, направленного семейства сумм Римана ; это суммы вида

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}f(\xi _{k})(x_{k+1}-x_{k})}$

где

${\displaystyle a=x_{0}\leq \xi _{0}\leq x_{1}\leq \ldots x_{n-1}\leq \xi _{n-1}\leq x_{n}=b.}$

Такая последовательность значений называется разделом или сеткой и

${\displaystyle \sup _{k}(x_{k+1}-x_{k})}$

ширина сетки. В определении интеграла Римана предел сумм Римана берется при стремлении ширины сетки к 0.

Теорема : Пусть f — вещественная функция, определенная на интервале [ a , b ]. Тогда f интегрируемо по Риману на [ a , b ] тогда и только тогда, когда для каждой внутренней сетки бесконечно малой ширины величина

${\displaystyle S_{M}=\operatorname {st} \sum _{k=0}^{n-1}[*f](\xi _{k})(x_{k+1}-x_{k})}$

не зависит от сетки. В этом случае общим значением является интеграл Римана от f по [ a , b ].

Приложения

Одним из непосредственных применений является расширение стандартных определений дифференцирования и интегрирования на внутренние функции на интервалах гипердействительных чисел.

Внутренняя гипердействительная функция f на [ a, b ] S -дифференцируема в точке x при условии, что

${\displaystyle \Delta _{h}f=\operatorname {st} {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

существует и не зависит от бесконечно малого h . Значением является производная S в точке x .

Теорема : Предположим, что f S -дифференцируема в каждой точке [ a, b ], где b − a — ограниченная гиперреальность. Предположим, кроме того, что

${\displaystyle |f'(x)|\leq M\quad a\leq x\leq b.}$

Тогда для некоторого бесконечно малого ε

${\displaystyle |f(b)-f(a)|\leq M(b-a)+\epsilon .}$

Чтобы доказать это, пусть N — нестандартное натуральное число. Разделите интервал [ a , b ] на N подинтервалов, разместив N - 1 промежуточные точки на равном расстоянии друг от друга:

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{N-1}<x_{N}=b}$

Затем

${\displaystyle |f(b)-f(a)|\leq \sum _{k=1}^{N-1}|f(x_{k+1})-f(x_{k})|\leq \sum _{k=1}^{N-1}\left\{|f'(x_{k})|+\epsilon _{k}\right\}|x_{k+1}-x_{k}|.}$

Теперь максимум любого внутреннего набора бесконечно малых является бесконечно малым. Таким образом, во всех εk _{доминирует} бесконечно малое ε. Поэтому,

${\displaystyle |f(b)-f(a)|\leq \sum _{k=1}^{N-1}(M+\epsilon )(x_{k+1}-x_{k})=M(b-a)+\epsilon (b-a)}$

откуда следует результат.

Смотрите также

• Адекватность
• Критика нестандартного анализа
• Использование Архимедом бесконечно малых величин
• Элементарное исчисление: бесконечно малый подход
• Неклассический анализ

Примечания

1. Курант описал бесконечно малые числа на странице 81 книги «Дифференциальное и интегральное исчисление», том I , как «лишенные какого-либо ясного значения» и «наивное затуманивание». Точно так же на стр. 101 Курант описал их как «несовместимые с ясностью идей, требуемой в математике», «совершенно бессмысленные», «туман, висящий вокруг фундамента» и «туманную идею».
2. Элементарное исчисление: бесконечно малый подход , с. iv.
3. Скотт, JF 1981. «Математическая работа Джона Уоллиса, DD, FRS (1616–1703)». Chelsea Publishing Co. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк. п. 18.
4. Кац, Михаил ; Талл, Дэвид (2011), Напряжение между интуитивными бесконечно малыми и формальным математическим анализом , Бхарат Шрираман , редактор. Перекрестки истории математики и математического образования. Монографии энтузиастов математики Монтаны в математическом образовании 12, Information Age Publishing, Inc., Шарлотта, Северная Каролина, arXiv : 1110.5747 , Bibcode : 2011arXiv1110.5747K
5. Кевин Хьюстон , Как думать как математик, ISBN 978-0-521-71978-0 
6. Бласс, Андреас (1978), «Обзор: Мартин Дэвис, Прикладной нестандартный анализ, и К.Д. Строян и В.А.Дж. Люксембург, Введение в теорию бесконечно малых, и Х. Джером Кейслер, Основы исчисления бесконечно малых», Bull. амер. Математика. Соц. , 84 (1): 34–41, doi : 10.1090/S0002-9904-1978-14401-2, п. 37.

Рекомендации

• Фитцпатрик, Патрик (2006), Продвинутое исчисление , Брукс/Коул
• Х. Джером Кейслер: Элементарное исчисление: подход с использованием бесконечно малых. Первое издание 1976 г.; 2-е издание, 1986 г. (Эта книга больше не издается. Издатель вернул авторские права автору, который предоставил 2-е издание в формате .pdf, доступное для загрузки по адресу http://www.math.wisc.edu/ ~keisler/calc.html.)
• Х. Джером Кейслер: Основы исчисления бесконечно малых, доступно для загрузки по адресу http://www.math.wisc.edu/~keisler/foundations.html (10 января 2007 г.)
• Бласс, Андреас (1978), «Обзор: Мартин Дэвис, Прикладной нестандартный анализ, и К.Д. Строян и В.А.Дж. Люксембург, Введение в теорию бесконечно малых, и Х. Джером Кейслер, Основы исчисления бесконечно малых», Bull. амер. Математика. Соц. , 84 (1): 34–41, doi : 10.1090/S0002-9904-1978-14401-2
• Барон, Маргарет Э .: Истоки исчисления бесконечно малых. Pergamon Press, Оксфорд-Эдинбург-Нью-Йорк, 1969. Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1987. (Новое издание книги Барона появилось в 2004 году).
• «Бесконечное исчисление», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

Внешние ссылки

• Кейслер, Х. Джером (2007). Элементарное исчисление: бесконечно малый подход . Дуврские публикации. ISBN 978-0-48-648452-5. Онлайн-версия (2022 г.)

• Хенле, Джеймс М.; Кляйнберг, Юджин М. (1979). Бесконечно-малое исчисление . Дуврские публикации. ISBN 978-0-48-642886-4.Исчисление бесконечно малых в Интернет-архиве

• Краткое исчисление (2005, ред. 2015 г.) Бенджамина Кроуэла. Этот короткий текст предназначен больше для самостоятельного изучения или повторения, чем для использования в классе. При необходимости используются бесконечно малые числа, и они рассматриваются более строго, чем в старых книгах, таких как « Легкое исчисление» Томпсона, но менее подробно, чем в «Элементарное исчисление: подход с использованием бесконечно малых» Кейслера .