В геометрии постулат параллельности , также называемый пятым постулатом Евклида, поскольку он является пятым постулатом в «Началах » Евклида , является отличительной аксиомой евклидовой геометрии . В нем говорится, что в двумерной геометрии:
Если отрезок пересекает две прямые , образуя два внутренних угла на одной и той же стороне, которые меньше двух прямых углов , то две прямые, если они продлены до бесконечности, встречаются на той стороне, на которой сумма углов составляет менее двух прямых углов.
В этом постулате конкретно не говорится о параллельных линиях; [1] это лишь постулат, связанный с параллелизмом. Евклид дал определение параллельных прямых в книге I, определении 23 [2] непосредственно перед пятью постулатами. [3]
Евклидова геометрия — это изучение геометрии, которая удовлетворяет всем аксиомам Евклида, включая постулат о параллельности.
Этот постулат долгое время считался очевидным или неизбежным, но доказательства были неуловимы. В конце концов было обнаружено, что инвертирование постулата дает действительную, хотя и другую геометрию. Геометрия, в которой постулат параллельности не выполняется, называется неевклидовой геометрией . Геометрия, которая не зависит от пятого постулата Евклида (т. е. предполагает только современный эквивалент первых четырех постулатов), известна как абсолютная геометрия (или иногда «нейтральная геометрия»).
Вероятно, самым известным эквивалентом постулата параллельности Евклида, зависящим от других его постулатов, является аксиома Плейфэра , названная в честь шотландского математика Джона Плейфэра , которая гласит:
На плоскости, если дана прямая и точка, не лежащая на ней, через эту точку можно провести не более одной прямой, параллельной данной прямой. [4]
Эта аксиома сама по себе логически не эквивалентна постулату Евклида о параллельности, поскольку существуют геометрии, в которых один верен, а другой нет. Однако при наличии остальных аксиом, дающих евклидову геометрию, каждую из них можно использовать для доказательства другой, поэтому они эквивалентны в контексте абсолютной геометрии . [5]
Было предложено множество других утверждений, эквивалентных постулату о параллельности, некоторые из них на первый взгляд казались не связанными с параллелизмом, а некоторые казались настолько самоочевидными , что они были бессознательно приняты людьми, которые утверждали, что доказали постулат о параллельности на основе других постулатов Евклида. . Эти эквивалентные утверждения включают в себя:
Однако альтернативы, в которых используется слово «параллельный», перестают казаться такими простыми, когда приходится объяснять, какое из четырех общих определений «параллельного» имеется в виду – постоянное разделение, никогда не встречающиеся, одинаковые углы, пересекаемые какой-то третьей линией , или те же углы пересекаются любой третьей линией, поскольку эквивалентность этих четырех сама по себе является одним из бессознательно очевидных предположений, эквивалентных пятому постулату Евклида. В приведенном выше списке всегда принято относиться к непересекающимся прямым. Например, если слово «параллель» в аксиоме Плейфэра понимать как «постоянное разделение» или «одни и те же углы, где их пересекает любая третья линия», то оно больше не эквивалентно пятому постулату Евклида и доказуемо на основе первых четырех постулатов. (аксиома гласит: «Существует не более одной линии...», что согласуется с отсутствием таких линий). Однако если принять определение так, что параллельные линии - это линии, которые не пересекаются или имеют некоторую линию, пересекающую их под одними и теми же углами, аксиома Плейфэра контекстуально эквивалентна пятому постулату Евклида и, таким образом, логически независима от первых четырех постулатов. Обратите внимание, что последние два определения не эквивалентны, поскольку в гиперболической геометрии второе определение справедливо только для ультрапараллельных прямых.
С самого начала постулат подвергался нападкам как доказуемый и, следовательно, не постулат, и на протяжении более двух тысяч лет предпринималось множество попыток доказать (вывести) постулат о параллельности, используя первые четыре постулата Евклида. [10] Основная причина, по которой такое доказательство было столь востребовано, заключалась в том, что, в отличие от первых четырех постулатов, постулат о параллельности не является самоочевидным. Если порядок, в котором постулаты были перечислены в «Началах», важен, это указывает на то, что Евклид включил этот постулат только тогда, когда понял, что не может доказать его или действовать без него. [11] Было предпринято множество попыток доказать пятый постулат из четырех других, многие из них принимались в качестве доказательства в течение длительного времени, пока не была обнаружена ошибка. Ошибка неизменно заключалась в допущении какого-то «очевидного» свойства, которое оказывалось эквивалентным пятому постулату (аксиоме Плейфэра). Хотя это известно со времен Прокла, оно стало известно как аксиома Плейфэра после того, как Джон Плейфэр написал знаменитый комментарий к Евклиду в 1795 году, в котором он предложил заменить пятый постулат Евклида своей собственной аксиомой. Сегодня, более двух тысяч двухсот лет спустя, пятый постулат Евклида остается постулатом.
Прокл (410–485) написал комментарий к «Элементам» , в котором комментирует попытки доказательства вывода пятого постулата из четырех других; в частности, он отмечает, что Птолемей представил ложное «доказательство». Затем Прокл приводит собственное ложное доказательство. Однако он дал постулат, эквивалентный пятому постулату.
Ибн аль-Хайсам (Альхазен) (965–1039), арабский математик , предпринял попытку доказать постулат о параллельности методом доказательства от противного , [12] в ходе которой ввёл в геометрию понятие движения и преобразования . [13] Он сформулировал четырехугольник Ламберта , который Борис Абрамович Розенфельд называет «четырехугольником Ибн аль-Хайсама – Ламберта», [14] и его попытка доказательства содержит элементы, аналогичные тем, которые найдены в четырехугольниках Ламберта и аксиоме Плейфэра . [15]
Персидский математик, астроном, философ и поэт Омар Хайям (1050–1123) пытался доказать пятый постулат, используя другой явно данный постулат (основанный на четвертом из пяти принципов, принадлежащих Философу ( Аристотелю ), а именно: «Два сходящиеся прямые пересекаются, и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые линии расходились в направлении, в котором они сходятся». [16] Он вывел некоторые из более ранних результатов, принадлежащих эллиптической геометрии и гиперболической геометрии , хотя его постулат исключал последнюю возможность. [17] Четырехугольник Саккери также был впервые рассмотрен Омаром Хайямом в конце 11 века в Книге I « Объяснения трудностей в постулатах Евклида» . [14] В отличие от многих комментаторов Евклида до и после него (включая Джованни Джироламо Саккери ) Хайям не пытался доказать постулат о параллельности как таковой, а вывел его из эквивалентного ему постулата. Он признавал, что в результате исключения пятого постулата Евклида возникли три возможности; если два перпендикуляра к одной линии пересекают другую линию, разумный выбор последней может сделать внутренние углы в месте пересечения двух перпендикуляров равными (тогда он будет параллелен первой линии). Если эти равные внутренние углы являются прямыми, мы получаем пятый постулат Евклида, в противном случае они должны быть либо острыми, либо тупыми. Используя его постулат, он показал, что острые и тупые случаи приводят к противоречиям, но теперь известно, что его постулат эквивалентен пятому постулату.
Насир ад-Дин ат-Туси (1201–1274) в своей книге «Аль-рисала аш-шафияан аш-шакк фил-хутут аль-мутавазия» (« Обсуждение, устраняющее сомнения в отношении параллельных линий ») (1250) написал подробную критику. постулата о параллельности и о попытке доказательства Хайяма столетием ранее. Насир ад-Дин попытался получить доказательство, опровергнув постулат о параллельности. [18] Он также рассмотрел случаи того, что сейчас известно как эллиптическая и гиперболическая геометрия, хотя он исключил оба из них. [17]
Сын Насир ад-Дина, Садр ад-Дин (иногда известный как «Псевдо-Туси»), написал книгу на эту тему в 1298 году, основанную на более поздних мыслях своего отца, которая представила один из самых ранних аргументов в пользу неевклидовой гипотезы. эквивалентен постулату параллельности. «Он существенно пересмотрел как евклидову систему аксиом и постулатов, так и доказательства многих положений из « Начал ». [18] [19] Его работа была опубликована в Риме в 1594 году и изучалась европейскими геометрами. Эта работа стала отправной точкой для работы Саккери по этому вопросу [18] , которая началась с критики работы Садр ад-Дина и работы Уоллиса. [20]
Джордано Витале (1633–1711) в своей книге Euclide restituo (1680, 1686) использовал четырехугольник Хайяма-Саккери, чтобы доказать, что если три точки равноудалены на основании AB и вершине CD, то AB и CD везде равноудалены. Джироламо Саккери (1667–1733) проводил ту же линию рассуждений более тщательно, правильно выводя абсурдность из тупого случая (исходя, как и Евклид, из неявного предположения, что линии могут быть продолжены до бесконечности и иметь бесконечную длину), но не сумев опровергнуть острый случай (хотя ему удалось ошибочно убедить себя в этом).
В 1766 году Иоганн Ламберт написал, но не опубликовал «Теорию параллелизма» , в которой попытался, как и Саккери, доказать пятый постулат. Он работал с фигурой, которую сегодня мы называем четырехугольником Ламберта , четырехугольником с тремя прямыми углами (можно считать половиной четырехугольника Саккери). Он быстро исключил возможность того, что четвертый угол тупой, как это сделали Саккери и Хайям, а затем приступил к доказательству многих теорем в предположении острого угла. В отличие от Саккери, он никогда не чувствовал, что пришел к противоречию с этим предположением. Он доказал неевклидов результат о том, что сумма углов в треугольнике увеличивается с уменьшением площади треугольника, и это привело его к размышлению о возможности модели острого случая на сфере мнимого радиуса. Дальше он эту идею не развивал. [21]
В то время как Хайям и Саккери пытались доказать пятую теорему Евклида, опровергая единственные возможные альтернативы, девятнадцатый век, наконец, увидел, как математики исследовали эти альтернативы и открыли логически последовательные геометрии, которые получаются в результате. В 1829 году Николай Иванович Лобачевский опубликовал отчет по острой геометрии в малоизвестном русском журнале (позже переизданном в 1840 году на немецком языке). В 1831 году Янош Бояи включил в книгу своего отца приложение, описывающее острую геометрию, которую он, несомненно, разработал независимо от Лобачевского. Карл Фридрих Гаусс также изучал эту проблему, но не опубликовал ни одного из своих результатов. Услышав о результатах Бояи в письме от отца Бояи, Фаркаса Бояи , Гаусс заявил:
Если бы я начал с того, что не могу похвалить эту работу, вы наверняка на мгновение удивились бы. Но я не могу сказать иначе. Хвалить его — значит хвалить самого себя. Действительно, всё содержание работы, путь, пройденный вашим сыном, результаты, к которым он приведён, совпадают почти целиком с моими размышлениями, занимавшими отчасти мой ум в течение последних тридцати или тридцати пяти лет. [22]
Полученные геометрии позже были развиты Лобачевским , Риманом и Пуанкаре в гиперболическую геометрию (острый случай) и эллиптическую геометрию (тупой случай). Независимость постулата параллельности от других аксиом Евклида была наконец продемонстрирована Эухенио Бельтрами в 1868 году .
Евклид не постулировал обратное своему пятому постулату, который является одним из способов отличить евклидову геометрию от эллиптической геометрии . В «Началах» содержится доказательство эквивалентного утверждения (книга I, предложение 27): если прямая, падающая на две прямые, делает чередующиеся углы равными друг другу, то прямые линии будут параллельны друг другу. Как указал Де Морган [23] , это логически эквивалентно (Книга I, предложение 16). Эти результаты не зависят от пятого постулата, но требуют второго постулата [24] , который нарушается в эллиптической геометрии.
Попытки логически доказать постулат о параллельности, а не восьмую аксиому, [25] подверглись критике со стороны Артура Шопенгауэра в книге «Мир как воля и идея» . Однако аргумент, использованный Шопенгауэром, заключался в том, что постулат очевиден для восприятия, а не в том, что он не является логическим следствием других аксиом. [26]
Постулат параллельности эквивалентен, как показано в [27] , соединению лочнтаксиомы и аксиомы Аристотеля . Первый утверждает, что перпендикуляры к сторонам прямого угла пересекаются, а второй утверждает, что не существует верхней границы для длин расстояний от катета угла до другого катета. Как показано в [28] , постулат параллельности эквивалентен соединению следующих геометрических форм инцидентности таксиомы Лочниттаксиомы и аксиомы Аристотеля :
Даны три параллельные прямые, и существует прямая, пересекающая все три из них.
Учитывая прямую a и две различные пересекающиеся прямые m и n , каждая из которых отличается от a , существует линия g , которая пересекает a и m , но не пересекает n .
Как показано в [29] , расщепление постулата параллельности на конъюнкцию этих инцидентно-геометрических аксиом возможно только при наличии абсолютной геометрии .
Параллельные прямые — это прямые, которые, находясь в одной плоскости и производясь бесконечно в обоих направлениях, не встречаются друг с другом ни в одном направлении.
параллельности эквивалентен постулату равноудаления , аксиоме Плейфэра , аксиоме Прокла , постулату треугольника и теореме Пифагора .
Мы могли бы включить... постулат о параллельности и вывести теорему Пифагора. Или вместо этого мы могли бы выделить теорему Пифагора среди других аксиом и вывести постулат о параллельности.
{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )По сути, этот метод охарактеризовал параллельные линии как линии, всегда равноудаленные друг от друга, а также ввел в геометрию понятие движения.
«Постулат Хайяма исключил случай гиперболической геометрии, тогда как постулат ат-Туси исключил как гиперболическую, так и эллиптическую геометрию».
«Но в рукописи, написанной, вероятно, его сыном Садр ад-Дином в 1298 году и основанной на более поздних мыслях Насир ад-Дина по этому вопросу, есть новый аргумент, основанный на другой гипотезе, также эквивалентной гипотезе Евклида, [...] Важность этой последней работы состоит в том, что она была опубликована в Риме в 1594 году и изучалась европейскими геометрами. В частности, она стала отправной точкой для работ Саккери и, в конечном счете, для открытия неевклидовой геометрии».
«В «Изложении Евклида» Псевдо-Туси [...] вместо постулата используется другое утверждение. Оно было независимым от евклидова постулата V и его легко доказать. [...] Он существенно пересмотрел обе евклидовы системы аксиом. а также постулаты и доказательства многих положений из « Элементов ».
Эдер, Мишель (2000), Взгляды на постулат параллельности Евклида в Древней Греции и средневековом исламе, Университет Рутгерса , получено 23 января 2008 г.