Скалярная проекция

Если 0° ≤ θ ≤ 90°, как в этом случае, скалярная проекция a на b совпадает с длиной векторной проекции .

Векторная проекция a на b ( a ₁ ) и векторное отклонение a от b ( a 2 ₎ .

В математике скалярная проекция вектора на вектор (или на него), также известная как скалярная резольта в направлении, определяется выражением: ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} ,}$

${\displaystyle s=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} ,}$

где оператор обозначает скалярное произведение , - единичный вектор в направлении - длина и - угол между и . ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {b} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} ,}$ ${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|}$ ${\displaystyle \mathbf {a} ,}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$

Термин скалярный компонент иногда относится к скалярной проекции, поскольку в декартовых координатах компоненты вектора представляют собой скалярные проекции в направлениях осей координат .

Скалярная проекция — это скаляр , равный длине ортогональной проекции on , с отрицательным знаком , если проекция имеет противоположное направление относительно . ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$

Умножение скалярной проекции on на преобразует ее в вышеупомянутую ортогональную проекцию, также называемую векторной проекцией on . ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {b}} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$

Определение на основе угла θ

Если угол между и известен, скалярную проекцию on можно вычислить с помощью ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$

${\displaystyle s=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta .}$ ( на рисунке) ${\displaystyle s=\left\|\mathbf {a} _{1}\right\|}$

Приведенную выше формулу можно инвертировать, чтобы получить угол θ .

Определение с точки зрения a и b

Если неизвестно, косинус можно вычислить с помощью следующего свойства скалярного произведения : ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$

${\displaystyle {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}=\cos \theta }$

Благодаря этому свойству определение скалярной проекции принимает вид: ${\displaystyle s}$

${\displaystyle s=\left\|\mathbf {a} _{1}\right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\left\|\mathbf {a} \right\|{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}\,}$

Характеристики

Скалярная проекция имеет отрицательный знак, если . Она совпадает с длиной соответствующей векторной проекции , если угол меньше 90°. Точнее, если обозначить векторную проекцию и ее длину : ${\displaystyle 90^{\circ }<\theta \leq 180^{\circ }}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$ ${\displaystyle \left\|\mathbf {a} _{1}\right\|}$

${\displaystyle s=\left\|\mathbf {a} _{1}\right\|}$если ${\displaystyle 0^{\circ }\leq \theta \leq 90^{\circ },}$

${\displaystyle s=-\left\|\mathbf {a} _{1}\right\|}$если ${\displaystyle 90^{\circ }<\theta \leq 180^{\circ }.}$

Смотрите также

• Скалярное произведение
• Перекрестное произведение
• Векторная проекция

Источники

• Скалярные продукты - www.mit.org
• Скалярная проекция - Flexbooks.ck12.org
• Скалярная и векторная проекции — medium.com
• Объяснитель урока: Скалярная проекция | Нагва