Евклидова группа

В математике евклидова группа — это группа (евклидовых) изометрий евклидова пространства ; то есть преобразования этого пространства, которые сохраняют евклидово расстояние между любыми двумя точками (также называемые евклидовыми преобразованиями ). Группа зависит только от размерности n пространства и обычно обозначается E( n ) или ISO( n ). $\mathbb {E} ^{n}$

Евклидова группа E( n ) включает все перемещения , вращения и отражения ; и произвольные конечные их комбинации. Евклидову группу можно рассматривать как группу симметрии самого пространства, и она содержит группу симметрий любой фигуры (подмножества) этого пространства. $\mathbb {E} ^{n}$

Евклидова изометрия может быть прямой или косвенной , в зависимости от того, сохраняет ли она направленность фигур. Прямые евклидовы изометрии образуют подгруппу, специальную евклидову группу , часто обозначаемую SE( n ) и E ⁺ ( n ), элементы которой называются жесткими движениями или евклидовыми движениями. Они включают в себя произвольные комбинации перемещений и вращений, но не отражения.

Эти группы являются одними из старейших и наиболее изученных, по крайней мере, в случаях измерений 2 и 3 – косвенно, задолго до того, как было изобретено понятие группы.

Обзор

Размерность

Число степеней свободы для E( n ) равно n ( n + 1)/2 , что дает 3 в случае n = 2 и 6 для n = 3 . Из них n можно отнести к доступной трансляционной симметрии , а остальные n ( n − 1)/2 — к вращательной симметрии .

Прямая и непрямая изометрия

Прямые изометрии (т.е. изометрии, сохраняющие направленность киральных подмножеств) составляют подгруппу E( n ) , называемую специальной евклидовой группой и обычно обозначаемую E ⁺ ( n ) или SE( n ). Они включают в себя переводы и вращения, а также их комбинации; включая трансформацию идентичности, но исключая любые отражения.

Изометрии, которые имеют обратную направленность, называются непрямыми , или противоположными . Для любой фиксированной косвенной изометрии R , такой как отражение относительно некоторой гиперплоскости, любая другая косвенная изометрия может быть получена композицией R с некоторой прямой изометрией. Следовательно, косвенные изометрии являются смежным классом E ⁺ ( n ), который можно обозначить E ⁻ ( n ). Отсюда следует, что подгруппа E ⁺ ( n ) имеет индекс 2 в E( n ).

Топология группы

Естественная топология евклидова пространства влечет за собой топологию евклидовой группы E( n ). А именно, последовательность f _i изометрий ( ) определяется как сходящаяся тогда и только тогда, когда для любой точки p из , последовательность точек p _i сходится. $\mathbb {E} ^{n}$ $\mathbb {E} ^{n}$ $i\in \mathbb {N}$ $\mathbb {E} ^{n}$

Из этого определения следует, что функция непрерывна тогда и только тогда, когда для любой точки p функция , определяемая формулой f _p ( t ) = ( f ( t ))( p ), непрерывна. Такая функция называется «непрерывной траекторией» в E( n ). $f:[0,1]\to E(n)$ $\mathbb {E} ^{n}$ $f_{p}:[0,1]\to \mathbb {E} ^{n}$

Оказывается, специальная евклидова группа SE( n ) = E ⁺ ( n ) связна в этой топологии. То есть, учитывая любые две прямые изометрии A и B , существует непрерывная траектория f в E ⁺ ( n ) такая, что f (0) = A и f (1) = B . То же самое верно и для косвенных изометрий E ⁻ ( n ). С другой стороны, группа E( n ) в целом несвязна: не существует непрерывной траектории, которая начинается в E ⁺ ( n ) и заканчивается в E− ⁽ n ) . $\mathbb {E} ^{n}$

Непрерывные траектории в E(3) играют важную роль в классической механике , поскольку они описывают физически возможные движения твердого тела в трехмерном пространстве во времени. В качестве f (0) принимается тождественное преобразование I , которое описывает начальное положение тела. Положение и ориентация тела в любой более поздний момент времени t будет описываться преобразованием f (t). Поскольку f (0) = I находится в E ⁺ (3), то же самое должно быть верно и для f ( t ) в любой более поздний момент. По этой причине прямые евклидовы изометрии также называют «жесткими движениями». $\mathbb {E} ^{3}$

Структура лжи

Евклидовы группы — это не только топологические группы , они являются группами Ли , так что понятия исчисления могут быть немедленно адаптированы к этой ситуации.

Отношение к аффинной группе

Евклидова группа E( n ) является подгруппой аффинной группы для n измерений, причем таким образом, чтобы соблюдать структуру полупрямого произведения обеих групп ^{[ необходимы пояснения ]} . Это дает, тем более , два способа записи элементов в явной записи. Это:

парой ( A , b ) , где A — ортогональная матрица размера n × n , а b — действительный вектор-столбец размера n ; или
одной квадратной матрицей размера n + 1 , как объяснено для аффинной группы .

Подробности первого представления приведены в следующем разделе.

В терминах Эрлангенской программы Феликса Кляйна мы исходим из этого, что евклидова геометрия , геометрия евклидовой группы симметрий, является, следовательно, специализацией аффинной геометрии . Все аффинные теоремы применимы. Происхождение евклидовой геометрии позволяет определить понятие расстояния , из которого затем можно вывести угол .

Подробное обсуждение

Структура подгрупп, матричное и векторное представление

Евклидова группа — подгруппа группы аффинных преобразований .

В качестве подгрупп он имеет трансляционную группу T( n ) и ортогональную группу O( n ). Любой элемент E( n ) представляет собой сдвиг, за которым следует ортогональное преобразование (линейная часть изометрии) уникальным образом:

x\mapsto A(x+b)

Aортогональная матрица

или то же ортогональное преобразование с последующим переводом:

x\mapsto Ax+c,

c = Ab

T( n ) — нормальная подгруппа E( n ): для каждого перевода t и каждой изометрии u композиция

u^{-1}tu

Вместе эти факты подразумевают, что E( n ) является полупрямым произведением O( n ), расширенным на T( n ), которое записывается как . Другими словами, O( n ) (естественным образом) также является факторгруппой E( n ) по T( n ): ${\text{E}}(n)={\text{T}}(n)\rtimes {\text{O}}(n)$

{\text{O}}(n)\cong {\text{E}}(n)/{\text{T}}(n)

Теперь SO( n ), специальная ортогональная группа , является подгруппой O( n ) индекса два. Следовательно, в E( n ) имеется подгруппа E ⁺ ( n ), также индекса два, состоящая из прямых изометрий. В этих случаях определитель А равен 1.

Они представлены как перемещение с последующим вращением , а не как перемещение с последующим каким-либо отражением (в измерениях 2 и 3 это знакомые отражения в зеркальной линии или плоскости, которые можно принять за начало координат или в 3D — роторное отражение ).

Это соотношение обычно записывается как:

{\text{SO}}(n)\cong {\text{E}}^{+}(n)/{\text{T}}(n)

{\text{E}}^{+}(n)={\text{SO}}(n)\ltimes {\text{T}}(n).

Подгруппы

Типы подгрупп E( n ):

Конечные группы .

У них всегда есть фиксированная точка. В 3D для каждой точки для каждой ориентации существуют две максимальные (относительно включения) среди конечных групп: Oh _и I _h . Группы I _h даже максимальны среди групп, включающих следующую категорию.

Счётно бесконечные группы без сколь угодно малых сдвигов, вращений или комбинаций.

т. е. для каждой точки набор изображений под изометриями топологически дискретен (например, для 1 ≤ m ≤ n группа, порожденная m сдвигами в независимых направлениях, и, возможно, конечная точечная группа). Сюда входят решетки . Более общими примерами являются дискретные пространственные группы .

Счётно бесконечные группы со сколь угодно малыми сдвигами, вращениями или комбинациями.

В этом случае существуют точки, для которых множество изображений относительно изометрий не замкнуто. Примерами таких групп являются в 1D группа, порожденная сдвигом 1 и одного из √ 2 , а в 2D группа, порожденная вращением вокруг начала координат на 1 радиан.

Несчетные группы, в которых имеются точки, для которых множество изображений относительно изометрий не замкнуто.

(например, в 2D все переводы в одном направлении и все переводы на рациональные расстояния в другом направлении).

Несчетные группы, где для всех точек множество изображений относительно изометрий замкнуто.

например:

все прямые изометрии, которые сохраняют начало координат фиксированным или, в более общем смысле, некоторую точку (в 3D называемую группой вращения )
все изометрии, которые сохраняют начало координат фиксированным или, в более общем смысле, некоторую точку ( ортогональную группу )
все прямые изометрии E ⁺ ( n )
вся евклидова группа E( n )
одна из этих групп в m -мерном подпространстве в сочетании с дискретной группой изометрий в ортогональном ( n - m )-мерном пространстве.
одна из этих групп в m -мерном подпространстве в сочетании с другой в ортогональном ( n - m )-мерном пространстве.

Примеры в 3D комбинаций:

все вращения вокруг одной фиксированной оси
то же самое в сочетании с отражением в плоскостях, проходящих через ось и/или плоскость, перпендикулярную оси
то же самое в сочетании с дискретным перемещением вдоль оси или со всеми изометриями вдоль оси
дискретная группа точек, группа фризов или группа обоев на плоскости в сочетании с любой группой симметрии в перпендикулярном направлении
все изометрии, представляющие собой комбинацию вращения вокруг некоторой оси и пропорционального перемещения вдоль оси; обычно это сочетается с k -кратными изометриями вращения вокруг одной оси ( k ≥ 1 ); множество изображений точки под изометриями представляет собой k - спираль ; кроме того, может иметь место 2-кратное вращение вокруг перпендикулярно пересекающейся оси и, следовательно, k -кратная спираль таких осей.
для любой группы точек: группа всех изометрий, которые представляют собой комбинацию изометрии в группе точек и перевода; например, в случае группы, порожденной инверсией в начале координат: группа всех переводов и инверсий во всех точках; это обобщенная группа диэдра R3 , Dih( ^R3⁾ .

Обзор изометрий в трех измерениях

E(1), E(2) и E(3) можно разделить на следующие категории со степенями свободы :

Теорема Шалеса утверждает, что любой элемент E ⁺ (3) является винтовым перемещением .

См. также 3D-изометрии, оставляющие начало координат фиксированным , пространственная группа , инволюция .

Коммутирующие изометрии

Для некоторых пар изометрий состав не зависит от порядка:

два перевода
два вращения или винта вокруг одной оси
отражение относительно плоскости и перемещение в этой плоскости, вращение вокруг оси, перпендикулярной плоскости, или отражение относительно перпендикулярной плоскости.
скользящее отражение относительно плоскости и перемещение в этой плоскости
инверсия в точке и любая изометрия, сохраняющая точку фиксированной
вращение на 180° вокруг оси и отражение в плоскости, проходящей через эту ось
вращение на 180° вокруг оси и вращение на 180° вокруг перпендикулярной оси (приводит к повороту на 180° вокруг оси, перпендикулярной обоим)
два отражения ротора вокруг одной оси и относительно одной плоскости
два скользящих отражения относительно одной плоскости

Классы сопряженности

Сдвиги на заданное расстояние в любом направлении образуют класс сопряженности ; группа перевода представляет собой объединение таковых для всех расстояний.

В 1D все отражения относятся к одному классу.

В 2D повороты на один и тот же угол в любом направлении относятся к одному и тому же классу. К этому же классу относятся скользящие отражения с переносом на то же расстояние.

В 3D:

Инверсии по всем точкам относятся к одному классу.
Повороты на один и тот же угол относятся к одному классу.
Вращение вокруг оси в сочетании с перемещением вдоль этой оси относятся к одному и тому же классу, если угол одинаковый и расстояние перемещения одинаковое.
Отражения в плоскости относятся к тому же классу
Отражения в плоскости в сочетании с перемещением в этой плоскости на то же расстояние относятся к одному и тому же классу.
К этому же классу относятся повороты вокруг оси на один и тот же угол, не равный 180°, в сочетании с отражением в плоскости, перпендикулярной этой оси.