В геометрии однородный многогранник размерности три или выше — это вершинно-транзитивный многогранник , ограниченный однородными гранями . Однородные многогранники в двух измерениях — это правильные многоугольники (определение различается в двух измерениях, чтобы исключить вершинно-транзитивные односторонние многоугольники, которые чередуют две разные длины ребер).
Это обобщение более старой категории полуправильных многогранников , но оно также включает и правильные многогранники . Далее допускаются звездные правильные грани и вершинные фигуры ( звездные многоугольники ), что значительно расширяет возможные решения. Строгое определение требует, чтобы однородные многогранники были конечными, в то время как более расширенное определение позволяет также считать многогранниками однородные соты (двумерные мозаики и соты более высокой размерности ) евклидова и гиперболического пространства .
Почти каждый однородный многогранник может быть создан с помощью конструкции Витхоффа и представлен диаграммой Коксетера . Заметные исключения включают большой диромбикосидодекаэдр в трех измерениях и большую антипризму в четырех измерениях. Терминология для выпуклых однородных многогранников, используемая в однородных многогранниках , однородных 4-многогранниках , однородных 5-многогранниках , однородных 6-многогранниках , однородных мозаиках и выпуклых однородных сотовых изделиях, была придумана Норманом Джонсоном . [ нужна цитата ]
Эквивалентно, многогранники Витоффа могут быть созданы путем применения базовых операций к правильным многогранникам в этом измерении. Этот подход был впервые использован Иоганном Кеплером и является основой нотации многогранника Конвея .
Правильные n-многогранники имеют n порядков спрямления . Нулевое исправление является исходной формой. ( n −1)-е исправление является двойственным . Выпрямление сводит ребра к вершинам, биректификация сводит грани к вершинам, триректификация сводит ячейки к вершинам, квазиректификация сводит 4-грани к вершинам, квинтректификация сводит 5-граней к вершинам и так далее.
Расширенный символ Шлефли может использоваться для обозначения исправленных форм с одним индексом:
Операции усечения, которые можно применять к правильным n -многогранникам в любой комбинации. Полученная диаграмма Кокстера имеет два кольцевых узла, а название операции дано в честь расстояния между ними. Усечение обрезает вершины, кантелляция обрезает ребра, обрезание разрезает грани, стерилизация разрезает ячейки. Каждая более высокая операция также обрезает и более низкие, поэтому при кантелляции также усекаются вершины.
Кроме того, можно выполнять комбинации усечений, которые также генерируют новые однородные многогранники. Например, прогонка — это прогон и усечение, применяемые вместе.
Если все усечения применяются одновременно, операцию можно в более общем смысле назвать омнитрункацией .
Одна специальная операция, называемая чередованием , удаляет альтернативные вершины из многогранника только с четными гранями. Перемеженный всеусеченный многогранник называется курносым .
Полученные многогранники всегда могут быть построены, и они, как правило, не являются отражающими, а также, как правило, не имеют однородных многогранных решений.
Набор многогранников, образованных чередованием гиперкубов , известен как демикубы . В трех измерениях получается тетраэдр ; в четырех измерениях получается 16-клеточный или демитессеракт .
Однородные многогранники можно построить на основе их фигур вершин , расположения ребер, граней, ячеек и т. д. вокруг каждой вершины. Однородные многогранники, представленные диаграммой Кокстера , обозначающие активные зеркала кольцами, обладают отражательной симметрией и могут быть просто построены путем рекурсивных отражений вершинной фигуры.
Меньшее число неотражательных однородных многогранников имеют одну фигуру вершины, но не повторяются простыми отражениями. Большинство из них можно представить с помощью таких операций, как чередование других однородных многогранников.
Фигуры вершин для диаграмм Кокстера с одним кольцом можно построить из диаграммы, удалив окольцованный узел и окольцевав соседние узлы. Такие вершинные фигуры сами по себе вершинно-транзитивны.
Многокольцевые многогранники могут быть построены с помощью несколько более сложного процесса построения, и их топология не является однородным многогранником. Например, вершинной фигурой усеченного правильного многогранника (с двумя кольцами) является пирамида. Всеусеченный многогранник (все узлы окольцованы) всегда будет иметь неправильный симплекс в качестве вершинной фигуры.
Однородные многогранники имеют равные длины ребер, а все вершины находятся на одинаковом расстоянии от центра, называемом радиусом описанной окружности .
Однородные многогранники, радиус описанной окружности которых равен длине ребра, могут использоваться в качестве вершинных фигур для однородных сот . Например, правильный шестиугольник делится на 6 равносторонних треугольников и является вершиной правильной треугольной мозаики . Также кубооктаэдр делится на 8 правильных тетраэдров и 6 квадратных пирамид (полуоктаэдр ) , и это вершинная фигура для чередующихся кубических сот .
Полезно классифицировать однородные многогранники по размерностям. Это эквивалентно количеству узлов на диаграмме Кокстера или количеству гиперплоскостей в конструкции Витоффа. Поскольку ( n +1)-мерные многогранники являются замощениями n -мерного сферического пространства, замощения n -мерного евклидова и гиперболического пространства также считаются ( n +1)-мерными. Следовательно, мозаики двумерного пространства группируются с трехмерными телами.
Единственный одномерный многогранник — это отрезок. Он соответствует семейству Кокстера A 1 .
В двух измерениях существует бесконечное семейство выпуклых однородных многогранников, правильных многоугольников , простейшим из которых является равносторонний треугольник . Усеченные правильные многоугольники становятся двухцветными геометрически квазиправильными многоугольниками с вдвое большим числом сторон, t{p}={2p}. Первые несколько правильных многоугольников (и квазиправильных форм) показаны ниже:
Существует также бесконечное множество звездчатых многоугольников (по одному на каждое рациональное число больше 2), но они невыпуклые. Самый простой пример — пентаграмма , которая соответствует рациональному числу 5/2. Правильные звездчатые многоугольники, {p/q}, могут быть усечены в полуправильные звездчатые многоугольники, t{p/q}=t{2p/q}, но становятся двойными покрытиями, если q четно. Усечение также можно выполнить с помощью многоугольника обратной ориентации t{p/(pq)}={2p/(pq)}, например t{5/3}={10/3}.
Правильные многоугольники, представленные символом Шлефли {p} для p-угольника. Правильные многоугольники самодвойственны, поэтому в результате выпрямления получается тот же многоугольник. Операция равномерного усечения удваивает стороны до {2p}. Операция сглаживания, чередующаяся с усечением, восстанавливает исходный многоугольник {p}. Таким образом, все однородные многоугольники также являются правильными. Следующие операции можно выполнить над правильными многоугольниками для получения однородных многоугольников, которые также являются правильными многоугольниками:
В трех измерениях ситуация становится интереснее. Существует пять выпуклых правильных многогранников, известных как Платоновы тела :
В дополнение к ним существует также 13 полуправильных многогранников, или архимедовых тел , которые можно получить с помощью конструкций Витгофа или путем выполнения таких операций, как усечение платоновых тел, как показано в следующей таблице:
Существует также бесконечный набор призм , по одной на каждый правильный многоугольник, и соответствующий набор антипризм .
К однородным звездчатым многогранникам относятся еще 4 правильных звездчатых многогранника, многогранники Кеплера-Пуансо и 53 полуправильных звездчатых многогранника. Есть также два бесконечных набора: звездные призмы (по одной на каждый звездный многоугольник) и звездные антипризмы (по одной на каждое рациональное число, большее 3/2).
Однородные многогранники и мозаики Витгофа можно определить с помощью их символа Витгофа , который указывает фундаментальную область объекта. Расширение обозначения Шлефли , также используемое Коксетером , применимо ко всем измерениям; он состоит из буквы «t», за которой следует ряд чисел с индексами, соответствующих окольцованным узлам диаграммы Коксетера , и за которым следует символ Шлефли правильного начального многогранника. Например, усеченный октаэдр обозначается обозначением: t 0,1 {3,4}.
В четырех измерениях имеется 6 выпуклых правильных 4-многогранников , 17 призм на Платоновых и Архимедовых телах (исключая куб-призму, которую уже посчитали тессерактом ) , и два бесконечных множества: призмы на выпуклых антипризмах, и дуопризмы . Существует также 41 выпуклый полуправильный 4-многогранник, включая невитоффову большую антипризму и курносый 24-клеточный . Оба этих специальных 4-многогранника состоят из подгрупп вершин 600-ячейки .
Не все четырехмерные однородные звездчатые многогранники перечислены. К ним относятся 10 правильных звездчатых (Шлефли-Гесса) 4-многогранников и 57 призм на однородных звездчатых многогранниках, а также три бесконечных семейства: призмы на звездных антипризмах, дуопризмы, образованные перемножением двух звездчатых многоугольников, и дуопризмы, образованные умножением обычного многоугольника на звездчатый многоугольник. Существует неизвестное количество 4-многогранников, не попадающих в вышеуказанные категории; на данный момент обнаружено более тысячи.
Каждый правильный многогранник можно рассматривать как изображения фундаментальной области в небольшом количестве зеркал. В 4-мерном многограннике (или 3-мерной кубической соте) фундаментальная область ограничена четырьмя зеркалами. Зеркало в 4-мерном пространстве представляет собой трёхмерную гиперплоскость , но для наших целей удобнее рассматривать только её двумерное пересечение с трёхмерной поверхностью гиперсферы ; таким образом, зеркала образуют неправильный тетраэдр .
Каждый из шестнадцати правильных 4-многогранников порождается одной из четырех групп симметрии следующим образом:
(Группы названы в обозначениях Кокстера .)
Восемь выпуклых однородных сот в евклидовом 3-мерном пространстве аналогичным образом генерируются из кубических сот {4,3,4} путем применения тех же операций, которые использовались для создания однородных 4-многогранников Витоффа.
Для данного симплекса симметрии образующая точка может быть помещена в любую из четырех вершин, 6 ребер, 4 граней или внутреннего объема. На каждом из этих 15 элементов есть точка, изображения которой, отраженные в четырех зеркалах, являются вершинами однородного 4-многогранника.
Расширенные символы Шлефли состоят из буквы t , за которой следуют от одного до четырех индексов 0,1,2,3. Если имеется один индекс, образующая точка находится в углу фундаментальной области, т. е. в точке, где встречаются три зеркала. Эти углы обозначаются как
(Для двух самодвойственных 4-многогранников «двойной» означает аналогичный 4-многогранник в двойственном положении.) Два или более индексов означают, что образующая точка находится между указанными углами.
Ниже кратко изложены 15 конструктивных форм по семьям. Самодуальные семейства перечислены в одном столбце, а другие — в двух столбцах с общими записями на симметричных диаграммах Коксетера . В последней 10-й строке перечислены курносые 24-клеточные конструкции. Сюда входят все непризматические однородные 4-многогранники, за исключением невитоффовой большой антипризмы , которая не имеет семейства Кокстера.
В следующей таблице определены все 15 форм. Каждая форма сокращения [ проверки правописания ] может иметь от одного до четырех типов ячеек, расположенных в позициях 0,1,2,3, как определено выше. Ячейки помечены многогранными обозначениями усечения.
Полуконструкции существуют с отверстиями , а не с кольцевыми узлами. Ветви, соседние с дырками и неактивными узлами, должны быть четного порядка. Половина конструкции имеет вершины одинаково кольцеобразной конструкции.
В пяти и более измерениях существует три правильных многогранника: гиперкуб , симплекс и кросс-многогранник . Они являются обобщениями трехмерного куба, тетраэдра и октаэдра соответственно. В этих размерностях не существует правильных звездчатых многогранников. Большинство однородных многогранников более высокой размерности получаются путем модификации правильных многогранников или путем декартова произведения многогранников более низких размерностей.
В шести, семи и восьми измерениях в игру вступают исключительные простые группы Ли E6 , E7 и E8 . Помещая кольца на ненулевое количество узлов диаграмм Коксетера , можно получить 39 новых 6-многогранников, 127 новых 7-многогранников и 255 новых 8-многогранников. Ярким примером является многогранник 4 21 .
С темой конечных однородных многогранников связаны однородные соты в евклидовом и гиперболическом пространствах. Евклидовы однородные соты генерируются аффинными группами Кокстера , а гиперболические соты генерируются гиперболическими группами Кокстера . Две аффинные группы Кокстера можно перемножить.
Существует два класса гиперболических групп Кокстера: компактные и паракомпактные. Однородные соты, порожденные компактными группами, имеют конечные грани и фигуры вершин и существуют в измерениях от 2 до 4. Паракомпактные группы имеют аффинные или гиперболические подграфы, бесконечные фасеты или фигуры вершин и существуют в измерениях от 2 до 10.